无衍射光束簇

王硕琛， 梅小华， 谢晓霞， 吴逢铁

(1. 华侨大学 信息科学与工程学院， 福建 厦门 361021；

2. 福建省光传输与变换重点实验室， 福建 厦门 361021)



无衍射光束簇

王硕琛1,2， 梅小华1， 谢晓霞1,2， 吴逢铁1,2

(1. 华侨大学 信息科学与工程学院， 福建 厦门 361021；

2. 福建省光传输与变换重点实验室， 福建 厦门 361021)

摘要：波动方程在笛卡尔坐标系、圆柱坐标系、椭圆柱坐标系及抛物线坐标系下可求得无衍射解，分别是余弦(Cos)光束、贝塞尔(Bessel)光束、马蒂厄(Mathieu)光束和抛物线(Parabolic)光束，它们组成了无衍射光束家族(又称亥姆霍兹光束).介绍这4种光束的具体表达式及光强分布图和自重建过程.最后，对4种无衍射光束进行比较，总结了无衍射光束的应用热点，并展望未来.

关键词：无衍射光束; 光强分布图; 自重建; 光束表达式

无衍射光束具有光场高度集中，中心光斑小及遇障碍物后传播一段距离恢复原来的光强分布(自重建)等独特的性质.由于无衍射光束在光学领域的广泛应用，因此，受到国内外学者不断地探索研究.1987年，Durnin等[1-2]首次提出无衍射光-Bessel光束，这种光束是自由空间标量波动方程在圆柱坐标系下的一组特殊解.波动方程可在11种正交坐标系下分离变量，但只有在笛卡尔坐标系，圆柱坐标系，椭圆柱坐标系及抛物线坐标系下可求得无衍射解.这4种坐标系得到的解对应着不同的无衍射光束，分别是Cos光束、Bessel光束、Mathieu光束和Parabolic光束，它们组成了无衍射光束家族.2000年，Salo等[3]提出一种描述无衍射光波场的方法, 即任意的单色无衍射光都可以用波矢位于一个锥面上的所有平面波的叠加描述.对于Bessel光束，自提出的几十年以来，便受到人们的大量研究[4-5]，但对其余3种研究较少.2000年，Gutiérrez-Vega等[6]报道了无衍射Mathieu光束.2001年，通过实验得到这种光束[7].2004年，Bandres等[8]提出了Parabolic光束.2005年，López-Mariscal等[9]由实验室得出Parabolic光束.近年来研究人员对无衍射光束仍在不断地探索研究，特别是无衍射光束的自重建特性.1996年，Macdonald等[10]发现无衍射Bessel光束的自再现特性，这种新特性引起学者们的极大兴趣.2002年，Garcés-Chávez等[11]将这种特性运用于多层面粒子微操作，从而使无衍射光束的应用进入了一个新的时代.2013年，Mendoza-Hernández等[12]通过实验验证了Parabolic光束的自重建特性.2015年，李冬等[13]利用Hankel波理论，论证并通过实验，验证了Mathieu光束的自重建特性.本文系统介绍了上述4种坐标系下的无衍射光束，并进行对比研究.

1Cos光束

单色无衍射光用Helmholtz 方程的Whittaker解[14]表示为

(1)

式(1)中：A(θ)为复角谱分布;kt,kz为波矢的径向和轴向分量.A(θ)在4种不同的坐标系下取不同的形式，即对应4种不同的无衍射光波场.

(2)

式(2)中：kt为的是横向波矢;A是归一化常数.

实验室得到的是由高斯包络面调制的近似无衍射光束，称之为余弦高斯光束，即

Gutiérrez-Vega等[17]数值模拟了余弦高斯光束的光强分布图，如图1所示.图1中：Z为z轴上的位置.由图1可知：光束在最大无衍射范围内传播时，横向光强不变；超过最大无衍射距离后，光束开始发散.

(a) Z=0　　　　　　　　　　　(b) Z=0.6Zmax　　　　　　　　　(c) Z=1.2Zmax图1　余弦高斯光束在自由空间传播的横向光强图Fig.1　Transversal intensity distribution of Cos-Gaussian-beam propagating in free space

2Bessel光束

Bessel光束是Helmholtz方程在圆柱坐标系下的一组解，A(θ)取exp(imθ)形式.把角谱代入式(1)，化简得到Bessel光束的解析式，即

(3)

式(3)中：m为Bessel函数的阶数；α,β分别为径向和轴向波矢.

Bessel光束呈环状分布，零阶的Bessel光束中心光强较强，而高阶的Bessel光束中心光强为零，并具有角动量.Bessel光束是第一种被提出无衍射概念的光束，最先由Durnin利用环缝法，得到零阶Bessel光束.数值模拟得到的零阶Bessel光束光强图样和自重建光强分布图，如图2所示.

除此之外，其他实验室利用计算机全息图[18-19]、球差透镜[20-21]、轴棱锥[22-24]及主动腔[25-26]等方法得到了不同阶数的Bessel光束.其中,用轴棱锥产生Bessel光束的方法具有实验装置简单、转换效率高等优点，是目前研究中最常使用的方法.但是受限于轴棱锥的加工技术，用此方法产生的Bessel光束的无衍射距离受到限制.Xie等[27]提出的AXIGRIN法,郑维涛等[28]提出的双轴棱锥法和孙川等[29]提出的梯度轴棱锥法得到Bessel光束,其无衍射距离大大增长,很好地解决这一问题.

Bessel光束除了具有无衍射特性外，还具有自重建特性，在Bessel光束的自重建性方面，吴逢铁实验室依据Hankel波理论做了大量工作：范丹丹[30]解释分析了零阶Bessel光束的自重建特性，并验证了零阶Bessel光束通过轴上圆形、方形障碍物和离轴圆形障碍物的自重建特性；之后，又利用非相干光源对零阶Bessel光束的自重建进行了实验验证[31]；张前安等[32]实现了相干光源产生高阶Bessel光束自重建的实验；何西等[33]验证了非相干绿光LED产生高阶的Bessel光束的自重建.实验室得到的零阶Bessel光束的轴上自重建过程图，如图3所示.

(a) 二维 (b) 三维 (c) 纵向

(d) 自重建图2　无衍射Bessel光束的光强分布图Fig.2　Intensity distribution of non-diffracting Bessel beam

(a) z=-25 mm (b) z=3 mm (c) z=77.5 mm (d) z=150 mm图3　实验拍摄零阶Bessel光束轴上自再现特性的演变过程Fig.3　Experimental pictures of the self-reconstruction evolution process for on-axis 0-order Bessel beam

3Mathieu光束

Mathieu光束是Helmholtz方程在椭圆柱坐标系下解出的一种无衍射光束，A(θ)取角Mathieu函数形式.Mathieu光束最先由Gutiérrez-Vega提出，具体表达式为

(4)

(5)

式(5)中：2h为椭圆两焦点距离.任意阶的Mathieu光束的光强分布图由Alpmann等[34]给出，其中，1～6阶Mathieu光束，如图4所示.

(a) 数值模拟

(b) 实验拍摄图4　横向光强分布图Fig.4　Transverse optical intensity distribution

Mathieu光束的自重建现象也可以用Hankel波的叠加理论来论证，在障碍物后的一段距离内，向内传播的椭圆锥面波(outgoing conical wave,OCW)和向外传播的椭圆锥面波(incoming conical wave,ICW)会被障碍物遮挡.传播一段距离后，未被遮挡的OCW和ICW继续传播、叠加，并再次出现Mathieu光束，即为Mathieu光束的自重建现象.李冬等[14]利用这一原理，得到了Mathieu光束的自重建现象.

4Parabolic光束

Parabolic光束是无衍射家族后来得到的一位成员，是在抛物线坐标系下的解，由Bandres等从理论上得出的.抛物线坐标系与笛卡尔坐标系的坐标为

在此坐标系下，角谱取形式为

(6)

代入式(2)，化简得到Parabolic光束的表达式，即

(7)

式(7)中：σ=(2kt)1/2；a为抛物线光束的阶数.不同于Bessel和Mathieu光束，Parabolic光束的阶数可以取非整数.实验室中的抛物线光束光强分布图则由López-Mariscal等首先给出.利用光源,零阶的Parabolic光束通过曝光过的相机胶片,由环缝法得到，如图5(a)，图5(b)所示.但对于高阶的Parabolic光束，这种方法则行不通.用计算机全息法得到的4阶Parabolic光束,如图5(c),图5(d)所示.

(a) 零阶奇(下标e)　　　　(b) 零阶偶(下标o)　　　　(c) 4阶奇(下标e)　　　　(d) 4阶奇偶(下标o)图5　光束实验光强分布图Fig.5　Experimental pictures of the beam intensity

5结论

主要介绍无衍射光束家族的4种无衍射光束，及它们在各自的坐标系下的表达式(即它们的横向光强分布图).另外，从Hankel波的角度解释了它们的无衍射重建过程.文中对于无衍射光束做了较为系统的介绍，对于进一步深入的研究有一定的意义.

研究结果表明：Cos光束是最简单的一种无衍射光；Bessel光束由于相对简单和极具规律性被广泛研究，实验室产生Bessel光束的技术也已相对成熟，其应用也被广泛研究;而Mathieu光束和Parabolic光束则是近十年来才开始被研究，并且由于其光束的复杂性，使得应用上的研究相对较少，这也是今后研究的一个方面.

无衍射光束的应用范围非常广，利用其进行光学俘获和操作[35-36]、光学拉力等[37]的实验室技术已经比较成熟，而在大气湍流[38]、激光成像[39]、光通信和检测等[40]方面的研究是目前研究热点.另外，在医学成像[41-42]、大型装备的装配定位、质量检测和安全监测[43]及生命科学等领域[44]有广阔应用前景.随着无衍射光束研究的不断深入和实验室技术的成熟，无衍射光束将会在越来越多领域得到应用.

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(责任编辑： 陈志贤英文审校： 吴逢铁)

Family of Non-Diffractting Beam

WANG Shuochen1,2, MEI Xiaohua1,XIE Xiaoxia1,2, WU Fengtie1,2

(1. College of Information Science and Engineering, Huaqiao University， Xiamen 361021, China,2. Fujian Key Laboratory of Optical Beam Transmission and Transformation, Xiamen 361021, China)

Abstract：Non-diffraction solutions of wave equation can be obtained in Cartesian coordinates, cylindrical coordinates, elliptical cylindrical coordinates and parabolic coordinates, those are Cos (Cosine) beam, Bessel beam, Mathieu beam and Parabolic beam, and they make up the non-diffracting family (also known as Helmholtz beam). In this article, we introduce their specific expression, beam intensity distribution and self-reconstruction process. At last the four non-diffracting beam were compared to each other, and we sum up the hot applications of the diffraction-free beam and look to the future.

Keywords：non-diffracting beam; the optical intensity distribution; self-reconstruction; expression of beam

中图分类号：O 436.1

文献标志码：A

基金项目：国家自然科学基金资助项目(61178015)； 福建省科技创新平台计划项目(2012H2002)； 福建省泉州市科技重点项目(2013Z20， 2014Z127)

通信作者：吴逢铁(1958-)，男，教授，博士，主要从事光束传输与变换，短脉冲技术及非线性光学的研究.E-mail:fengtie@hqu.edu.cn.

收稿日期：2015-08-29

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2016.02.0149

文章编号：1000-5013(2016)02-0149-06