人教A版必修1第三章“函数的应用”教材分析

于红燕

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）07-189-03

一、教材功能与地位

本章是人教A版必修1第三章函数的应用，前两章已经学习了一些有关基本初等函数的知识，本章对函数知识进行应用，体会函数与方程、数学建模的思想。函数与方程的思想和函数贯穿于整个高中数学学习的始终，是高中数学的重要思想和支撑高中数学的主干知识。《普通高中课程标准》提出要发展学生的数学应用意识，而本章第一次提及数学建模，学生通过解决实际问题，感受数学建模的思想方法，认识数学在解决实际问题当中的威力，为今后进一步运用理论解决实际问题打下坚实基础。

二、内容安排

本章共4节：1.1方程的根与函数零点，1.2用二分法求方程的近似解，1.3几类不同增长的函数模型，1.4函数模型的应用实例。

本章主要围绕函数的应用展开，首先介绍了函数与方程的关系，方程的根是函数的零点，借助于函数的零点来确定方程的根，这是函数的应用之一。其次，生产和生活中的许多模型几乎都与基本初等函数有关，本章第二节就专门介绍函数模型及具体的实例。这样我们学习完前两章的理论知识，对理论知识进行了实际应用。

三、课程目标与学习目标

1、课程目标

学习知识是为了进一步学习其他知识或运用到现实生活中去，尤其数学的学习，如果只是学习理论知识而不去运用与实践，这就完全违背了数学的初衷。本章的学习是建立在前两章的基础之上，体会函数在现实生活中的应用，利用已经学习过的基本初等函数理论知识，很好的理解本章内容。

2、学习目标

《普通高中数学课程标准》中对本章的要求：

（1）结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的联系。

（2）根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

（3）利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

（4）收集一些生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数）的实例，了解函数模型的广泛应用。

四、课时建议

本章需课时8课时，具体分配如下：

1、方程的根与函数零点（约1课时）

2、用二分法求方程的近似解（约2课时）

3、几类不同增长的函数模型（约2课时）

4、函数模型的应用实例（约2课时）

小结（约1课时）

五、教材内容分析及建议

本章章头有文字叙述和插图，文字部分引出本章学习内容。我们学习过函数概念、函数的性质、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数模型，它们可以刻画现实生活中事物的不同变化规律。本章通过一些实例感受建立函数模型的过程和方法，初步运用函数的思想解决现实生活中一些简单问题。另外，通过利用函数的图象和性质，用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系。

1、函数与方程

教学重点：函数的零点与方程的根之间关系的确定，教学难点：用二分法求方程的近似解。

本节3课时，从函数的零点与方程的根出发得到它们间的关系，将方程根的确定转化为函数的零点，运用二分法求函数的零点也即方程的近似解。

（1）方程的根与函数的零点

本小节先由思考栏目提出问题，提出带有字母的抽象的一元二次方程的根与相对应的一元二次函数的图象间的关系。接着课本从具体的一元二次方程及其相应的二次函数（三种情形）出发，做出一元二次函数的图象，分析一元二方程的根与其相应的一元二次函数图象间的关系。一元二次方程的根是其对应的一元二次函数的图象与 轴交点的横坐标。回到思考栏目的问题，对于一般的一元二次方程 及其相应的二次函数 也成立。

为了将以上的结论推广到一般情形，教材给出了函数零点的概念，对于函数 ，使 的实数 叫做函数 的零点。由此，得到函数的零点，函数的图象与方程根之间的关系即方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点。教材很自然的得出求方程 的实数根，就是确定函数 的零点。

探究栏目给出一个具体二次函数的图象，要探讨零点所在闭区间端点函数值的符号之间的关系。让学生任意画几个函数图象，观察图象得出结论即零点存在性定理。接着给出求函数零点个数的例子，借助于函数性质和零点存在性定理得出答案。

教材先提出一个一般问题，由特殊的函数运用数形结合、函数与方程的思想去研究问题，得出一元二次方程与其对应的一元二次函数图象间的关系，将它推广到一般的函数。不能用公式求根的方程可与函数联系起来，利用函数的图象和性质求方程的根，这是转化的思想。

（2）用二分法求方程的近似解

在上一小节教材给出了判断函数零点存在的方法，也就是方程的实数根的个数，本节用二分法求方程的近似解。思考栏目接着上节中的例子，提出如何根据函数的零点与相应方程的是跟的关系求方程 的根？接着，介绍二分法，逐步缩小零点所在区间，在已给定的精确度允许下，得到函数零点的近似值。给出求方程近似解的例子。

本节在无限逼近、数形结合、算法的思想下，运用迭代方法以零点存在性定理作为理论依据，逐步缩小零点存在的区间，最终得到函数零点的近似值。

函数与方程总共3课时，方程的根与函数的零点可用一节课完成，二分法教学内容可以安排两节课，第一节课重点放在二分法的发现及逼近的思想上，第二节课重点可以放在二分法的应用上，这样对教学目标的定位重点突出，并符合课程标准理念，培养了学生理性精神和能力，同时也有利于落实二分法的具体操作和应用。教材例1求方程 的零点的个数，可以由多种方法解答，法1按教材处理，法2思路跟法1一样，不需要用表格的形式分析 与 的变化关系，可用我们学过的函数的性质去分析函数的单调性，从而得出其零点个数。法3可将本题目转化为求方程 的零点个数，可转化为函数 和函数 两函数图象交点的个数问题。用二分法求方程近似解时，一定要让学生自己思考，然后师生共同分析，由于数值计算较为复杂，需要学生恰当的运用信息技术工具。例子解答完让学生再次尝试总结用二分法解决方程近似解的步骤。

2、函数模型及其应用

教学重点：结合函数图象解决实际问题，教学难点：数学建模的过程。

本节需要4课时。学习数学知识是为了更好的运用到实际生活中，本节介绍现实生活中常见的函数模型以及运用函数知识所要解决的具体实例。认识数学建模的过程，对于运用函数知识解决实际问题很有帮助。

（1）几类不同增长的函数模型

函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，面对实际问题，如何选择恰当的函数模型来刻画这是解决实际问题的关键。本小节给出两个实例，介绍如何恰当选取函数模型，解决实际问题。

例1投资问题，有三种投资方案，根据不同方案通过图表与图象分析哪个方案获益最大。例2某公司奖励模型的评定，三种模型，教材借助于计算机在同一直角坐标系中作出三个函数图象，通过分析图象得到符合公司要求的奖励模型。教材中介绍了不通过函数图象，可以运用我们学过的有关函数的性质解决此问题。教材根据例2中函数增长的快慢，提出对数函数 ，指数函数 与幂函数 在 上增长的差异的研究。通过研究具体的三个函数 的图象，通过观察栏目研究它们三个函数的增长情况。有探究的问题将以上结论推广到一般情形，即解决了对数函数 ，指数函数 与幂函数 在 上增长的差异，这一问题。

教材运用从特殊到一般的研究问题的思想，数形结合研究特殊函数的情形，进而推广到一般函数。

（2）函数模型的应用实例

教材引入本节内容，通过一些实例，让学生感受基本初等函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程。例3用到了分段函数，提高了学生读图的能力，使学生认识到分段函数是刻画现实问题的重要模型。例4给出了人口增长模型 其中 表示经过的时间， 表示 时的人口数， 表示人口的年平均增长率。此函数是指数型函数，在 上为增函数，让学生感受指数爆炸这一概念。这一例子告诉我们用已知的函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对模型进行修正。例5二次函数模型，二次函数模型是实际生活中最常用的模型之一，没有给出两变量间的关系，根据已知找出建模过程尤为重要。例6已知关于两变量的若干数据，寻找刻画这两变量的函数模型，从而对其他情形做出预测。其意图通过收集到的数据的特点，建立函数模型，解决实际问题。要注意用函数模型拟合两变量关系，这样的模型可能不同。本小节运用数学建模的思想，对实际问题进行分析，具体问题的解决运用所学的有关函数知识以数形结合的思想分析问题从而解决问题。

教材从两个方面展开函数应用，突出用数学解决问题，一是函数与其他数学知识的有机联系，这里集中研究的是从函数特征判定方程实数解的存在性及方程的近似解；二是函数与实际问题的联系，用函数解决实际问题，着眼于学生对数学应用的理解，引导学生应用数学知识解决实际问题，让学生经历自主探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值，提高数学的应用能力。

本节共4课时几类不同增长的函数模型2课时，函数模型的应用实例2课时。教材例2学完之后，提出研究指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，运用图和表两种方法比较三个函数的 ， ， 的增长差异。教师可以把 ， 两个函数的增长速度的比较以“探究”形式留给学生，借助于计算器作出函数图像，从而得出三个函数增长的差异，进一步分析出 ，指数函数 与幂函数 在 上增长的差异。对于其他实例的处理都要体现学生倡导积极主动、勇于探索的学习方式。教材例6的处理除了由指数型函数模型拟合之外，引导学生用二次函数模型拟合，并比较哪种类型的模型拟合程度好。实例讲解完，师生共同总结运用函数知识解决实际问题的思路和具体步骤即数学建模的过程，并且一定要让学生有充足的时间联系巩固，让学生体会数学建模的过程，数学的应用价值。

六、习题分析

本章共两节内容即1.1函数与方程和1.2函数模型及其应用，教材中相应的配备了一定数量的例题、习题供学生学习和练习，由此巩固并形成技能和能力。

1、函数与方程这一节配备了课堂练习4道，习题共8道。4道练习中1道是根据函数的零点与方程的关系学生自己作图判断方程有无实根，1道是根据零点存在性定理借助计算机作图，判断零点所在大致区间。另外2道均是借助计算机或计算器运用二分法求方程在指定区间上的近似解（精确度已知）。习题中的8道题，其中6道是借助计算机或计算器运用二分法求方程在指定区间上的近似解（精确度已知），2道是对零点存在性定理的理解的题目，注意定理运用的条件和结论。教材这样配备练习、习题要求学生体会函数的零点与方程根之间的联系，理解零点存在性定理，能借助于计算器或计算机求具体方程给定精确度要求的近似解，熟练的归纳出二分法求解方程根的步骤，提高学生分析问题解决问题的能力。

2、函数模型及其应用中共有练习题7道，习题8道。练习中2道是有关指数函数模型的实际应用问题，1道是根据指数函数、对数函数、幂函数的图象比较它们的增长情况，3道是已知函数模型的实际应用问题，还有1道练习题是没有给出函数模型的实际应用问题，让学生通过对已知条件进行分析得出符合题意的函数模型，然后解决问题。习题中的8道题均是函数模型的应用问题，题型可分为两类三种，即已知函数模型的应用问题、未知函数模型的应用问题。未给出函数模型的应用问题可分为两种：仅仅用列表法给出两变量间的关系，给出已知条件的实际问题。其中，已知函数模型的应用问题共2道，用列表法给出两变量间的关系共3道，给出已知条件的实际问题共3道。教材练习、习题中函数模型的应用问题占绝大多数，由此应把教学重点放在运用函数知识，通过分析问题建立数学模型，解决实际问题上。教材通过编排练习、习题，使学生体验数学在解决实际问题中的作用，数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生对数学的理解，形成数学应用意识，提高实践能力，体会数学建模的过程，感悟数学的价值，提高学习兴趣。

函数是高中数学的起始课程，函数的重要性主要表现在两个方面：一是函数的思想价值；二是函数的应用价值。就函数的应用价值而言，既要考虑到学生初中已有的基础，又要为整个高中阶段数学应用的学习作必要的准备。学生通过学习本章知识，再次认识到函数是变量间的依赖关系。通过尝试运用数学建模的方法解决生活和生产中的实际问题，获取一些研究问题的经验和方法。