把握数学本质让思考改变课堂

（莆田市秀屿区笏石中心小学，福建莆田351146）

把握数学本质让思考改变课堂

徐志锋

（莆田市秀屿区笏石中心小学，福建莆田351146）

数学课堂教学的核心是数学问题，数学问题决定数学思考的质量，影响学生对数学本质的掌握。有效的数学思考是把握数学本质的关键。本文就从数学思考如何改变课堂的角度进行阐述，以数学问题引领思考，以数学思想影响思维，把握数学的本质，让数学思考改变课堂教学。

本质；思考；思想；素养

数学的本质是数学思维的符号语言。在课堂中，师生用对话的形式演绎数学问题的走向，这其中，有效的数学思考是把握数学本质的关键。不难看出，设置富有层次及逻辑推理的问题架构，是触发学生独立思考的核心。

思考的价值，是数学问题能否触动学生的多维思索，能否激发学生的思维张力，能否激荡学生的思考方向，从这个意义上说，重视有效问题的设置就是引发数学思考的关键。如何在有限的时间跨度里引领学生通过数学思考，进而把握数学本质，提高学生的数学素养，是每一位数学教师需要不断思索的问题。

一、“分”层递进，“数”概念本质——让数学思考全面发生

康托尔说：数学的本质在于它的自由。要做到自由，教师的理念及教学定位至关重要。毕竟，开放的课堂要求教师要有极高的驾驭能力及掌控全局的视野，通常来说，这是不容易做到的。

通常而言，我们的数学课堂在学生的思考点上的设置还是重视不够，在常态教学中，学生的思维空间比较逼仄。原因在于，教师在课堂上没有提供清晰有力的架构。试以阮志强老师对传统的《分数的意义》一课的演绎为例，咀嚼其中几个片断。

阮老师对分数概念的建构分为四大模块：“说一不二”“心有灵犀”“巧思妙创”和“超级变变变”，使学生以多梯次的思维活动方式进行不断的追思，经历概念的形成过程，让分数焕发真正的味道。

思考点一：请你写上一个分数，同桌交换这个分数，想想看，这个分数表示什么？现在，请你用简单的草图表示同桌的这个分数。看看，哪些同桌“心有灵犀”？在学生汇报时，追问：在你画图之前，是怎么理解这个九分之四的？画的图和写的分数对上了吗？“数”与“形”的契合，正是学生对分数概念的抽象内涵与直观模型的有效统一，体现了在开放包容的空间里主动学习的智慧。

思考点二：从下面九个正方形中任选几个圈成一个整体，创造一个分数，并想一想你创造的分数表示什么？这是开放的数形结合题。一个学生经过思考，抛出：9个正方形，表示四分之一。教师问：这个图表示四分之一，你看懂了吗？看懂的举手。举手的寥寥无几。全班学生陷入挣扎中：这个分数可以么？创造者阐述自己的思维成果：先把8个正方形均分成4份，2个一份，再把剩下的一个正方形均分成4份，把2个正方形和现在的小的正方形加在一起，就是9个正方形的四分之一。这确实是一个创新性的思维！

思考点三：两本笔记本，占全部的五分之一，问：一共有几本？怎么想？再取出两本，占现在全部的几分之几？同样都是两本？为什么一个是五分之一，一个是四分之一？……一本的活页，取其中的二分之一，多少？再拿二分之一？再拿二分之一？……说得完吗？教师很自然地引出庄子的一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭。问：读懂这句话了吗？学生：你有一根一尺的木棍，你每天取它的一半，你永远取不完。多么深刻的领悟！

教学，往往需要教师有前跨的思维，又要有后退让出空间的从容，提出引发深层次思考的问题，促进探究。

二、“面”向立体，“积”淀数学素养——让数学思考经历考验

华罗庚说：新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。隐性的学习目标总是容易被教师忽视，逻辑推理的方法、想象抽象的策略，建立在学生对数学的思考是否具有更为宽畅的空间。数学学习中，思考方向往往是难以捉摸的，过程是充满曲折的，而这种经历，对学生的数学学习来说，恰恰是最有价值的。罗鸣亮老师对“面积”的建构就是一波三折的过程。

罗老师以方格图贯穿面积公式的建模过程，引导观察、思考、辨析，摒弃了动手操作，注重学生的数学思考。方格图分为三个层次：先出现完整的方格图，让学生猜6个面积1平方分米的正方形组成的图形是什么形状；接着是长方形长6、宽4中间没有方格线的方格；最后是长9、宽8的长方形，层次中体现深度。而学生要从长9、宽8的一维中想象纵横线上有几个方格，求出小方格总个数，在一维与二维之间的切换，学生找到长方形面积的突破口，这里，方格图起到了不可忽视的纽带作用。

罗老师以不同的长方形素材进行多梯度的模型建构，让长方形的形状呈多重立体式，即长方形是以一定单位的小正方形组成的，沟通一维与二维的区别时，学生搞混了周长与面积的不同，认知出现了错误。罗老师不急不缓，引导观察：长方形面积到底与什么有关？四个关键词：每行个数、行数、总个数、面积之间存在的逻辑体系。学生在罗老师的巧妙牵引下，顺利发现了一定数量的小正方形个数即面积的数量。花大力气对面积模型进行层层建构，最后却没有总结出面积的公式，体现了教师对模型思想的重视。

本节课，“讲道理”成为一大亮色。罗老师不断追问：你是怎么想的？请你讲道理好吧。就是让学生从数学的角度思考，进行推理演绎，得出结论。整节课通过数形结合的表征，直观呈现抽象的面积公式的本源：长方形面积为什么等于长×宽？这里的思维荒芜地带才是数学的本质：为什么要用长×宽？学生明白这样的道理吗？最后一个环节，还是以罗老师悬疑式的猜测结束：面积20平方分米的长方形，形状是什么？5×4、10×2、20×1、40×0.5……闪烁着哲学中的变与不变思想及极限思想。

有深度思考的课堂，才能让学生以理性的精神感知数学逻辑思维的奥妙！罗老师的面积模型建构过程，让学生充分领略了“面积”就是“面之积累”，而不是所谓的公式记忆。这一模型思想深植在学生心中，其策略会迁移到长方体体积的演绎上：所谓“体积”，就是“体之积累”。从二维到三维的切换，正是知识及逻辑体系的一脉相承。换句话说，就是为学生设置一个动态的学习路径。

三、“植”问题意识，“树”模型思想——让数学思考走向深刻

数学问题是课堂教学的价值支撑，问题引领的过程，就是体验、感知、领悟的过程，有的经历“轻舟已过万重山”，有的经历“山穷水尽疑无路”，固然没有所谓的最好，但是，轻易接触到的，学生的印象无法深刻，数学思想方法的渗透就无从谈起。

以植树问题为例。特级教师俞正强诠释的《植树问题》，切入点简单明了，两个问题：“20米，每5米分一段，共分几段？”“20米路，每5米栽一棵树，共栽几棵树？”“这两题一样吗？不一样在哪里？”学生通过对问题的思考，区分出平均分是一段一段的分，而种树是种在段与段之间两端的点上。

“点与段的差别在哪里？”问题的核心是让学生抓住点与段的区别，借助线段图这个直观模型，明白植树问题是一个怎样的问题：植树是植在点上的。俞老师所举的例子有趣：“奥巴马”是“树”——美国选总统每5年选一个奥巴马；“奖状”是“树”——每隔一学期一张奖状。俞老师总结朴实：一个“正宗”，即两端都栽；二个“方便”，即一端不栽、两端都不栽。从有形的“树”到无形的“树”，历经层层抽象，在多种复杂的问题中剥离非本质属性，建构模型，完善除法的知识体系，帮助学生丰盈对数学知识的认知，感悟模型思想，培养学生具有独立的、独特的思维方式和思维品格。

会举例，是证明学生思考成效的最好方式，它不是单纯的模仿，而是通过各个不同方向、事物的表征，找到一般性的代表，为抽象出数学的模型揭示数学的本质打好基石。从这个意义上说，俞老师建构的课堂就有了思考数学本真的思想，他在教导学生做到：如何能够超出生活经验并学会数学地思维，特别是数学抽象。（郑毓信语）而数学思想的蕴伏及体现，正如史宁中所说，数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型。其中抽象是最核心的。这为我们的数学思考打下了思想的“底子”。

高效的数学课堂，应当看到学生成为“追问者”，追问问题的本源、寻找解决的途径、参与流程的走向，经历抽象建模的过程。这样的课堂，才有真正的数学思考，我们期待。课堂中学生有独立的思考，把握数学本质，提高数学素养。

［1］人民教育编辑部.教学大道——写给小学数学教师［M］.北京：高等教育出版，2010.

［2］张丹.小学数学教学策略［M］.北京：北京师范大学出版社，2011.

［3］史宁中.数学思想概论——数量与数量关系的抽象［M］.长春：东北师范大学出版社，2008.

（责任编辑：陈志华）