基于奇异值分解和相干积累的DOA估计方法

邓超升，朱立东

(电子科技大学 通信抗干扰技术国家级重点实验室，四川 成都 611731)



基于奇异值分解和相干积累的DOA估计方法

邓超升，朱立东

(电子科技大学 通信抗干扰技术国家级重点实验室，四川 成都 611731)

摘要：简单介绍了常规谱估计算法在存在相干信号源条件下的缺陷以及几种单快拍条件下的DOA估计方法，结合阵列信号模型对单快拍条件下的DOA估计算法进行了分析。在此基础上，提出了一种基于奇异值分解(SVD)和快拍数据相干积累的DOA估计新方法。通过理论分析和仿真测试，证明该方法能利用单次快拍数据或相干积累数据对相干信号实现解相干，降低了DOA估计的均方根误差，提高了成功分辨概率。

关键词：空间谱估计；相干信号源；单次快拍；奇异值分解；相干积累

0引言

波达方向(Direction Of Arrival,DOA)估计是阵列信号处理的一个重要分支，在雷达、声纳、卫星和移动通信系统等领域具有重要的研究意义。在实际应用中，由于多径传播、人为干扰等因素的影响，空间中存在大量的相干信号源，使得一些成熟的DOA估计方法(如：MUSIC[1]、ESPRIT[2])无法正确分辨出各路信号的来波方向。因此，在空间中存在相干信号源的情况下，必须对接收信号进行解相干处理，才能使用传统的方法进行DOA估计。常用的解相干处理方法有降维法(如：空间平滑算法和矩阵重构算法)和非降维法(如：Toeplitz算法和子空间拟合算法)[3]。通常情况下，上述算法均需要获取足量的快拍数据才能够达到相对满意的DOA估计效果，在只有一次快拍数据可用或是进行快拍数据相干积累的情况下算法失效。

1阵列信号模型

假设有N个远场窄带信号入射到由M个全向阵元组成的均匀直线阵列上(N≤M-1)，阵元间距为d。若将第1个阵元所在的位置设为参考点，则t时刻阵列的接收数据可以表示为:

X(t)=A(θ)S(t)+N(t)，

(1)

阵列接收数据的协方差矩阵定义为：

A(θ)RSSA(θ)H+RNN。

(2)

在只有单快拍数据可用或者快拍相干积累的情况下，式(2)的秩降为1，对式(2)进行特征值分解不能将信号子空间和噪声子空间完全分离。此时，在式(2)为基础上的进行展开的子空间类算法将失效。

文献[4]利用阵列接收的快拍数据构造出一个具有与式(2)所示的协方差矩阵性质类似的矩阵R，称为伪协方差矩阵。在入射信号为实信号的前提下，结合阵列流形向量a(θi)的特点，该矩阵可以写为R=A(θ)DA(θ)H+RN，其中D为N×N维对角矩阵，其表达式为D=diag(s1(t),s2(t),…,sN(t))；RN表为噪声构成的矩阵。如果入射信号不是实信号，则R≠A(θ)DA(θ)H+RN，对R进行特征是分解后得不到正确的信号子空间和噪声子空间。因此，通过该方法无法得到正确的DOA信息。此外，通过仿真验证，若使用相干积累的快拍数据按照该方法构造伪协方差矩阵，对相隔较近的相干源会造成估计精度上的损失。

为改善在单次快拍数据或相干积累数据下的DOA估计算法性能，本文提出了一种基于奇异值分解和相干积累的DOA估计新算法，该算法能在不减小阵列自由度的前提下实现相干信号源的DOA估计，适用于不同形式的信号源，且经过快拍相干积累后能在低信噪比情况下依然具有较好的分辨力和稳定性。

2基于SVD和相干积累的DOA估计算法

对阵列的接收信号模型进行分析可知，一次快拍数据中就已经包含了阵列所能提取到的所有入射信号的空间到达角度信息，多次快拍数据并没有增加新的空间到达角度信息。在拥有少量快拍数据的情况下，可以通过阵列输出数据的相干积累来提高信噪比。设有P个快拍数据可用，在已知入射信号频率的条件下，可构造P维列向量F，F的表达式为：

(3)

A(θ)SF+NF，

(4)

RXX=X(t)X(t)H=

A(θ)RSSA(θ)H+RNN，

(5)

PXX≈UM×KΣK×KVTK×M，

(6)

式中，K为大特征值的个数，U和V分别为PXX的左奇异矢量和右奇异矢量组成的矩阵，Σ为对角矩阵，对角元素为RXX的K个大奇异值。由于RXX的秩为1，对RXX进行奇异值分解得到一个明显区别于其他奇异值的大奇异值和一系列小奇异值，因此，K=1，式(5)可以表示为：

(7)

(8)

(9)

若将阵列流形矩阵表示为：

(10)

式中，a1(θ)=[1,1,…,1]为A(θ)的第1行，aM(θ)=

为A(θ)的最后一行。由阵列流形矩阵的结构特征可得：

A2(θ)=A1(θ)Φ(θ)，

(11)

式中，Φ(θ)=

(12)

则存在一个可逆矩阵T使得：

(13)

则有：

ES2=A2(θ)T=A1(θ)Φ(θ)T=ES1T-1Φ(θ)T。

(14)

令G(θ)=T-1Φ(θ)T，则ES1ES2+=G(θ)。由于G(θ)与Φ(θ)具有相同的特征值，因此对G(θ)进行特征值分解即可得到相应的特征值e-j2πdsinθn/λ(1≤n≤N)，从而求解得到源信号的来波方向。

3数值仿真分析

① 设在信噪比为5 dB情况下，阵元间距d=λ/2。4个等功率相干信号入射到阵元数目M为15的均匀直线阵列上，信号的载波频率为12 GHz，采样频率为25 GHz，入射信号的到达角分别为18°、20°、30°和40°。快拍数为P=150，相干积累时长Tmax=6ns。分别使用指数信号和正弦信号作为入射信号进行仿真，验证文中算法和文献[4]算法在不同入射信号形式下的空间角度分辨性能。为便于观察，仿真使用MUSIC算法进行空间谱估计，搜索精度为1°。2种算法在不同信号形式下的空间谱如图1所示。

图1　不同算法的空间谱

② 假设进行n次独立重复实验，N个信号源的到达角均方根误差定义为：

(15)

③ 选取4个完全相干的信号进行仿真，入射信号形式为正弦信号，且到达角分别为10°、15°、25°和30°。分别统计在单次快拍数据的条件下、相干积累的快拍数P分别为5、20、50和100的条件下文中算法的均方根误差，采用ESPRIT算法进行200次蒙特卡罗仿真，其他仿真数据同仿真①。均方根误差随信噪比的变化曲线如图3所示。

图2　不同算法的均方根误差对比曲线

图3　均方根误差统计曲线

④ 设4个等功率相干信号到达角分别为10°、20°、30°和40°，采用正弦信号进行仿真。在不同信噪比下统计文中算法在单快拍数据和不同相干积累快拍数的条件下对各路入射信号的成功分辨率。设快拍数P分别为5、20、50和100。其中，当对各个角度的估计值与其真实到达角之间误差均小于0.2°视为成功分辨，成功分辨率曲线如图4所示。

图4　成功分辨概率统计曲线

图2显示，对于4个相隔较远的相干信号，当使用单次快拍数据进行均方根误差统计时，在信噪比低于0dB的条件下文献[4]算法与文中算法的均方根误差都>2°。当信噪比大于0dB，文中算法的均方根误差迅速降低到0.5°，并保持下降趋势，在20dB达到0.043°；而文献[4]算法随信噪比升高均方根误差降低到0.4°左右便下降缓慢，到20dB时为0.33°。当相干积累快拍数P=100时，在信噪比从-5dB增长至20dB的过程中，文献[4]的均方根误差从0.355°降低到0.329°，而文中算法的均方根误差从0.186°下降到0.009 7°。由以上数据可知，在相同仿真条件下，文中算法在均方根误差方面的性能优于文献[4]算法。

图3显示，文中算法在不同信噪比下的均方根误差随相干积累的快拍数P紧密相关。直接使用单次快拍数据进行DOA估计，在-5～2dB范围内使用文中算法得到的均方根误差大于1°，且在该信噪比范围内，均方根误差值急剧减小；在信噪比为3～20dB的范围内，均方根误差逐渐减小至0.068 9°。若进行快拍数据的相干积累，在相同信噪比条件下，文中算法得到的均方根误差随快拍数的增加而逐渐减小。当相干积累快拍数目P=5和P=20时，均方根误差分别在信噪比为-1dB和-3dB时低于1°，且两者对应的均方根误差的差值从-5dB时的2.93°下降到0.01°。当相干积累快拍数目P=50和P=100所对应的均方根误差曲线非常接近，且在信噪比为-5dB时均<0.35°，并随信噪比的增加逐渐减小，在信噪比为20dB时分别达到0.016 3°和0.010 6°。由图2可以得出结论，若在单快拍数据条件下使用文中算法进行DOA估计，可以在信噪比3dB以上得到较低的均方根误差；若在相干积累数据条件下，只要相干积累的快拍数P满足文献[12]中的条件，文中算法的均方根误差随相干积累的快拍数目的增加而降低，并且能在低信噪比下获得良好的估计性能。

由图4中的成功分辨概率曲线显示，文中算法随信噪比的增加，成功分辨概率逐渐提高。在不进行相干积累的条件下，信噪比在15dB以上才能100%成功分辨出4路相干信号，在信噪比高于9dB范围内成功分辨概率高于90%；且在信噪比为-5dB以下几乎无法正确分辨。当相干积累快拍数P=5时，信噪比在9dB以上可以100%成功分辨出所有信号。当P=20、P=50时，分别在信噪比为5dB和4dB时达到100%成功分辨。当P=100时，在信噪比为-3dB时成功分辨概率大于90%，并且在0dB时达到100%。数据显示，文中算法在进行快拍相干积累条件下的成功分辨概率在相同信噪比下,高于单次快拍条件下的成功分辨概率。总体来说，文中算法对少量快拍数据进行相干积累后,可以提高对相干信号的成功分辨概率，尤其是在低信噪比条件下。

4结束语

经典的DOA估计算法建立在获取足够多快拍数据的基础上，尤其是当入射信号中存在相干源。对阵列的接收数据而言，单次快拍数据中就已经包含了所有入射信号的DOA信息，多次快拍数据较一次快拍数据没有增加更多的入射角度信息。然而，可以通过对快拍数据进行相干积累来达到提升信噪比的目的。多次快拍的相干积累获得的数据类似于单快拍数据，可以看成M维列向量。文中算法利用一次快拍数据或相干积累得到的数据进行相干信号的DOA估计。该算法通过奇异值分解获取包含所有入射信号来波方向信息的奇异矢量，再进行满秩协方差矩阵重构，最后通过ESPRIT算法获取DOA信息。该算法能在不减小阵列自由度的前提下实现相干信号源的DOA估计，且不需要进行空间角度扫描，减小了计算量。同时，该算法适用于不同形式的信号源，且在低信噪比情况下具有良好的成功分辨概率和较低的均方根误差。

参考文献

[1]SchmidtRO.MultipleEmitterLocationandSignalParameterEstimation[J].IEEETransactionsonAntennas&Propagation,1986,34(3):276 - 280.

[2]Lok A T Y,Davoodian P,Chin R C,et al.SensitivityAnalysis of DOA Estimation Using the ESPRIT Algorithm[C]∥ Aerospace Conference,2010 IEEE.IEEE,2010:1 - 7.

[3]陈辉,黄本雄,王永良.基于互相关矢量重构的解相干算法研究[J].系统工程与电子技术,2008,30(6):1005-1008.

[4]谢鑫,李国林,刘华文.采用单次快拍数据实现相干信号DOA估计[J].电子与信息学报,2010,32(3):604-608.

[5]蒋柏峰,吕晓德,向茂生.一种基于阵列接收信号重排的单快拍 DOA 估计方法[J].电子与信息学报,2014,36(6):1334-1339.

[6]王凌,李国林,谢鑫.互耦效应下用单快拍数据实现相干信源完全解相干和解耦合[J].电子与信息学报,2012,34(10):2532-2536.

[7]Ren Q S,Willis A J.Extending MUSIC to Single Snapshot and on Line Direction Finding Applications[C]∥ Proc of IEEE Radar 97.Edinburgh.UK：IEEE，1997:783-787.

[8]Kim J T,Moon S H,Han D S,et al.Fast DOAEstimation Algorithm Using Pseudocovariance Matrix[J].Antennas and Propagation,IEEE Transactions on,2005,53(4):1346-1351.

[9]王凌,李国林,隋鉴,等.单次快拍波达方向矩阵法[J].系统工程与电子技术,2012,34(7):1323-1328.

[10]梁浩,李小波,王 磊.采用单次快拍数据实现信源DOA估计[J].数据采集与处理,2013,28(1):58-63.

[11]Zhang H,Ge L,Wu Y.Two-dimension Direction Finding Using Single-snapshot Data[C]∥ Communication Technology,2006.ICCT '06.International Conference on.Guilin:IEEE,2006：1-4.

[12]李涛,李国林,徐珩,等.采用相干积累矢量平滑实现小样本信号解相干[J].西安电子科技大学学报,2011,38(6):113-116.

Method of DOA Estimation Based on Singular Value Decomposition and Coherent Accumulation

DENG Chao-sheng,ZHU Li-dong

(National Key Laboratory on Science and Technology of Communications,UESTC,Chengdu Sichuan 611731,China)

Abstract：This paper briefly introduces the disadvantages of conventional spectrum estimation algorithms when dealing with coherent sources and several common methods of single snapshot DOA estimation,and then analyzes the single snapshot DOA estimation method with the model of array signal.On this basis,a novel DOA estimation method based on the singular value decomposition (SVD) and coherent accumulation of snapshots is proposed.The theoretical analysis and simulation test results show that this method can make the coherent sources de-correlated with single snapshot data or data of coherent accumulation,reduce the root mean square error of DOA estimation,and improve the probability of successful separation.

Key words：patial spectrum estimation;coherent sources;single snapshot;singular value decomposition;coherent accumulation

中图分类号：TN911.7

文献标识码：A

文章编号：1003-3114(2016)02-27-4

作者简介：邓超升(1989—)，女，在读研究生，通信与信息系统专业，主要研究方向：阵列信号处理。朱立东(1968—)，男，教授，主要研究方向：无线与卫星通信系统的信号处理、信道建模与仿真、资源管理及移动性管理等。

基金项目：国家高技术研究发展计划(863计划)(2012AA01A502)；四川省科技支撑计划资助项目(2014GZX0004)

收稿日期：2015-10-23

doi:10.3969/j.issn.1003-3114.2016.02.07

引用格式：邓超升，朱立东.基于奇异值分解和相干积累的DOA估计方法[J].无线电通信技术,2016,42(2):27-31,69.