从应用问题之中剖析特点，为数学题目解答提供启示

江苏省海门市第一中学　姜春蕾

从应用问题之中剖析特点，为数学题目解答提供启示

江苏省海门市第一中学姜春蕾

学生进入高中的学习以后，他们的兴趣点发生了质的转变，他们更趋向于学习内容内在价值的彰显。因此，数学学科的价值在此需要更加突出。应用问题在近些年的高考中表现尤为突出，在考查和变通的过程中，它不仅能充分彰显数学学科的魅力所在，还能引领学生的思维和习惯。因此，它的价值需要教师在实际教学中深入地实践与研究。

应用问题；启示；思维；建模

应用问题是数学学习过程中的“常客”。无论何种数学测试或是竞赛，题目当中都少不了应用问题的影子。的确，应用问题不仅仅是一种问题出现的形式，更是数学知识学习的一个出口。一方面，对于数学理论进行探索，为的就是能够用它来解决实际生活当中的问题，也就是我们所说的应用；另一方面，只有学生们能够将理论知识应用起来，才是将数学内容真正掌握到位了。具体至高中数学当中，学生们对于应用问题的解答能力对于整个知识掌握效果的影响就更大了。

一、识别问题模式，匹配知识内容

应用问题往往是以某个现实化情境的形式出现的，其中所涉及的理论性内容总是被掩藏得比较深。这也让许多学生不知道应当选择何种方法来进行解答。之所以会出现这种现象，原因在于学生们在面对应用问题时略过了一个必要的环节，那就是“识别”。我们在这里所说的识别，就是透过文字叙述，从题目当中将知识理论剥离出来，进而找到与之相匹配的数学方法的过程。

例如，学习过解析几何后，我请学生们试着解答这个问题：某监测中心的正北、正东、正西有三个观测点，其中，正北与正西两处同时听到了一声巨响，但正东观测点晚4s听到该响声。若三个观测点距离监测中心的距离均为1020m，声音传播速度是340m/s，各点处于同一平面，那么，该巨响出现在什么位置？学生们通过分析发现，这个问题最终转化为了双曲线的内容。由此，我带领学生们对这类问题的特点进行总结，题目中的4s所表示的是一个固定的长度差，当出现这类条件时，以解析几何方法予以解答的可能性就很大了。

对应用问题背后的理论性内容进行识别，是解答该类题目的一个必要的前置性程序。只有以此为前提，学生们才能够拨云见日，从实际性的文字叙述当中看到数学知识之所在，然后匹配到处理这类问题应当采用的思维方法，从而使问题顺利求解。也只有在这个步骤的铺垫之下，学生们才能开始打一场有准备的仗。

二、适时数形结合，具化题目情境

在很多情况下，应用问题出现的方式是比较抽象的。如果单从字面上来看，虽然能够分析出其所要考查的内容指向，却很难顺利地找到具体的解答方法。这就进入到了应用问题的具体操作阶段，我们所需要思考的也就是相应的解题策略了。在这之中，数形结合是应用最为广泛且效果最为显著的解题方法之一。

例如，在学习过函数知识后，学生们遇到了这样一道应用问题：某商店进了一批单价80元的商品，总量为400，且将售价确定为90元。经过市场调查发现，该商品的售价每增加1元，就会使得销售量减少20。那么，为了让商店所获的利润最大，应当将商品售价确定为多少？列方程求解的思路对于学生来讲并不困难，但当大家设售价增加x元，总利润y元，并列出y=-20x2+200x+4000的方程之后，结果便无法一目了然了。为了求得y的最大值，马上将该一元二次方程的图像画出来，借助对称轴对抛物线走势进行分析，问题顺利求解。

适时进行数形结合，可以将原本抽象的问题瞬间具化。以图形的方式来阐释文字的理论，更有利于学生们对之进行感知和分析。对问题理解了，解答的方法也就自然随之出现了。数形结合的思想，不仅可以适用于应用问题的解答当中，在高中数学的各类问题中几乎都是可以广泛适用的。

三、善用建模思维，搭建解题桥梁

建模思维是高中数学解题中十分常用且必要的一个思维方式，它指的是通过建立相应的数学模型，来对现有问题进行呈现与分析。在这个过程当中，数学模型就像是一架桥，连通了数学问题与解答路径，也为学生们提供了一个理论性的平台，对解题思维进行分析与设计，进而找到最佳解题方式，准确快速解题。

例如，学生们曾经遇到过这样一个问题：在房屋建筑当中，我们将窗户面积与房间面积之比称为房间的“采光率”。一个房间的采光率越高，说明房间内的亮度越高。那么，若是将窗户的面积与房间的面积同时增大，该房间的亮度是增大了还是减小了呢？在这个问题当中，没有一个数字或字母出现，应当如何与数学之间建立联系呢？这就需要建模思维的介入了。我鼓励学生们大胆运用字母来表示未知，于是，大家将窗户的面积设为a，将房间的面积设为b，二者共同增加的面积为m。这样一来，原来的采光率便可以表示为a/b，之后的采光率则为a+m/b+m。对于采光率进行比较，便转化为了对两个分式大小进行比较，数学模型就这样建好了。

善于运用建模思维的前提是学生们对于既有知识理论的熟练掌握。教师们在进行基础知识的教学时，应当有意识地将理论本身与相应的数学模型之间建立联系，并经常性地对学生进行训练，使得知识与模型之间的对应成为学生们的思维惯性。这样一来，便可以大大简化数学建模的思维过程，学生们在面对数学问题时也会更加从容了。

从之前的叙述当中不难发现，高中数学当中的应用问题，其存在的意义不仅仅只在对学生知识掌握效果的检验上。在很多时候，解答应用问题时所涉及的思维与方法，对于其他内容与类型的问题解答来讲都是大有助益的。遇到问题时，先进行内容剖析与识别，匹配出适合的方法，并在解题过程中适时运用数形结合与建模思维，化抽象为具体。这一系列分析方式，在高中数学解题当中都是共通的。应用问题对于整个数学学习来讲，就像是一盏明灯，为问题解答提供了普适性的路径启示。