考虑运动副间隙的剪式线性阵列可展结构动力学分析

李博，王三民，袁茹，智常建

西北工业大学 机电学院，西安 710072

考虑运动副间隙的剪式线性阵列可展结构动力学分析

李博，王三民*，袁茹，智常建

西北工业大学 机电学院，西安 710072

为了精确研究剪式线性阵列可展结构的动力学性能，在该机构的运动副中引入间隙,通过含间隙转动副元素之间的运动规律建立了该运动副的运动学模型。基于Gonthier接触力模型和修正的Coulomb摩擦力模型分别计算了含间隙转动副元素之间的法向与切向接触力。进一步把该接触力转换到间隙运动副所联接的杆件与滑块的质心处，并将其集成到剪式可展结构动力学模型的广义力中，从而成功地将关节间隙效应引入到可展结构中。采用一种新的违约校正法直接对系统的坐标和速度进行修正，避免了数值结果的发散并可确保将违约控制在给定的精度范围内。通过数值分析预测了运动副间隙对剪式线性阵列可展结构动力学性能的影响，为研究可展结构的运动精度和机构设计提供了参考和依据，拓展了间隙碰撞模型的应用范围，有利于工程实际应用。

可展结构；运动副间隙；Gonthier接触力模型；直接违约校正法；动态特性

可展结构(Deployable Structures)是一种可展开式折叠结构[1]。在航天领域，由于需要运载的可展结构日趋庞大，而运载工具的空间有限，故可展结构都以折叠压缩状态送入太空，到达空间预定轨道后再稳定展开为所设计的几何构型。因此，关于可展结构的研究已成为现阶段的研究热点。

随着可展结构在航天领域的广泛应用，对该结构的运动学精度和稳定性要求也越来越高[2-3]。近十几年，可展结构的几何构型与动力学研究引起了国内外学术界的高度重视[4-9]。Langbecker[4]关于可展开式剪式结构的运动特性及展开条件做了较深入的研究，建立了折叠方程用以分析平移、圆柱以及球副机构的展开过程。Zhao等[5]研究了以剪式单元为基础的可展结构，对其运动学与机构性能进行了分析，并利用圆柱副和球面副扩展了该类机构的空间形式。胡海岩等[6]描述了大型网架式可展结构展开过程如何应对运动副间隙导致的碰撞接触和构件柔性以及交变热载荷对其产生的影响。阎绍泽和申永胜[7]基于考虑运动副间隙的两状态接触力模型研究了可展结构在引入间隙后的动力学性能，并通过柔性杆件减少了运动副间隙导致可展结构的振颤。Li等[8]基于有限元方法研究了考虑运动副间隙的可展结构的动力学性能，并通过虚拟试验模态验证了该分析方法的合理性。黄铁球等[9]借助传统的有限元方法，建立了含铰接间隙大型桁架式伸展机构的普遍非线性动力学方程。

与传统机构设计时仅考虑运动与动力要求不同，设计剪式阵列可展结构时必须充分考虑展开过程中的运动同步性。这是因为在展开过程中，如果单元机构之间的运动失步，将使杆件发生较大的弯扭变形，造成整个机构的运动卡滞现象，使展开过程失败。在实际机构运动过程中，间隙的存在是不可避免的，铰链处的间隙更是影响机构精度和重复性的重要误差来源。在可展结构中，关节间隙的存在不仅会引入额外的自由度，而且会导致间隙关节元素之间的接触碰撞，造成机构运动不同步，从而导致机构整体失效。因此，间隙对可展结构动力学特性的影响已引起了学者们的广泛注意。对含间隙机构动力学特性的模拟主要有3种方法：无质量杆方法[10]，弹簧阻尼方法[11]和动量交换法[12]。在这3种方法里，第3种方法考虑了碰撞过程中的能量耗散，是更接近于真实碰撞的。

因此，基于以上研究结论，为了更加准确地预测间隙对可展结构动态特性的影响，本文在不考虑可展结构构件柔性的情况下，在剪式单元的运动副中引入间隙。采用Gonthier接触力模型建立了接触体之间的法向接触力，并通过修正的Coulomb摩擦力模型考虑了接触体之间的切向接触力。最后，通过多体系统动力学方程建立了考虑运动副间隙的剪式机构动力学模型，并采用一种新的违约校正法直接对系统的坐标和速度进行修正，避免了积分过程中的约束违约问题并可确保将违约控制在给定的精度范围内。

1 考虑运动副间隙的可展结构动 力学模型与方程

1.1 考虑间隙下剪式可展结构的约束方程

单独一个剪式单元由两个连杆经销轴联接而成，将同一剪式单元沿x轴进行阵列，相邻单元之间通过运动副相连，可组成线性阵列结构，两单元可展结构的模型及坐标系如图1所示。杆1和杆2可绕销轴B相互转动，并分别铰接在点A和点M处，滑块具有沿My方向的自由度(杆3、杆4具有类似的铰接关系)。铰链O1、O2分别为两杆长度的中点，γ为结构的展开角度，F点受水平横向载荷作用，F=50 N。为了减少计算量，以A处铰链为代表，在该处引入间隙，同时为了清晰表示铰链处的间隙情况，将A处的联接关系进行局部放大，如图1中A点所示。

图1 考虑间隙的剪式线性阵列可展结构Fig.1 Deployable structure based on scissor-like element considering revolute clearance

(1)

假设图1中各构件的长度均为l，则理想机构中移动副对滑块的位置约束为

(2)

铰链点M对构件2有两个绝对位置约束：

(3)

(4)

1.2 剪式可展结构动力学方程

在获得剪式可展结构运动约束方程的基础上，可将该机构系统的运动方程表示为

(5)

在动力学分析中，当约束方程和运动微分方程被同时考虑时，通过一组合适的初始条件才能获得方程的惟一解。因此，速度和加速度约束方程是必须的。将考虑转动副间隙的运动约束方程对时间t求一阶导数导出该机构的速度约束方程：

(6)

将运动约束方程相对时间求二阶导数导出该机构的加速度约束方程：

(7)

式中：γ为加速度方程右端项，是包含速度、位移和时间的函数。

在完整定长约束中，当约束方程Φ没有显含时间t时，方程式(6)中的Φt和方程式(7)中的Φq t和Φtt将消失。结合方程式(7)和方程式(5)可导出系统的动力学方程为

(8)

式(8)求得的结果可以满足加速度约束方程，但对位置和速度约束方程没有进行校正，为了避免约束违约问题，本文采用一种新的直接违约校正法进行处理。该方法与目前常用的Baumgarte法相比，因直接对系统的广义坐标和广义速度进行修正，可以确保将违约控制在给定的精度范围内[15]。

(9)

由位置约束方程式(4)可知其一阶变分为

(10)

则对式(9)作泰勒展开有

(11)

由式(11)可得

(12)

(13)

2 剪式可展结构转动关节的间隙运动学模型

实际转动副由于间隙的存在将导致该转动副的运动约束被力约束所代替(轴将在轴套的范围内自由运动，利用接触碰撞力约束其运动副)，即在引入间隙后转动副中增加了2个自由度。所以考虑间隙后转动副的运动学规律是研究接触碰撞对剪式结构动力学性能影响的前提条件[14]。

2.1 接触状态判定

图2 剪式可展结构含间隙转动副的自由状态Fig.2 Freedom state of scissor-like deployable structure with revolute clearance joint

根据图2可以得出含间隙转动副的偏心距为

(14)

则其接触变形量为

(15)

式中：c=RB-RJ为径向间隙。间隙关节元素间的接触状态由接触变形量δ确定，负值表示轴颈在轴承内自由运动，正值表示接触体间相互碰撞或渗透：

2.2 潜在接触位置探测

图3 潜在接触位置的探测Fig.3 Potential contant position detection

假设Qb和Qj分别对应于轴套和轴颈的潜在接触点，则接触体的潜在接触点必须满足以下几何约束条件：1)潜在接触点间的距离应为相应接触区域内的最大距离;2)拥有最大距离的潜在接触点矢量δ必须与接触碰撞表面的法向矢量nb共线;3)来自2个接触体的潜在接触点，其各自接触碰撞表面的法向矢量nb和nj必须共线[17-19]。

连接两个潜在接触点的矢量δ是一个间隙函数，可以表示为

(16)

(17)

(18)

式中：δ为δ的模，由方程式(15)确定。

由于无法准确获得接触点的坐标，所以仅仅通过条件1)是不能确定潜在接触点的位置的。因此，需沿着最大相对变形的法向方向考虑条件2)和3)：

(19)

(20)

方程式(19)和式(20)是两个非线性方程，并只有两个未知量，使用Newton-Raphson迭代法可获得潜在接触点的坐标。

2.3 相对接触速度

当潜在接触点的坐标确定以后，可以进一步获得接触体间的相对碰撞速度，如图4所示。

图4 剪式可展结构含间隙转动副碰撞时的渗透深度Fig.4 Penetration depth of scissor-like deployable structure with revolute clearance joint during impact

图4表示了轴套b和轴颈j之间的碰撞状态，对方程式(17)相对于时间求导可以得到接触点处的碰撞速度为

(21)

接触点在接触碰撞面的法向和切向速度分别用vN和vt表示。相对法向速度决定了碰撞体间的接近或分离。将碰撞速度分别沿法向和切向投影可以得到相对接触速度为

(22)

3 剪式可展结构铰链间隙的动力学模型

3.1 接触力模型

文献[17]研究了Hertz接触理论从单纯的弹性接触到考虑接触能量耗散的非线性接触力模型的发展历程，Hertz接触理论不断完善的最终目的是为了精确地描述接触体之间的力学关系，提高接触力模型在多体系统动力学分析中的精度。其中考虑接触材料内部阻尼耗散接触能量的接触力模型更加接近其接触本质[20]，又以Lankarani-Nikravesh接触力模型应用最为广泛。相比于接触过程中吸收的最大弹性势能，在耗散能量较小时，Lankarani-Nikravesh接触力模型是可靠的。但由于Lankarani和Nikravesh[21]在推导该接触力模型时选择了较高的恢复系数，导致该模型的使用范围受限于恢复系数和材料的选择。在软材料的恢复系数不够大时，Lankarani-Nikravesh模型中的滞后阻尼系数是不能使用的。

因此，本文选用Gonthier接触力模型进行求解。该接触力模型不仅同时适用于软材料和硬材料的接触，更能同时反映完全弹性接触和完全塑性接触并在较大面积的接触中结果更好[22]。

(23)

(24)

运动副间隙的切向接触特性可以通过切向摩擦力Ft模型描述，本文考虑间隙摩擦为干摩擦，不考虑润滑。为了准确描述剪式可展结构接触体间的干摩擦行为，以及相对低速情况下出现的粘滞和滑移现象，利用Ambrósio[24]提出的修正Coulomb摩擦模型。该模型引入了动态修正系数cd与滑动摩擦系数μd，可以很好地稳定数值积分运算并可以减少时间步长：

(25)

其中滑动摩擦系数μd取为0.01，vt可由式(22)得到，cd的表达式为

(26)

式中：v0和vm为接触表面相对切向速度的极限值[23]。

3.2 广义力的转化

剪式可展结构在展开收缩过程中，由于间隙的存在，会在接触点产生碰撞力，为了判断间隙关节处下一时刻的接触状态，要把该接触力向构件质心处转化，同时将该力和由其引起的额外力矩施加到构件质心处[25]。含间隙转动副的接触力为

(27)

作用在杆1和滑块0上的接触力互为作用力和反作用力

(28)

式中：F0和F1分别为间隙关节处轴套和轴颈受到的碰撞力。

将接触力F分别向杆1质心和滑块质心转化后产生的额外力矩为

(29)

4 数值计算

假设图1中各杆为均质直杆，杆长均为566mm，质量为3.7kg，转动副关节各元素的尺寸与属性参数如表1所示。

表1 剪式机构间隙关节元素的属性

根据初始参数，将相关的物理量代入式(8)，得到在转动副间隙为0.5mm时关节副间隙对剪式可展结构动力学特性的影响。图5～图7分析了在考虑间隙和理想情况下转动副间隙对剪式结构动态特性的影响，图8分析了在该间隙下运动副反力随时间的变化规律。

图5 杆件1质心处的位移响应曲线Fig.5 Displacement response in the center of mass of bar 1

图6 杆件1质心处的速度响应曲线Fig.6 Velocity response in the center of mass of bar 1

图7 杆件1质心处的加速度响应曲线Fig.7 Acceleration response in the center of mass of bar 1

由图5可知，理想机构和考虑铰间间隙的位移曲线基本重合。由图6可知，考虑铰间间隙时，杆件1质心处的速度围绕理想无间隙质心的速度在0.03s附近出现突然的波动，但整体趋势较稳定，说明铰间间隙对连杆的速度影响较小。由图7可知，理想机构在水平力作用下连杆质心处的加速度曲线很光滑，但考虑铰间间隙时，加速度曲线出现明显的波动和不同的峰值，并且幅值有较大变化，说明含间隙转动副在该时刻发生了接触碰撞，较大程度影响了机构的运动精度。同时由图5(b)、图6(b)和图7(b)可知，由于外载沿着x方向，所以连杆质心在y方向的位移、速度和加速度波动较小，与理想曲线基本重合。运动副反力如图8所示，由于间隙的存在，运动副反力较大并且表现出高频振荡的特点，其对应的冲击力将对该机构的动力学性能造成严重影响。

图8 关节A处的运动副反力Fig.8 Impact force in joint A

5 结束语

1)在转动副间隙为常数的情况下，通过考虑剪式结构中连杆与滑块间隙研究了间隙对剪式结构动力学性能的影响。结合Gonthier接触力模型和修正的Coulomb摩擦力模型分别计算了含间隙转动副元素之间的法向与切向接触力，并将该接触力转化到质心处。将间隙特性引入到该机构的动力学模型后，采用一种直接违约校正法完成速度和位移的校正，最后根据数值迭代过程完成动力学仿真。

2)通过对含间隙机构的动力学特性进行研究可知：间隙效应对机构动力学行为的影响是不可忽略的。图7和图8显示在0～0.15s内，含间隙机构的加速度和约束反力相对于理想机构出现高频振荡的特性，说明含间隙转动副元素在这个时间段内连续碰撞，由碰撞引起的极大碰撞力会导致机构的动力学性能急剧退化。

3)本文建立的Gonthier接触力模型和修正的Coulomb摩擦力模型真实地反映了可展结构的动力学特性，为研究可展结构的运动精度和结构设计提供了基础。

References)

[1] 李博, 王三民, 袁茹. 剪式单元直线阵列可展结构的稳定性[J]. 哈尔滨工业大学学报, 2014,46(9): 50-54.

LI B, WANG S M, YUAN R. Stability of linear array deployable structures based on structure of scissor-like element[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2014, 46(9): 50-54(in Chinese).

[2] 白争锋. 考虑铰间间隙的机构动力学特性研究[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学,2011.

BAI Z F. Research on dynamic characteristics of mechanism with joint clearance[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2011(in Chinese).

[3] 李博, 王三民, 袁茹, 等. 基于剪式线性阵列可展结构对称性的动力学分析方法研究[J]. 西北工业大学学报, 2015, 33(4):665-671.

LI B, WANG S M, YUAN R, et al. Dynamics analysis method study based on linear array deployable structure symmetry of scissor-like element[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2015, 33(4):665-671(in Chinese).

[4] LANGBECKER T. Kinematic analysis of deployable scissor structures[J]. International Journal of Space Structures, 1999, 14(1): 1-15.

[5] ZHAO J S, CHU F L, FENG Z J. The mechanism theory and application of deployable structures based on SLE[J]. Mechanism and Machine Theory, 2009, 44(2): 324-335.

[6] 胡海岩, 田强, 张伟,等.大型网架式可展开空间结构的非线性动力学与控制[J]. 力学进展, 2013,43(4): 390-414.

HU H Y, TIAN Q, ZHANG W, et al. Nonlinear dynamics and control of large deployable space structures composed of trusses and meshes[J]. Advances in Mechanics, 2013,43(4): 390-414 (in Chinese).

[7] 阎绍泽,申永胜.考虑杆件柔性和铰间隙的可展结构动力学数值模拟[J].清华大学学报(自然科学版), 2003, 43(2): 145-148.

YAN S Z, SHEN Y S. Dynamic performance of deployable structures with flexible members and clearance connections[J]. Journal of Tsinghua University (Science and Technology), 2003, 43(2): 145-148 (in Chinese).

[8] LI T J, GUO J, CAO Y Y. Dynamic characteristics analysis of deployable space structures considering joint clearance[J]. Acta Astronautica, 2011, 68(7): 974-983.

[9] 黄铁球，吴德隆，阎绍泽. 带间隙伸展机构的非线性动力学建模[J]. 中国空间科学技术, 1999, 19(1): 7-12.

HUANG T Q, WU D L, YAN S Z. Nonlinear dynamic modeling of deployable truss structures with clearances[J]. Chinese Space Science and Technology, 1999, 19(1): 7-12 (in Chinese).

[10] EARLES S W E, SENEIRATNE L D. Design guidelines for predicting contact loss in revolute joints of planar mechanisms[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Mechanical Engineering Science, 1990,204(1): 9-18.

[11] SENEIRATNE L D, EARLES S W E, FENNER D N. Analysis of a four-bar mechanism with a radially compliant clearance joint[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Mechanical Engineering Science, 1990, 210(3): 215-231.

[12] 黄铁球, 吴德隆. 带间隙伸展机构力学仿真研究[J]. 中国空间科学技术, 1999, 19(3): 16-22.

HUANG T Q, WU D L. Dynamic simulation of a deployable truss structure with clearance[J]. Chinese Space Science and Technology, 1999, 19(3): 16-22 (in Chinese).

[13] 孙远涛, 王三民, 刘霞. 剪式机构线性阵列可展结构的动力学特性研究[J]. 中国机械工程, 2012, 23(24): 2917-2919.

SUN Y T, WANG S M, LIU X. Dynamics research of linear array deployable structures based on structure of scissor-like element[J]. China Mechanical Engineering, 2012, 23(24): 2917-2919 (in Chinese).

[14] FLORES P, AMBROSIO J. Revolute joints with clearance in multibody systems[J]. Computers and Structures, 2004, 82(17-19): 1359-1369.

[15] YOON S, HOWE R M, GREENWOOD D T. Geometric elimination of constraint violations in numerical simulation of Lagrangian equations[J]. Journal of Mechanical Design, 1994, 116(4): 1058-1064.

[16] 王庚祥, 刘宏昭. 多体系统动力学中关节效应模型的研究进展[J]. 力学学报, 2014, 47(1): 31-50.

WANG G X,LIU H Z. Research progress of joint effect model in multibody system dynamics[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechnics, 2014, 47(1): 31-50 (in Chinese).

[17] MACHADO M, MOREIRA P, FLORES P, et al. Compliant contact force models in multibody dynamics: evolution of the Hertz contact theory[J]. Mechanism and Machine Theory, 2012, 53: 99-121.

[18] FLORES P, AMBROSIO J. On the contact detection for contact-impact analysis in multibody systems[J]. Multibody System Dynamics, 2010, 24(1): 103-122.

[19] LOPES D S, SILVA M T, AMBROSIO J A, et al. A mathematical framework for contact detection between quadric and superquadric surfaces[J]. Multibody System Dynamics, 2010, 24(3): 255-280.

[20] HUNT K H, CROSSLEY F R E. Coefficient of restitution interpreted as damping in vibroimpact[J]. Journal of Applied Mechanics, 1975, 42(2): 440-445.

[21] LANKARANI H M, NIKRAVESH P E. A contact force model with hysteresis damping for impact analysis of multibody systems[J]. Journal of Mechanical Design, 1990, 112(3): 369-376.

[22] GONTHIER Y, MCPHEE J, LANGE C, et al. A regularized contact model with asymmetric damping and dwell-time dependent friction[J]. Multibody System Dynamics, 2004, 11: 209-233.

[23] FLORES P, AMBROSIO J, CLARO J C P, et al. Influence of the contact-impact force model on the dynamic response of multi-body systems[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part K: Journal of Multi-body Dynamics, 2006, 220(1): 21-34.

[24] MUVENGEI O, KIHIU J, IKUA B. Numerical study of parametric effects on the dynamic response of planar multi-body systems with differently located frictionless revolute clearance joints[J]. Mechanism and Machine Theory, 2012, 53: 30-49.

[25] 王庚祥, 刘宏昭.考虑球面副间隙的4-SPS/CU 并联机构动力学分析[J]. 机械工程学报, 2015, 51(1):43-51.

WANG G X, LIU H Z. Dynamics analysis of 4-SPS/CU parallel mechanism with spherical joint clearance[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2015, 51(1): 43-51 (in Chinese).

(编辑：高珍、范真真)

Dynamics analysis of linear array deployable structure based on scissor-like element considering joint clearance

LI Bo，WANG Sanmin*，YUAN Ru，ZHI Changjian

SchoolofMechanicalEngineering，NorthwesternPolytechnicalUniversity，Xi′an710072，China

In order to precisely research the dynamics performance of a deployable structure based on a scissor-like element,clearances were introduced into one of all joints in the scissor-like element so that it was closed to the real mechanism. The kinematic model of the revolute joint with clearance was established by the principle of the motion between joint elements. The normal and tangential contact forces between joint elements were described by a Gonthier contact force model and a correctional Coulomb friction model. The contact forces between the bearing and the journal were converted to the mass centers of link and the slider connected by this clearance joint.The converted contact force and the additional torque were integrated to a generalized force in motion equations of the deployable structure, and then the effect of joint clearance was introduced to the scissor-like element. A direct default correction method was used to directly modify the coordinates and speeds of the system to avoid the numerical results divergence. Also, this method can control the default within a given range of accuracy. The influence of revolute joint clearance on the dynamic performance of the linear array deployable structure was predicted by means of numerical analysis,providing a reference and basis for the study of the motion accuracy and mechanism design of deployable structures.Furthermore, the simulation results extend the application range of the clearance collision model, which is helpful for engineering applications.

deployable structure; joint clearance; Gonthier contact model; direct default correction;dynamics characteristic

10.3780/j.issn.1000-758X.2016.0020

2015-09-01；

2015-10-08；录用日期：2016-02-24；

时间：2016-02-24 10:29:19

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/11.1859.V.20160224.1029.001.html

国家自然科学基金(51175422)

李博(1986-)，男，博士研究生，yunfenglibo@126.com

*通讯作者：王三民(1961-)，男，教授，wangsami@nwpu.edu.cn，主要研究方向为机构学、机械动力学、机械振动与控制等

李博, 王三民, 袁茹, 等. 考虑运动副间隙的剪式线性阵列可展结构动力学分析[J].中国空间科学技术,2016,36(3)： 41-49.LIB,WANGSM,YUANR,etal.Dynamicsanalysisoflineararraydeployablestructurebasedonscissor-likeelementconsideringjointclearance[J].ChineseSpaceScienceandTechnology, 2016,36(3)：41-49(inChinese).

V43

A

http:∥zgkj.cast.cn