探究一道中考选择题的解法

☉浙江省浦江县实验中学　方　芳



探究一道中考选择题的解法

☉浙江省浦江县实验中学方芳

题目（2014年湖北武汉）如图1，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA、PB 于C、D两点.若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（）.

图1

分析：此题以圆的一个基本图形为背景设置，内涵十分丰富：PA=PB；连接OA、OB，则∠OAP=∠OBP=90°；连接OP，则OP平分∠APB；连接AB，则OP垂直平分AB……

又CD切⊙O于点E，所以CA=CE，DB=DE.

一、直接法

图2

二、转化法

注意到∠APB=2∠APO，可利用Rt△PAO斜边上的中线构造一个与∠APB相等的角，求出这个角的正切值即可.

图3

三、割补法

连接OA、OB得到一个一组对角为直角的四边形，不妨把这种四边形称为“双垂四边形”，它是一种特殊的四边形，在已知和未知难以直接产生关系时，通常采取用“割”与“补”的方法来添加辅助线，将其转化为熟悉的图形来求解.

1.补成直角三角形+相似三角形

解法3：如图4，延长BO交PA的延长线于点F，则△PBF为直角三角形.

图4

因为BF=BO+FO，

2.补成矩形+相似三角形

所以故选B.

3.割成矩形+相似三角形

图5

图6

四、倍角法

图7

注意到∠APB=2∠APO，而∠APO是Rt△APO的一个锐角，用高中倍角公式可直接求解，方法十分简洁.

解法6：如图7，连接PO，则∠APB=2∠APO.

从这道中考选择题的初中解法看，尽管所添的辅助线不同，但都体现了一种共同的思想──转化思想，几种解法都用到了一些基本图形性质，如直角三角形、等腰三角形、矩形，以及全等三角形、相似三角形等基础知识.带给我们的教学启示是：即使是比较复杂的问题，所用到的知识也是基础知识的组合和数学思想方法的凸现，这就要求教师在日常教学中，尤其在中考复习阶段，不仅要精挑典型问题、教给学生解题方法，而且还应与学生共同探究有哪些解法，让学生说出“为什么这样想”，“用到哪些知识”，“哪种解法更自然”，“哪种方法更简洁”，“同样的方法能用来处理更一般性的问题吗”，“这些方法体现了什么样的数学思想”，潜移默化地增强学生解题的信心、提升解题能力.在课堂教学中，教师不能只当“二传手”的角色，而要用心去思考、去变化，用智慧去整合、去创新，唯有如此，学生才能受益无穷.