数学解题的认识与实践（下）

罗增儒



数学解题的认识与实践（下）

罗增儒

2-2思路探求

（1）思路探求的基本含义。思路探求就是寻找题目条件与题目结论之间的数学联系，它表现为沟通条件与结论的一系列演算或推理。寻找解题思路是探索解题结论的发现过程。数学教学（特别是考试中）的基本思路是，把待解决或未解决的问题化归为一类已经解决或者比较容易解决的问题。

（2）思路探求探什么、怎么探。

可以分两步走，如图5，我们将思路探求“探什么、怎么探”设计为一个操作流程图。

图5

第一步，努力在已知与未知之间找出直接的联系——化归为已经解决过的基本问题。对于大量的常规题来说，题意弄清楚了，题型就得以识别，记忆中关于这类题的解法就招之即来。（也就是模式识别，课本中的重要定理及相关概念自动组成一个基本问题）

第二步，如果找不出直接的联系，就对原来的问题作出某些必要的变更或修改，恰当地运用解题策略，比如差异分析、以退求进、区分情况、层次解决、正难则反，以及自始至终的数形结合等。

①差异分析：通过分析条件与结论之间的异同并不断减少目标差来完成解题的思考方法叫做差异分析法。使用差异分析法有3个步骤：

一是通过分析题目中所出现的元素和特征去寻找异同点；

二是对目标差运用基础理论与基本方法作出减少目标差的某种反应；

三是把减少目标差的调节积累起来，直至消除。

②以退求进：可以先考虑问题的特殊情况，或先考虑问题的一部分，看清楚、想明白了再进。退是手段，进是目的，“难的不会则想简单的”是个好主意。在具体实践中，常常是进退互补。

③区分情况：或是分解为一个个小步骤（分步），或是分解为一个个小类型（分类），各个击破、分别解决。在具体实践中，常常是分合并用。

④层次解决：人们在创造性解决问题的过程中，思维是按层次展开的，先粗后细，先宽后窄，先对问题作一个粗略的思考，然后逐步深入到实质与细节。或者说，先作大范围的搜索，再逐步收缩包围圈。数学解题也是一个创造性活动，也可以层层深入地解决，我们叫做“三层次解决”。

第一层次：一般性解决。即在策略水平上的解决，以明确解题的总体方向。这是对思考作定向调控。

第二层次：功能性解决。即在数学方法水平上的解决，以确定具有解决功能的解题手段，这是对解决作方法选择。

第三层次：特殊性解决。即在数学技能水平上的解决，以进一步缩小功能性解决的途径，明确运算程序或推理步骤，这是对技巧作实际完成。

在进行“三层次解决”时，每一层次又可能有“三层次解决”。

⑤正难则反：正面思考有困难时，可以调整思考的方向，转而从结论入手（分析法、逆推法），或反面思考问题（反证法）。在具体实践中，常常是正反相辅。

⑥数形结合：在探索的过程中，要始终不忘把数与形结合起来思考，既会把数式转变为图形，又会把图形转变为数式，注意发挥数与形的双重优势。

值得注意的是，上述框图恰好组成一个由简单到复杂的解题思考程序：

第一步，如果能够辨别题目属于熟悉的类型，那我们就用该类型相应的方法来解决——模式识别。对于表面上不熟悉的题目可以通过分解或补充、转换化归为熟悉的类型。

第二步，如果题目不属于熟悉的类型，那我们就用差异分析并辅以数形结合等直接解决。

第三步，如果遇到不熟悉的或费解的习题，模式识别和差异分析都不能奏效，那我们需要运用更多的策略——以退求进、区分情况、层次解决等。

第四步，如果我们所有这些正面思考都不能奏效，那就正难则反，或者从肯定结论找充分条件（分析法），或者从否定结论找矛盾（反证法）。

请思考下面题目的解题思路。

例1（江苏省中考题）在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为点F，过点F作EF∥AB，交AD于点E（如图6）。求证：四边形ABFE是等腰梯形。

第一、理解题意

（1）弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何。条件说得很长，其实独立的有4个：

条件1：ABCD是直角梯形。直角梯形的数学含义有三个意思：AB∥DC；直线AD，BC不平行（相交）；∠ABC=∠DCB=90°。

图6

条件2：两底边满足AB=2DC。

条件3：对角线AC⊥BD（垂足为点F），对角线的数学含义是梯形相对顶点的连线。

条件4：EF∥AB。

（2）弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何。从字面上看，结论为：求证四边形ABFE是等腰梯形，而文字语言等腰梯形无法运算、不能推理，其数学含义有三个意思：EF∥AB（条件4，已知）；直线AE，BF不平行（条件3，对角线BD与一腰AD相交于D）；EA=FB（或∠EAB=∠FBA）。由于前两条是已知的，所以本题的结论是证EA=FB（或∠EAB= ∠FBA）。

（3）弄清题目的条件和结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构。（我们通过此例来体现分析法，也就是由结论到条件的沟通）

第二、分析法——多余条件的发现

如图7，由于EF∥AB，而AE，BF相交于D，所以，要证ABFE是等腰梯形，只需证∠EAB=∠FBA（或EA =FB）。

要证∠EAB=∠FBA，只需证△DAB是等腰三角形。

图7

可见，△DAB中，DG既是AB边上的高，又是AB边上的中线，所以△DAB是等腰三角形。

这个思路没有用到对角线AC⊥BD，说明这是一个多余的条件。

2-3书写表达

（1）书写表达的基本含义。就是把打通了的解题思路（即自己看清楚、想明白的事情），用文字具体表达出来，说服自己，说服别人（包括同意或不同意你看法的人）。考试中就是要说服阅卷老师。这当中可能会有某一步骤因忽视了关键细节而反复，也可能会因认真整理思想而深化理解或触发新的灵感，书写有整理与深化思维的功能。

（2）书写表达写什么、怎么写。应该看到，怎样表达对学生来说仍然是一个需要系统指导和严格训练的问题。事实上，数学语言的运用与表达是中学教学的一个薄弱环节，语言表述不规范，推理过程不完整，逻辑关系“能意会不能言传”等很普遍。我们对“写什么、怎么写”的建议是：

①平时抓“15字口诀”和“24字要领”。

“写什么”的15字口诀：定方法、找起点、分层次、选定理、用文字。总结出计算题格式，证明题格式，应用题格式，……

“怎么写”的24字要领：方法简单、起点明确、层次清楚、定理准确、论证严密、书写规范。

②临场抓“书写要快”和“分段得分”。如速度意识，写得分点，缺步解答，跳步解答，退步解答，倒步解答，辅助解答等，进可全题解决，退可分段得分。

请思考下面题目如何书写表达。

（Ⅰ）过程结束时绳子的总数。（你认为这是什么题型？或可以化为什么题型？）

（Ⅱ）过程结束时每个同学所拉绳子条数一样多的概率是多少？存在两个同学所拉绳子条数不同的概率是多少？

（Ⅰ）分四步讲解如下。

（1）探索：“难的不会则想简单的”，特殊化分组，发现结果。

对99个同学作1+98分组，用98条绳子。（第1个同学拉了98条绳子）

对98个同学作1+97分组，用97条绳子。（第2个同学拉了1+97=98条绳子）

依此类推，最后对2个同学作1+1分组，用1条绳子。（第98、99个同学拉了1+1+…+1=98条绳子）

对这个特殊的分组，绳子的总数为

（2）类比。类比数线段的求解，将人对应为点，将拉绳子对应为连线，则每个人都与另外98个人拉绳子就对应每一个点都与另外98个点连线，……这样一来，思路应该是通的。但是，怎么书写呢？

（4）感悟。本例中的同学拉绳子就是数线段中的点连线段，两两拉一条绳子的过程（两两连一条线段）会有多种方式，上例给出了其中一种方式。如果先计算每一次分组拉绳子的条数再求和，则有

图9

例2-1（变式）将平面上的n（n≥2）个点任意分成两堆，记下这两堆点数的乘积。继续这一过程，只要某堆的点数大于1，就把这堆点再随意分成两小堆，并记下两小堆点数的乘积，直至每堆只有1个点。求上述所有乘积之和。

将n个点记为A1，A2，…，An，当全体点被分成M1，N1两堆作乘法时，我们将M1中每一个点都与N1中的每一个点作连线，M1内部不连线，N1内部不连线，则连线的条数就是M1，N1两堆点数的乘积。可见，每次分堆点数的乘积就是每次分堆连线段的条数，所有乘积之和，就是n个点两两连线的总和。思路是通的，怎么书写呢？

对第（Ⅱ）问，由第（Ⅰ）问知过程结束时每个同学所拉绳子条数一样多，其概率为1，存在两个同学所拉绳子条数不同的概率是0。

2-4回顾反思

（1）回顾反思的基本含义。反思就是从自身的认识活动中脱身出来，作为一个旁观者来看待自己刚才做了些什么事情，使自己的活动成为思考的对象。有两个层面的回顾反思，一个是解题层面的回顾反思，另一个是学会解题层面的回顾反思。

（2）回顾反思“思什么”。

①解题层面的回顾反思。主要是复查检验，看计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多、更简单的。

有的检验是解题的必要步骤，检验之后，解题才算完成；

有的检验是避免过失的技术性措施，像足球守门员把住最后一关。

②学会解题层面的回顾反思。表现为解题后对数学题目本身及解题方法的重新认识，如思什么。

解题中用到了哪些知识？用到了哪些方法？这些知识和方法是怎样联系起来的？

自己是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什么？遇到过什么障碍？后来是怎么解决的？

还有别的解决方法吗？更一般的方法？更特殊的方法？沟通其他学科的方法？更简单的方法？同样的方法能用来处理更一般性的命题吗？

命题能够推广吗？条件能减弱吗？结论能加强吗？

这些知识和方法体现了什么样的数学思想？调动这些知识和方法体现了什么样的解题策略？

洞察问题的深层结构了吗？

题目有无科学性缺陷解法？有无逻辑性漏洞？

如此等等的思考不仅能改进和完善眼前的解题，还能提炼出对未来解题有指导作用的信息，它的长期积累会升华为数学才华。

（3）回顾反思“怎么思”。通常要经历整体分解与信息交合两个步骤。

①整体分解。就是把原解法的全过程分拆为一些信息单元，看用到了哪些知识、哪些方法，它们是怎样组合在一起的，从中概括出知识基础、逻辑结构、信息流程、心理过程等。有两个基本的思考方向。

方向1：正面思考

看解题过程是否浪费了更重要的信息，以开辟新的解题通道。这需要我们重新审视每一个知识点的发散度，特别是要从知识链上对知识内容作多角度的理解。

看解题过程多走了哪些思维回路，通过删除、合并来体现简洁美。

看是否可以用更一般的原理去代替现存的许多步骤，提高整个解题的观点和思维的层次。

看是否可以用一个更特殊的技巧去代替现存的常规步骤，以体现解题的奇异美。

看解题过程中哪一个是最实质性的步骤，抓住这一步既可简化过程又可迅速推广。

综合、全面地看条件与条件、条件与结论之间的联系，洞察问题的深层结构，体现数学的整体性与统一美。

还要看到，分析解题过程时，结论也是已知信息，这会使我们对题目的认识更加深刻和全面。

具体进行时，可以画逻辑结构图、信息过程图来帮助思考。

方向2：反面思考

可以使用否定假设法来提出问题。使用否定假设法的步骤是：

确定出发点（已知命题、问题或概念）；

对所确定的对象进行分析，列举出它的各个属性；

就所列举的属性进行思考。如果这一属性不是这样的话，那它可能是什么？

依据上述对各种可能性的分析提出新问题。

②信息交合：就是抓住整体分解中提炼出来的新认识或本质步骤，将信息单元转换或重组成新的信息块。这些新信息块的有序化，使认识更接近问题的深层结构。于是，一个新的解法就诞生了，所储存的数学知识之间的非人为的、实质性的联系就加强了，怎样学会解题的体验就生成了，提炼解题理论的基础也奠定了。

这4个步骤需要不断地反馈调节，即使4步完成了也存在反思改进的空间：有时候思路还比较麻烦，通过反馈调节而精简；有时候思路还存在错误，通过反馈调节而纠正。

（作者单位：陕西师范大学数学系）