用对称美巧解数学问题

文/靳桂霞

用对称美巧解数学问题

文/靳桂霞

大自然中具备对称美的事物有许许多多，如枫叶、蝴蝶的翅膀等等，对称本身就是一种和谐、一种美。对称美在数学中的应用也非常广泛，如：大家都非常熟悉的轴对称图形、中心对称图形等等，其实在各知识领域中，均可发现对称原理的应用。如何让学生掌握对称这一基本原理去解决一些实际问题，找到事物之间的内在统一性，用数学的思想去内化这一既简单又蕴涵深刻哲理的原理，这需要教育者深层次地了解问题的本质特征。

从回文数中得到启发，巧解等差数

回文数有许多，如：2002年就是一个回文数。整数乘法中最有趣的一个回文数就是：1×1=1，11×11=121。对回文数这一特殊现象，学生大多会产生浓厚的兴趣。运用这种对称的思想去解答一些难题时，就会事半功倍。在小学对于基础比较好的学生来说，学习等差数列求和时，大都用公式（首项+末项）×项数÷2来教学，可对于小学生来说，理解和掌握这个问题有一定困难。运用回文数的思想巧解等差数类型题的巧妙之处，在于将抽象的一组等差数列求和，转化为形象生动的形似回文数一般的对称求和方法，这和物理学中所说的正物质和反物质有异曲同工之妙。其实等差数列求和都可以用这种思路解答，运用对称的思维来理解等差数列比单纯讲求和公式要形象、生动得多。

从轴对称图形中发现对称原理的巧用

根据轴对称图形的一半和对称轴可以精确地画出轴对称图形的另一半图形，这是在教学了轴对称图形后常见的习题。在数学中，轴对称图形同时也为人们研究数学提供了某些启示，例如在博弈问题中也常运用这一原理。如：桌面上有21个棋子，排成一排，你一次可以任意拿取一到三个棋子，但拿一粒以上棋子时必须是相邻的即中间没有空隔或其他棋子，问：“两人轮流拿谁拿到最后一粒谁赢？你如果先拿能保证赢吗？”这题看上去挺复杂，按排列组合众多拿法要想一一分析清楚太费力，其实运用对称原理就非常简单，先拿的人只要先拿走中间一粒，左、右两边各剩十粒，这样对方拿左边的棋子，你就拿右边的棋子，并且个数和位置和他对称，如此一来，只要他有的拿，你也有的拿，因此最后一粒必然落入你手中，因此先拿必胜。如果棋子是20粒（偶数个），你就先拿中间的两粒，让左右两边各剩9粒棋子，这样你就必胜。

运用对称原理巧算方程

大家都知道算术思维是逆向思维，而方程思维是顺向思维。用方程的思维可以解答一些算术方法较难解决的问题。小学生对算术的解法根深蒂固，可对方程的解法却始终有排斥的心理。究其原因，是学生对方程缺乏深层的理解，没有认识到方程本身就是运用对称的原理，不论正反比例关键是要找到不变的量，方程的左边和右边就像轴对称图形的左右两边，虽然模样不完全一样，但是结果大小一样。左边和右边找到了不变的量也就会列方程了。同样的，在解方程中如果运用对称的原理，就使得问题简单得多。“对称”在数学上的表现是普遍的：轴对称、中心对称、对称多项式等。奇偶性也可以视为对称，从运算关系角度看，互逆运算也可视为对称关系。

作为教师不仅要传授学生知识，更重要的是要培养学生发现美、创造美的能力，让学生在学数学的过程中渗透数学的美，发现数学的美，从而进一步提高学生数学素养，努力探索世界的真、善、美，就像一位物理学家所说的那样：如果一个理论它是美的，那它一定是个真理。

(作者单位：北京市顺义区龙湾屯中心小学）