圆锥曲线中定值问题的探讨

楚尔轩



圆锥曲线中定值问题的探讨

楚尔轩

在系统复习圆锥曲线这一内容时，我发现有许多问题都要求学生求出其定值。定值题变化多端，解法也很多。本文总结了一些常用的思路，对提高复习教学的效率也许会带来帮助。椭圆C=1（a＞b＞0）的左顶点A（-a，0），M，N两点在椭圆C上，且AM⊥AN。问：直线MN是否经过定点？若是，求出这个点的坐标；若不是，说明理由。

当MN不垂直x轴时，设直线MN的方程为：y= kx+m，则与椭圆C的方程联立组成方程组：

当m=ak时，直线MN：y=kx+ak，恒过定点（-a，0），不合题意，舍去。

当m= ak（a2-b2）

c2=2。

而a2=b2+2，故解得，a2=4，b2=2。

设点Q（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）。

又点A，B在椭圆C上，所以

从（1）（2）（3）消去x1，x2，y1，y2，λ，得2x+y=2。这是定直线，故问题得证。

（作者单位：长沙市南雅中学）

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