关于一个提绳问题中能量转化的讨论

叶启航

(德清县高级中学　浙江 湖州　313200)



关于一个提绳问题中能量转化的讨论

叶启航

(德清县高级中学浙江 湖州313200)

摘 要：针对一道常见竞赛题中出现的动量解答结论与能量守恒矛盾的问题，进行深入探讨，重新审视常见解释，并提出新的观点，指出题目中存在的固有缺陷，并加以更正．

关键词：提绳动量内力能量转化

在很多参考书上，常常会见到这样一个问题，一根细绳放在地上，用力F提起一端，以匀速率提起，求绳离地时的一些物理量．在这里展示两本参考书上的原题．

文献[1]：一根铁链，平放在桌面上，铁链每单位长度的质量为λ，现用手提起链的一端，使之以速度v竖直地匀速上升，试求在从离地开始到全链恰离地，手的拉力的冲量，链条总长L．

文献[2]：长为L，质量为M的一根柔软绳子盘放在水平桌面上，用手将绳子一端以恒定的速率v向上提起，求当提起高度为x时手的提力．

在以上两种表述中，有一个很关键的区别，文献[1]的铁链是平放的，而文献[2]则是盘放的．但二者给出的答案是一致的．

较为容易理解的解答如下：在绳提起x时(对于文献[1]x=L)设力为F．

由动量定理

(F-λxg)dt=λdx·v

(1)

由绳约束

(2)

由以上两式

F=λxg+λv2=λvtg+λv2

(3)

再求冲量

(4)

但是如果进一步讨论F的做功情况会发现一个问题．利用式(3)，有

(5)

观察式(5)前面一项显然为绳的重力势能增量，而由于绳以速度v匀速向上，后一项是动能增量的两倍，这意味着机械能是不守恒的．有人对此提出解释说是绳内力做功，机械能转化为内能．然而我们知道，内力做功的条件是有内力存在，且质点间存在相对位移．如果说绳确实有微小形变的话，形变量应该与绳的一些性质有关，计算所得的结果应该涉及到绳的材料、内部结构等性质，而文献[1]与文献[2]分别采用铁链和柔软细绳，计算所得结果竟是一致的，这种解释显然是错误的．

那么为什么F做的功会“少了”一部分呢？

这就要从题目本身说起了．文献[1]中铁链是平放的,如图1所示.

图1

文献[2]中软绳是盘放的,如图2所示.

图2

对于图1，完全提起后绳的质心向左移动，则必有向左的力，那么绳在水平方向也一定有速度，则多出来的一倍动能其实是绳的横向摆动动能．而对于图2，虽然绳是盘放但由于提起时质点并不在拉力F作用点的正下方，仍然会发生横向的移动，只不过由于各个质点的摆动方向不一样，绳的质心并不发生偏移，绳会做复杂的绕中心转动的运动．

图3

关于力做功后物体运动方向与力的方向不一致的例子有很多，下面举一例以使讨论更为形象．如图3所示，一根轻绳两端系有两个质量为m的小球，初始位置如图3(a)，在绳中点处施加力恒F．容易想见最后小球相碰前会具有垂直于F的速度，如图3(b)，

而显然全过程只有F对系统做功．

对应于本题讨论，外力F做功，而内力就好比是绳的张力，在绳提起后内力将F做的功一部分转化为绳横向摆动的动能．事实上除了F那端上那个质点外，其余质点的机械能均直接来自于内力做功，因此绳运动方向取决于内力方向也就不足为奇了．

回到原题，用上述方法计算手的冲量或者提力就不那么妥当了，原题应改为求竖直方向上手的冲量或者提力．而且文献[1]中竖直提起条件是不可能满足的，这正是问题的症结所在．

参 考 文 献

1沈晨.更高更妙的物理.杭州：浙江大学出版社,2012.61, 322

2程稼夫.力学.合肥：中国科技大学出版社,2013.180,509气体对活塞压力变化量

(收稿日期：2015-10-11)