趣说方程、不等式的“解”——成也由“解”，败也由“解”

程　军

趣说方程、不等式的“解”——成也由“解”，败也由“解”

程军

方程、不等式是初中数学重要内容，而“解”，无论对方程还是不等式，都是同学们重点关注的考试内容，也是命题专家最喜欢出的素材.能使方程两边相等的未知数的值是方程的解，一元二次（或二次以上）方程的解也叫方程的根.能使不等式成立的未知数值组成的集合称为不等式的解集，各个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集.这些关于“解”的概念，同学们耳熟能详，在实际问题中，请看下面同学的解题过程，望大家从中受到启迪.

1.对不等式组“有解”“无解”的理解——出偏差

A.-1≤m＜0B.-1＜m＜0

C.-1≤m≤0D.m＜0

【错解分析】此题关键是理解恰有两个整数解，能求出符合意义的关于m的不等式组，显然这两个整数是0和-1，即-2≤m-1＜-1.解这个不等式即可.

∴-1≤m＜0，故选A.

A.a≥-1B.a<-1

C.a≤1D.a≤-1

【错解】由①得x≥-a，由②得x＜1，由于此不等式组无解，∴-a>1，a<-1，选B.

【错解分析】不等式组无解是①和②两个不等式没有公共部分，由于第一个不等式的解集含等号，第二个不等式的解集不含等号，故公共部分也不含等号，所以当-a与1重合时（即-a=1），作为不等式组的解集没有公共部分，应符合题意！请同学们特别要当心漏解.事实上，同学们只要把a=-1代入检验即可判断对错.

【正解】由①得x≥-a，由②得x＜1，由于此不等式组无解，∴-a≥1，a≤-1，故选D.

2.对分式方程有解、无解、增根的理解——似懂非懂

【错解】去分母，ax+1=-（x-2），

【错解分析】分式方程有解为正数，包含两层意思：①有解；②有正数解.若分式方程有增根，显然这个增根就不能是解了.这里的整式方程ax+x=1，当时，x=2，此时x=2是增根，不合题意.

【正解】去分母，ax+1=-（x-2），整理得，ax+x=1（☆），∵方程的解为正数，∴得a>-1.特别的，方程可能有增根x=2，把x=2代入（☆），，故取值范围是a>-1且a≠

【错解】去分母，x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），

整理得，（a+2）x=3，∵原方程无解，∴原方程有增根x=1或x=0，分别将x=1和0代入（a+2）x=3，

当x=1时，a=1；当x=0时，显然不成立.综上，当a=1时，分式方程无解.

【错解分析】分式方程无解的含义有二：第一，去分母化成的整式方程无解，导致原分式方程无解；第二，去分母化成的整式方程有解，但这个解是原分式方程的增根（使分母为0），这里没考虑第一种情况.

【正解】去分母，x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），整理得，（a+2）x=3，∵原方程无解，∴（1）若（a+ 2）x=3无解，则a=-2；（2）原分式方程有可能的增根为x=1或x=0，将x=1和0分别代入（a+ 2）x=3，当x=1时，a=1，当x=0时，显然不成立.当a=1时，有增根x=1，分式方程也无解.综上，a=-2，a=1.

3.对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（韦达定理）的理解——一叶障目

（1）根的判别式的使用条件——视而不见

例5（2015·成都）关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是（）.

A.k≥-1B.k＞-1

C.k≠0D.k＞-1且k≠0

【错解】由方程有两个不相等实数根，则Δ>0，∴k>-1，选B.

【错解分析】关于一元二次方程，特别是当二次项系数是字母时，首要考虑k≠0，然后考虑Δ>0，即解题思考顺序为：（1）二次项系数不等于0，（2）考虑Δ>0或Δ≥0.

【正解】当k≠0时，方程有两个不等根，

则Δ=22-4×（-1）k>0，k>-1，

∴k>-1且k≠0，故选D.

（2）对一元二次方程根与系数关系的使用——顺序倒置

例6（2014·烟台）关于x的方程x2-ax+ 2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（）.

A.-1或5B.1

C.5D.-1

【错解】设方程的两根为x1，x2，则x1+x2= a，x1·x2=2a，

【错解分析】目前初中阶段，韦达定理使用应有前提，即Δ>0，然后考虑使用两根和与两根积，使用韦达定理顺序应为：（1）Δ> 0；（2）

【正解】设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1·x2=2a，5，∴（x1+x2）2-2x1·x2=5，∴a2-4a-5=0，∴a1=5，a2=-1，∵Δ=a2-8a≥0，∴a=-1.故选D.

小试身手

1.（2015·南通）关于x的不等式x-b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）.

A.-3＜b＜-2B.-3＜b≤-2

C.-3≤b≤-2D.-3≤b＜-2

2.（2015·攀枝花）关于x的一元二次方程（m-2）x2+（2m+1）x+m-2=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）.

3.（2015·凉山）关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）.

A.m≤3

B.m<3

C.m<3且m≠2

D.m≤3且m≠2

参考答案

（作者单位：江苏省无锡市港下中学）