提炼一类模型解决一类中考压轴题

中考压轴题难度大，所占比重大、分值较高，但学生得分率不高，纵观今年全国各地中考数学试卷，其中一类基本模型成了考试的热点，笔者通过整理、归类，就其广泛的应用，进行了一番研究，形成了粗浅的策略，例析如下.

基本模型一

如图1，已知l1∥l2，△ABC的底BC不变，l1与l2的距离越大，则△ABC的面积越大.基本模型二

如图2，已知l1∥l2，则S△ABC=S△A′BC，理由：同底等高的两个三角形的面积相等.1直接应用

例1（2015年攀枝花）如图3，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

分析（1）略；

（2）把A（-1，0）、B（3，0）两点代入y=-x2+bx+c即可求出抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，可得C点坐标为（0，3），BC=32，△BCD的底BC长确定，要使得△BCD的面积最大，根据基本模型一，过抛物线上点D作BC的平行线DE，只要两条平行线DE与BC的距离最大，因为点D在抛物线上，显然当直线DE与抛物线只有一个交点时，△BCD的面积最大，由B（3，0），C（0，3）可得BC解析式为y=-x+3，因为DE∥BC，设DE解析式为y=-x+b，因为直线DE与抛物线只有一个交点，构造方程组y=-x2+2x+3

y=-x+b，转化为一元二次方程x2-3x+b-3=0，令Δ=0，可得b=214，D（32，154），易得S△BCD=278.

（3）要使得△QMB与△PMB的面积相等，底MB不变，根据基本模型二，只要点P到MB的距离等于点Q到MB的距离，若Q在BC上方，过点P作MB的平行线，与抛物线的交点即为点Q1，由（2）得，MB解析式为y=-x+3，设PQ1解析式为y=-x+b，由抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，可得顶点P的坐标为（1，4），代入PQ1的解析式得：b=5，解方程组y=-x2+2x+3，

y=-x+5，解得x1=1（舍去），x2=2，所以点Q1（2，3）.若Q在BC下方，由直线MB：y=-x+3向上平移两个单位可得直线PQ1的解析式为y=-x+5，因为点P到MB的距离等于点Q到MB的距离，同样由直线MB：y=-x+3向下平移两个单位可得直线PQ2的解析式为y=-x+1，解方程组y=-x2+2x+3

y=-x+1，解得x1=3+172，x2=3-172，所以点Q2（3-172，-1-172），Q3（3+172，-1+172）.

例2（2015年临沂）如图4，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=-2x-1与y轴交于点A，与直线y=-x交于点B，点B关于原点的对称点为点C.

（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.

①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；

②若点P的横坐标为t（-1

分析（1）略；（2）①略；

（2）②易证四边形PBQC是平行四边形，则S△PBC=12S四边形PBQC，要使得四边形PBQC面积最大，只要使△PBC的面积最大，易得B（-1，1），C（1，-1），BC解析式为y=-x，BC=22，长度不变，根据基本模型一，过点P作BC的平行线为y=-x+b，当y=-x+b与抛物线只有一个交点时，点P到直线BC的距离最远.所以构造方程组y=-x+b

y=x2-x-1，转化为一元二次方程得：x2-b-1=0.令Δ=0，b=-1，解得x=0，即t=0.2变式应用

例3（2015年达州）如图5，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=45x2+bx+c的图象经过A，C两点.

（1）求该二次函数的表达式；

（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；

（3）抛物线上是否存在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

分析（1）略；（2）略；

（3）易得D（4，4），OD=42，因为△ODP的面积为12，可求得y轴上的点E1到OD的距离为32，根据基本模型二，若点E1在原点上方，过点E1作OD的平行线E1P1，与抛物线的交点即为所求点，OD解析式为y=x，易证三角形OE1H为等腰直角三角形，OE1=6，设E1P1解析式为y=x+6，把A（0，4）、C（5，0）代入二次函数y=45x2+bx+c，可得抛物线解析式为：y=45x2-245x+4，构造方程组y=45x2-245x+4，

y=x+6，可求得P129+10018，77+10018，P229-10018，77-10018，若点E1在原点下方，同理可求得P329+418，-19+418，P429-418，-19-418.3灵活应用

例4（2015年徐州）如图6，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点.

（1）∠OBA=°.

（2）求抛物线的函数表达式.

（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？

分析（1）略；（2）略；

（3）连接AE，显然点P可能在E点左侧，也可能在E点右侧，△OEA的面积不变，若P在E点右侧记作P1，过点P1作AE的平行线a，易得点E（6，3），由A（10，0），可得直线AE为y=-34x+152，设直线a解析式为y=-34x+b，构造方程组y=-18x2+54x，

y=-34x+b，因为直线a与抛物线只有一个交点，所以转化为一元二次方程18x2-2x+b=0，令Δ=0，解得b=8，x1=x2=8，所以可求得点P18，32，此时可求得S△P1AE=1，若P在E点左侧记作M，同理可求得S△MOE=278，因为点P有且只有3个，S△MOE>S△P1AE，根据基本模型二，在E点左侧，存在两个点P2、P3使得S△P2OE=S△P3OE=S△P1AE=1，此时易得S=16.

综上可见，在一些中考压轴题中，若能掌握和熟练运用一些基本模型，往往可快捷地找到解题突破口，从而提高解题速度和正确率.

作者简介吉裕艳，女，江苏南通人，1976年10月生，中学高级教师.多次获教育局嘉奖，曾获“如皋市学科带头人”称号，被如皋市人民政府授予“记三等功”称号.多篇论文发表，多次主持如皋市级课题并结题.