电场图景的构建与剖析

湖北 许 文

电场图景的构建与剖析

湖北 许 文

构建电场图景，理解电场性质。

从力、能、几何特征等角度来理解电场的性质，一直是高考关注的重点。理解电场性质的关键是要正确地构建电场图景，电场图景可用“三线”（即电场线、等势线和带电粒子运动的轨迹线）表征与图象描述。

一、“三线”表征电场

带电粒子在电场中运动的问题包括定性分析与定量研究。其中定性分析的内容包括粒子的电性问题、受力问题、运动问题、做功及相关能量变化问题等。这种问题的电场往往通过电场线、等势线和带电粒子运动的轨迹线，即“三线”来表征。

（1）等势线与电场线处处垂直；电场线的方向由电势较高的等势线指向电势较低的等势线；等差等势线较密的地方电场线的分布也较密；电场强度E的大小可由电场线的疏密程度来进行判断；只有电场力做功时，粒子的动能与电势能发生相互转化，但动能与电势能的总和不变；电场力做正功时，粒子的动能增大，电势能减小；电场力做负功时，粒子的动能减小，电势能增大。

（2）质点做曲线运动的条件及与运动轨迹的关系：质点做曲线运动条件是初速度v不为零，所受合力F不为零，且v与F不共线（即v与F夹角为θ，0＜θ＜1 8 0°）；运动轨迹在矢量v与矢量F所成夹角θ内（如图1所示）。其特点是速度v方向在轨迹的切线方向上，合力F的方向总指向轨迹曲线的内侧。

【例1】如图2所示，虚线a、b、c是电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相同。实线为一带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域的运动轨迹，P、Q是轨迹上的两点。下列说法中正确的有 （ ）

A．三个等势面中，等势面a的电势最高

B．带电质点一定是从P点向Q点运动

C．带电质点通过P点时的加速度比通过Q点时大

D．带点质点通过P点时的动能比通过Q点时小

【解析】根据电场线与等势面的关系，我们可作出一条过Q点大致的电场线，质点通过Q点时受到的电场力F方向应在电场线Q点的切线方向上，由于质点带正电，故可知电场线的方向如图3所示。在这三个等势面中，等势面c的电势最高；由于在P点的等差等势面的密度较Q点的大，因而在P点的电场线密度也较Q点的大，质点在P点受到的电场力较大，故加速度也较大；质点的运动方向可能是从P点向Q点运动，也可能是从Q点向P点运动；若质点从P点向Q点运动，则电场力做正功，动能增大；若质点从Q点向P点运动，则电场力做负功，动能减小。

【答案】C D

【感悟】电场通过“三线”中的某“两线”表征，可由电场线与等势面的关系、做曲线运动的条件与轨迹的关系定性地画出另一条线，电场的图景就由模糊变得清晰。在本题的分析中，我们根据电场线与等势面的关系作出一条过轨迹上某点（如Q点）的电场线，再根据某点的速度方向沿该点轨迹的切线方向、受力方向沿该点电场线的切线方向，同时结合做曲线运动速度、力与轨迹三者间的关系进行确定，这是问题分析与求解的关键。

二、图象描述电场

图象是反映两个物理量间变化关系的直观表现形式。描述静电场性质的图象有电场强度E随一维空间位置坐标x变化的关系图象（即E－x图象）、电势φ随一维空间位置坐标x变化的关系图象（即φ－x图象）、电势能Ep随一维空间位置坐标x变化的关系图象（即Ep－x图象）。分析这三种图象问题，能帮助考生建立起点电荷电场中场强、电势、电势能随空间位置的变化关系，从不同的角度了解电场的特征与性质。

1．E－x图象

E－x图象描述电场强度E随x变化关系。几种典型的E－x图象如图4所示。将x轴上一段距离x分成很多微小单元Δx，由公式U＝EΔx知E－x图象中曲线与x轴所围成的“面积”表示电势差U的大小。

【例2】在x轴上电场强度E与x的关系如图5所示，O为坐标原点，a、b、c为x轴上的点，a、c之间的距离为d，a、c两点的电场强度大小均为E0，则下列说法中正确的是（ ）

A．φb＞φa＝φc＞φO

B．φO＞φa＞φb＞φc

C．将质子从a点移到c点，电场力做功大于e E0d

D．将质子从a点移到c点，质子的电势能增加

【解析】在E－x图象中，图象与x轴所围面积表示电势差，由图可以看出x轴上O c段与图线所围面积大于a c段与图线所围面积，a c段与图线所围面积大于b c段与图线所围面积，即UOc＞Uac＞Ubc＞0，所以φO＞φa＞φb＞φc；a c段与图线所围面积大于E0d，即Uac＞E0d，所以将质子从a点移到c点，电场力做功大于e E0d；将质子从a点移到c点，电场力做正功，质子的电势能减少。

【答案】B C

【感悟】E－x图象中曲线与x轴所围成的“面积”表示电势差U的大小。移动正电荷若电场力做正功，则移动方向是从电势由高到低；移动负电荷若电场力做正功，则移动方向是从电势由低到高；若电场力不做功，则电势相等。

2．φ－x图象

φ－x图象描述电势φ随x变化关系。几种典型的φ－x图象如图6所示。将x轴上一段距离x分成很多微小单元Δx，由公式U＝E·Δx知φ＝φ0＋E x，可知φ－x图象中曲线上某点切线的斜率的绝对值表示场强E的大小。

【例3】x轴上有两个点电荷Q1和Q2，Q1和Q2之间各点对应的电势高低如图7中曲线所示，从中可看出（ ）

A．Q1一定大于Q2

B．Q1和Q2一定是同种电荷，但不一定是正电荷

C．电势最低处P点的电场强度为零

D．Q1和Q2之间各点的电场方向都指向P点

【解析】由图象可知，从Q1到Q2，电势均为正值，大小是先减小后增大，故Q1和Q2均为正电荷。由于P点位于电势最低点，设想将某一正电荷＋q放在P点时其电势能最小，电荷＋q在P点应处于平衡状态，故P点的电场强度为零。由于P点靠近Q2，所以Q1电荷量一定大于Q2；根据两个正电荷的电场分布图景可知Q1和Q2之间各点的电场方向都指向P点。

【答案】A C D

【感悟】在静电场中我们一般取无限远处的电势为零，则在正点电荷电场中各点的电势均为正值。正试探电荷放在电势最小的地方其电势能也最小，此处的试探电荷应处于平衡状态，则此处的场强为零。我们熟悉等量点电荷场强、电势的分布特点，将陌生问题向熟悉的物理模型进行转换，这种方法会大大提高解题速度和解题的正确性。

3．Ep－x图象

Ep－x图象描述电势能Ep随x变化关系。将x轴上一段距离x分成很多微小单元Δx，在粒子运动中的某一小段位移Δx内电场力做功q EΔx。由功能关系知ΔEp＝－q EΔx，可见Ep－x图象中曲线上某点切线斜率的绝对值表示电场力的大小。

【例4】如图8甲所示，直线A B是某孤立点电荷电场中的一条电场线，一个电子仅在电场力作用下沿该电场线从A点运动到B点，其电势能随位置变化的关系如图乙所示。设A、B两点的电势分别为φA、φB，电子在A、B两点的动能分别为EkA、EkB。则关于该孤立点电荷的位置及电势、电子动能大小的说法正确的是 （ ）

A．孤立点电荷带负电，位于B点的右侧，φA＞φB，EkA＞EkB

B．孤立点电荷带正电，位于A点的左侧，φA＞φB，EkA＜EkB

C．孤立点电荷带正电，位于B点的右侧，φA＜φB，EkA＞EkB

D．孤立点电荷带负电，位于A点的左侧，φA＜φB，EkA＜EkB

【解析】电势能Ep＝qφ，由于电子为负电荷，q＜0，根据EpA＜EpB可判断φA＞φB，电场线从高电势指向低电势，所以电场线从A到B，电子从A到B沿电场线移动，电场力做负功，动能减小，所以EkA＞EkB。由于电荷量不变，所以电势φ随x变化趋势与Ep随x变化趋势相同，而φ－x的斜率，即由图象可判断斜率逐渐增大，即从A到B电场线逐渐变密集，孤立点电荷在B点右侧且为负电荷。

【答案】A

【感悟】根据电场力做功与电势能变化的关系，可知Ep－x图线某点切线的斜率表示电场力的大小。由带电粒子在电场中运动的Ep－x图象可以推知场强E、粒子的动能Ek、速度v、加速度a随x的变化规律。若带电粒子仅在电场力作用下运动，电场力所做的功等于粒子动能的增加量，又因为电场力做的功等于电势能的减少量，故粒子动能与电势能之和保持不变。

近几年高考中常以点电荷或双点电荷为背景，以E－x图象、φ－x图象、Ep－x图象为呈现方式，对电场性质进行考查，这就要求考生正确地建立电场图景，理解电场中电场强度与电势的关系，掌握电场力做功与电势能的变化规律，学会用假设法、微元法分析处理问题。

（作者单位：湖北省武汉市华中科技大学附属中学）