车轨耦合振动中4种轮轨竖向接触模型的适用性比较分析

杨静静，张　楠，夏　禾

(北京交通大学 土木建筑工程学院，北京　100044)

在既有车轨耦合振动的研究中，一般以刚体动力学方法建立车辆子系统，以有限元法建立轨道子系统，车辆子系统与轨道子系统通过一定的轮轨接触模型相互联系。

目前，轮轨竖向接触模型共有2种：Hertz非线性接触模型[1-3]和轮轨竖向密贴模型[4-6]。Hertz非线性接触模型对法向轮轨力描述精确，然而由于轮轨间是非线性关系，需采取较小的时间步长进行迭代求解，导致对车轨系统的动力方程计算缓慢[7]。轮轨竖向密贴模型对轮轨关系的处理较为简便，然而列车运行时总无法避免出现瞬间的轮轨分离现象，此时轮轨竖向密贴模型则不能较为准确地予以描述[8]。

Dinh-Van Nguyen提出线性近似Hertz接触模型，定义竖向轮轨力等于轮轨竖向接触刚度与轮轨接触点处法向弹性压缩量的乘积，其中轮轨竖向接触刚度为常数。Dinh-Van Nguyen给出的轮轨竖向接触刚度与竖向轮轨力的表达式分为2种情况：①当车轨系统不考虑轨道不平顺时，竖向轮轨力与静轮重大致相等，此时轮轨竖向接触刚度可以依据静轮重给出；②当车轨系统需要考虑轨道不平顺时，竖向轮轨力则比静轮重高很多，此时由于轮轨接触点处的法向弹性压缩量一般低于2 mm，Dinh-Van Nguyen给出的轮轨竖向接触刚度的建议范围为4.602～4.602 GN·m-1[9]。Dinh-Van Nguyen提出的线性近似Hertz接触模型虽然简化了竖向轮轨力的计算，然而当车轨系统需要考虑轨道不平顺时，用于确定竖向轮轨力的轮轨竖向接触刚度并不是确定的常数，因此轮轨竖向接触刚度的选取将影响着竖向轮轨力的计算精度。

本文为进一步简化竖向轮轨力的计算，对竖向轮轨力的表达式进行统一，将Hertz非线性接触模型的函数曲线总是以经过某点的直线进行替代。本文提出2种线性近似Hertz接触模型：① 经过Hertz非线性接触模型函数曲线上点的割线，下文简称为“割线线性近似模型”；②经过Hertz非线性接触模型函数曲线上点的切线，下文简称为“切线线性近似模型”，如图1所示。

图1　Hertz非线性接触模型及其线性近似模型的函数曲线

针对Hertz非线性接触模型、轮轨竖向密贴模型、割线线性近似模型和切线线性近似模型，本文以双块式无砟轨道为例，比较这4种轮轨竖向接触模型对车轨系统动力响应的影响。

1　车轨系统方程及求解方法

车轨耦合动力系统包含车辆、轨道两部分，车辆与轨道之间用轮轨关系相关联。车轨系统的坐标系定义如下：x轴为列车前进方向，z轴为竖直向上，y轴依右手螺旋法则确定，绕3个坐标轴的转动自由度依次记为θ，φ和Ψ。假定车辆运行速度在所研究时间范围内保持不变，则车轨系统不存在纵向相互作用力，本文也忽略车轨的横向相互作用力，以下仅讨论车轨系统的竖向耦合振动。

1.1　车辆

单节车辆的竖向动力方程为

(1)

式中：mV，CV和KV分别为单节车辆的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，可基于Lagrange方程[4-6]或达朗贝尔原理求得[1-3]；ZV为单节车辆的竖向位移向量；FV为单节车辆所受的竖向力向量，即竖向轮轨力。

在只考虑车辆的竖向平面运动时，单节4轴机车共有10个自由度，其中，车体、转向架各有沉浮和点头2个自由度，每个轮对有沉浮1个自由度。对于轮轨竖向密贴模型，轮对的自由度不独立。

具有4个轮对的车辆结构侧视图如图2所示。

图2　4个轮对车辆模型侧视图

1.2　轨道

双块式无砟轨道主要由钢轨、扣件(包括轨下胶垫)、预制的双块式轨枕、混凝土道床板等组成。由文献[2]可知，对于双块式无砟轨道，由于轨枕与混凝土道床板完全联结在一起，轨下基础的质量很大，道床板与混凝土底座之间基本没有弹性，故轨道的弹性主要靠轨下胶垫提供，双块式无砟轨道的振动主要体现为钢轨的振动，因此在用有限元法建立路基上双块式无砟轨道振动模型时，仅需考虑钢轨。双块式无砟轨道的振动模型如图3所示。

图3双块式无砟轨道振动模型

采用有限元法建立钢轨的竖向动力方程为

(2)

式中：mR，CR和KR分别为钢轨的总体质量矩阵、总体阻尼矩阵和总体刚度矩阵；ZR为钢轨的竖向位移向量；FR为车辆作用于钢轨的竖向力向量。

MR和KR可由有限元法求得，CR可由比例阻尼法求得。

只考虑钢轨的竖向平面运动时，单个钢轨节点有竖向及相应弯曲自由度共2个自由度。

1.3　轨道不平顺激励

轨道不平顺指用来支承和引导车轮的轨道接触面沿轨道方向与理论平顺轨道面之间的偏差，包括轨向不平顺、高低不平顺和水平不平顺。

分析车轨系统的竖向平面运动时，只考虑高低不平顺。为避免随机不平顺规律的不确定性，本次采用正弦波型不平顺激励，分析不平顺中不同波长、不同振幅的影响。正弦波型不平顺δ(x)的表达式为

(3)

式中：A为不平顺幅值；L为不平顺波长。

1.4　竖向轮轨力

1.4.1轮轨竖向密贴模型

轮轨竖向密贴模型假定轮对与钢轨在竖向上始终不分离，轮对运动可表示为钢轨运动和轨道不平顺附加运动的代数和。轮轨竖向密贴模型根据轮对的运动平衡方程求取垂向轮轨力。单节车辆1位轮对的竖向轮轨力Fw1和2位轮对的竖向轮轨力Fw2分别为

(4)

(5)

式中：Fwg为每个轮对平均受到的整节车辆的静轮重；mw为每个轮对的质量；zw1和zw2分别为单节车辆1位轮对和2位轮对的沉浮自由度；zt1和φt1分别为单节车辆前转向架的沉浮和点头自由度；kz1和cz1分别为一系弹簧阻尼器左右两侧的垂向刚度和垂向阻尼系数之和；d为转向架轴距之半。

1.4.2Hertz非线性接触模型

Hertz非线性接触模型下每个轮对的竖向轮轨力Fw均根据Hertz非线性理论确定，即

(6)

式中：G为轮轨接触常数，对于锥形踏面车轮G=4.57R-0.149×10-8m·N-2/3，R为车轮半径，对于磨耗型踏面车轮G=3.86R-0.115×10-8m·N-2/3；Δ为轮轨接触点的法向弹性压缩量。

当仅考虑轮轨垂向振动时，轮轨法向弹性压缩量即为轮对与钢轨的垂向相对位移，Δ包括轮轨间因静轮重Fwg引起的静压缩量Δ0在内。

1.4.3割线线性近似模型

以割线线性近似模型代替Hertz非线性模型(见图1)时，轮轨竖向接触模型被视为满足Fw=ksΔ形式的线性弹簧(ks为割线线性近似模型的轮轨竖向接触刚度)，满足Fwg=ksΔ0。割线线性近似模型下每个轮对的竖向轮轨力Fw为

Fw=ksΔ=ks(Δ0+Δ′)=Fwg+ksΔ′

(7)

式中：Δ′为轮轨接触点的法向弹性总压缩量与静压缩量之差。

1.4.4切线线性近似模型

从数学意义上讲“以直代曲”时，一般取曲线过某点的切线。以切线线性近似模型代替Hertz非线性模型(见图1)时，轮轨竖向接触模型被视为满足Fw=ktΔ+b形式的线性弹簧(kt为切线线性近似模型的轮轨竖向接触刚度,b为截矩)，满足Fwg=ktΔ0+b。切线线性近似模型下每个轮对的竖向轮轨力Fw为

Fw=ktΔ+b=kt(Δ0+Δ′)+b=Fwg+ktΔ′

(8)

其中，

1.5　车轨系统方程及求解

将车辆运动方程、轨道运动方程、竖向轮轨力组合在一起，即可构成车轨系统的动力平衡方程

(9)

式中：Kq和Fq分别为由竖向轮轨力引起的车轨系统附加刚度矩阵、附加轮轨力。

轮轨垂向力的计算与轮轨相对位移相关，而使用有限元法对钢轨进行动力分析时，只能得到每个时刻钢轨各个节点的位移。因此求解轮轨接触点处的钢轨位移需要根据轮对所在位置钢轨单元两端节点的位移通过形函数插值求得[3]。设轮轨接触点距某一钢轨单元节点i和j的距离分别为l1和l2，单元总长度为l，l1/l=q；i和j节点的竖向位移及弯曲角位移分别为zi，φi，zj和φj，如图4所示。因此轮轨接触点处的钢轨竖向位移zR为

zR=fzizi+fφiφi+fzjzj+fφjφj

(10)

其中，

fzi=1-3q2+2q3

fφi=l(-q+2q2-q3)

fzj=3q2-2q3

fφj=l(q2-q3)

式中：f为梁单元位移的分布形函数。

图4　轮轨接触点位置示意图

钢轨所受的轮轨力不一定作用在钢轨的节点上，可按照结构力学的矩阵位移法将非节点竖向轮轨力Fw转化为钢轨节点荷载Fi，Mi，Fj和Mj，如图5所示。

图5　钢轨单元竖向等效节点荷载示意图

Fi=fziFw

(11)

Mi=fφiFw

(12)

Fj=fzjFw

(13)

Mj=fφjFw

(14)

由于竖向轮轨力Fw与轮轨相对位移Δ(即zR-zw)相关，zR为i和j节点的竖向位移及弯曲角位移zi，φi，zj和φj的函数，故钢轨节点荷载Fi，Mi，Fj和Mj也均为zw，zi，φi，zj和φj的函数。将Fw，Fi，Mi，Fj和Mj表达式中与自由度zw，zi，φi，zj和φj相关的项移至方程(9)的左边，得到Kq与Fq分别为

Kq=

(15)

(16)

式中：k为割线线性近似模型或切线线性近似模型的轮轨竖向接触刚度，而Hertz非线性接触模型随时间变化的k在本质上与割线线性近似模型和切线线性近似模型相同。

对于车轨系统动力平衡方程的求解，若轮轨关系满足线性条件，同振型叠加法相比，采用直接刚度法则更为简便。因此本文采用直接刚度法求解车轨系统的动力平衡方程。由于轮轨竖向密贴模型、割线线性近似模型和切线线性近似模型均满足线性轮轨关系，因此在求解车轨系统的整体动力方程时，可避免时间步内2个子系统间的迭代，提高计算效率与计算精度。而Hertz非线性接触模型满足非线性轮轨关系，求解车轨系统的整体动力方程时需要迭代并将前后迭代步所有轮对的竖向轮轨力相对误差低于0.001作为收敛判断。

2　4种轮轨竖向接触模型的对比分析

在仅对竖向平面运动进行分析时，车轨耦合系统的动力指标主要包括车辆运行平稳性指标(车体竖向加速度)、车辆运行安全性指标(轮重减载率)、轨道动态变形指标(钢轨垂向动态位移[1])。其中，轮重减载率为减载侧车轮的轮重减载量(即轮对的平均静轮重与减载侧车轮的竖向轮轨力之差)与轮对的平均静轮重之比，为简明起见，轮重减载率以最小轮轨力代替。

考虑到轮轨竖向密贴模型与Hertz非线性接触模型的不同主要体现为轮对运动，故本文选取轮对竖向加速度及其轮轨接触点处钢轨竖向加速度进行对比分析。

2.1　动力响应

以双块式无砟轨道为例，分别采用4种不同的轮轨竖向接触模型，计算单节车辆以250 km·h-1速度通过轨道系统时的车体竖向加速度、竖向轮轨力、钢轨竖向位移、轮对竖向加速度、轮轨接触点处钢轨竖向加速度。其中，钢轨考虑570个扣件范围，扣件间距为0.65 m，为保证钢轨的计算精度，经试算，本文将每个扣件间距分割为10个单元；采用4种不同的轮轨竖向接触模型时均采用0.1 ms的时间步长，计算时间为5 s；为避免随机不平顺规律的不确定性，采用正弦波型不平顺激励，分析不平顺中不同波长、不同振幅的影响，波长分别取2, 4和8 m，幅值分别取0.2，0.5和0.8 mm。车辆与钢轨的结构参数见表1。

表1　车辆与结构的计算参数

各动力指标的计算结果如图6—图10所示。其中，对于轮轨竖向密贴模型，轮对竖向加速度及其轮轨接触点处钢轨竖向加速度等价。

图6　不同不平顺波长与幅值时车体最大竖向加速度

由图6可知：采用4种轮轨竖向接触模型计算的车体最大竖向加速度基本相同，波长为4 m时车体最大竖向加速度最小。

图7　不同不平顺波长与幅值时最小竖向轮轨力

由图7可知：采用割线线性近似模型和切线线性近似模型计算的最小竖向轮轨力与采用Hertz非线性接触模型的基本相同，而采用轮轨竖向密贴模型计算的结果较采用Hertz非线性接触模型的偏大。为偏安全考虑，建议采用Hertz非线性接触模型及割线线性近似模型和切线线性近似模型。

图8　不同不平顺波长与幅值时钢轨最大竖向位移

由图8可知，采用割线线性近似模型和切线线性近似模型计算的钢轨最大竖向位移与采用Hertz非线性接触模型的基本相同，而采用轮轨竖向密贴模型的计算结果较采用Hertz非线性接触模型的偏大。

图9　不同不平顺波长与幅值时1位轮对最大竖向加速度

由图9可知：采用割线线性近似模型和切线线性近似模型计算的轮对最大竖向加速度与采用Hertz非线性接触模型的基本相同，而采用轮轨竖向密贴模型的计算结果较采用Hertz非线性接触模型的偏大。

图10不同不平顺波长与幅值时1位轮对轮轨接触点处钢轨最大竖向加速度

由图10可知：采用切线线性近似模型计算的轮轨接触点处钢轨最大竖向加速度与采用Hertz非线性接触模型的基本相同，采用割线线性近似模型的计算结果较采用Hertz非线性接触模型的偏小，而采用轮轨竖向密贴模型的计算结果较采用Hertz非线性接触模型的偏大。

2.2　轮轨振动的频谱分析

以正弦型不平顺波长4 m、幅值0.5 mm为例，4种不同轮轨竖向接触模型下各动力指标的时程曲线如图11—图15所示。

图11　车体竖向加速度时程曲线

图12　1位轮对竖向轮轨力时程曲线

图13　1位轮对轮轨接触点处钢轨竖向位移时程曲线

图14　1位轮对竖向加速度时程曲线

图151位轮对轮轨接触点处钢轨竖向加速度时程曲线

由图11—图15可知，4种不同轮轨竖向接触模型下各动力指标具有相同的频谱成分。

考虑到轮轨竖向密贴模型与Hertz非线性接触模型的不同主要体现为轮对运动，故以正弦型不平顺波长4 m、幅值0.5 mm为例，分析Hertz非线性接触模型下轮对竖向加速度及其轮轨接触点处钢轨竖向加速度的频谱成分，分析结果如图16和图17所示。

图16　1位轮对竖向加速度功率谱

图17　1位轮对轮轨接触点处钢轨竖向加速度功率谱

由图16可知，轮对振动的卓越频率为17.1 Hz。由图17可知，1位轮对轮轨接触点处钢轨振动的卓越频率为17.1和107.4 Hz。

当轮对周期性通过正弦波型不平顺的轨道时，轮对及其轮轨接触点处钢轨的振动频率为1/(波长/车速)=1/(4×3.6/250)=17.4 Hz，接近17.1 Hz。

钢轨扣件间距为0.65 m，当轮对周期性通过钢轨时，轮对及其轮轨接触点处钢轨的振动频率为1/(扣件间距/车速)=1/(0.65×3.6/250)=106.8 Hz，接近107.4 Hz。然而由于轮对质量远大于钢轨质量，此频率对轮对竖向加速度的作用并不显著，而对轮轨接触点处钢轨竖向加速度具有显著影响。因此，轮轨竖向密贴模型假定轮对与钢轨在竖向上始终不分离，会导致在高频段的计算有较大误差。

图16与图17显示，当轮对周期性通过正弦波型不平顺的轨道时，轮对及其轮轨接触点处钢轨的振动共有卓越频率为17.1 Hz。然而，两者在此频率上的功率谱密度幅值却存在显著差别，这说明车辆运行过程中轮对与其轮轨接触点处钢轨的振动是不同的。

2.3　时间步长的适应条件

由于Hertz非线性接触模型满足非线性轮轨关系，因此只能在2个系统间迭代求解，为有条件收敛；而另外3种轮轨接触模型满足线性轮轨关系，因此可将车辆、轨道子系统整合为统一的线性系统，若采用Newmark-β法求解，为无条件收敛。

为分析4种轮轨竖向接触模型对时间步长的适应条件，计算多种轨道不平顺下各轮轨接触模型在不同时间步长下的轮轨力，并以时间步长0.1 ms、Hertz非线性接触模型的轮轨力为基准值，计算不同轨道不平顺下各时间步长、各轮轨接触模型的标准差。其中，正弦型不平顺波长分别取2, 4和8 m，幅值分别取0.2，0.5和0.8 mm；对于相同的计算时间5 s，分别取时间步长为10，5，1，0.5和0.1 ms。轮轨力标准差e的计算公式为

(17)

式中：Fw,bi为时间步长取0.1 ms且用Hertz非线性接触模型求得的第i时间步时的轮轨力；Fw,ei为采用其他时间步长和其他线性轮轨接触模型求得的第i时间步时的轮轨力。

轮轨力标准差的计算结果如图18所示。

图18　不同波长、不同幅值正弦波型轨道不平顺条件下的轮轨力标准差

由图18可知：轮轨竖向密贴模型在各种轨道不平顺状态下随着时间步长的改变，轮轨力标准差均较大且未出现显著改变；采用Hertz非线性模型、割线线性近似模型和切线线性近似模型，当轨道不平顺波长为2 m、时间步长低于10 ms时，轮轨力标准差比较小；当轨道不平顺波长为4与8 m、时间步长低于1 ms时，轮轨力标准差比较小。综合考虑轨道不平顺的各个波段，当时间步长低于1 ms时，采用Hertz非线性模型、割线线性近似模型和切线线性近似模型的计算误差均是可以接受的。切线线性近似模型与Hertz非线性接触模型计算的轮轨力标准差基本相同，也验证了切线线性近似模型替代Hertz非线性接触模型的可行性。

3　结　论

(1)对于车体竖向加速度，采用4种轮轨竖向接触模型的计算结果基本相同。

(2)对于竖向轮轨力、钢轨竖向位移及轮对竖向加速度，采用割线线性近似模型和切线线性近似模型的计算结果与采用Hertz非线性接触模型的基本相同，而采用轮轨竖向密贴模型的计算结果较采用Hertz非线性接触模型的偏大。为偏安全考虑，建议采用Hertz非线性接触模型及割线、切线线性近似模型。

(3)对于轮轨接触点处钢轨竖向加速度，采用切线线性近似模型的计算结果与采用Hertz非线性接触模型的基本相同，采用割线线性近似模型的计算结果较采用Hertz非线性接触模型的偏小，而采用轮轨竖向密贴模型的计算结果较采用Hertz非线性接触模型的偏大。

(4)综合各动力指标，无论是否存在轨道不平顺，切线线性近似模型可替代Hertz非线性接触模型进行计算，且切线线性近似模型满足线性轮轨关系，在求解车轨系统的整体动力方程时，可避免时间步内2个子系统间的迭代，提高计算效率与计算精度。

(5)当轮对周期性通过正弦波型不平顺轨道时，轮对及其轮轨接触点处钢轨的振动在其共有卓越频率上的功率谱密度幅值存在显著差别，表明车辆运行过程中轮对与其轮轨接触点处钢轨的振动是不同的。由于轮轨竖向密贴模型假定轮对与钢轨在竖向上始终不分离，因此会导致在高频段的计算有较大误差。

(6)综合考虑轨道不平顺的各个波段，当时间步长低于1 ms时，采用Hertz非线性模型、割线线性近似模型和切线线性近似模型的计算误差均是可以接受的。

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