跨越导数误区 实现高效学习——例析导数学习中的错解

■江苏省邗江中学　葛　光



跨越导数误区实现高效学习——例析导数学习中的错解

■江苏省邗江中学葛光

近几年，高考对导数的运算、导数的几何意义（切线）的考查力度增大，并在此基础上，通过构建函数模型，发挥导数作为一种研究函数性质的工具的作用，综合考查单调性、极值、最值，也经常结合不等式、数列等知识，解决一些实际生活中的应用问题.

在教学的过程中，笔者发现，由于学生概念模糊，处理问题的基本步骤不清晰，以及处理综合性问题的知识面狭隘，稍有疏忽便很容易进入下述的几个误区，特整理如下，以期改正错误，加深对知识点的理解和熟练运用.

一、跨越对导数的概念理解的误区

理解导数的基本概念，谨记解决问题的基本步骤，是使用导数解决问题的根本，才能真正发挥导数的工具性作用，培养从新角度观察问题的能力，让导数成为解决数学问题的又一利器.

例1已知f′（x0）=4，求

错解：由k→0时，f（x0-k）→f（x0），2k→0，

剖析：没有充分理解导数定义的形式：f′（x0）=

形式中不仅要求Δx→0，f（x0+Δx）→f（x0），而且要求分母为分子中两变量之差.在公式中Δx形式变化，f′（x0）还可以写成或或或等.

剖析：许多同学都会认为本题与例1是同一类型，因而误选C.其实本题与例1是有区别的，例1在x0处一定有定义且连续，而本题极限存在，在x0处f′（x）可能没有意义，有定义f（x）在x0处可能不连续，这样f（x）在x0处都不可导.例如f（x）=x（x≠0），，但f（x）在0处不可导.

二、跨越导数的几何意义理解的误区

导数的几何意义是学生理解并运用导数的必要条件，对导数的几何意义和导数与切线的关系掌握不深刻，将会在解题中遇到障碍.

例3下面说法正确的是（）.

A.若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处就没有切线

B.若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处有切线，则f′（x0）必存在

D.若y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线.

错解：选A、B、C、D.

剖析：对导数的几何意义和导数与切线的关系掌握不全面，y=f（x）在x=x0处可导，f′（x0）为y=f（x）在点（x0，f（x0））处切线的斜率；在x=x0处导数存在，y=f（x）在点（x0，f（x0））处切线一定存在；在x=x0处导数不存在，若Δx→0时，在x=x0处切线仍存在.例如函数在x=0处导数不存在，但存在切线x=0；同样函数y=f（x）在x=x0处存在切线，在点（x0，f（x0））处导数可能存在，也可能不存在.

正解：通过上述剖析知，本题应选C.

三、跨越函数单调性和导数符号判断条件的误区

导数作为一种工具，可以解决函数的最值和单调性等问题，通过导数符号的判断，可以得到函数的单调性.然而学生在解决问题时却忽视了结论成立的等价性，从而出错.

错解：由y=f（x）在（-∞，+∞）上是单调递增函数，对任意x∈R都有f′（x）＞0恒成立，即f′（x）=x2-2（4m-1）x+ 15m2-2m-7＞0，对一切x∈R恒成立，则有Δ=4（4m-1）2-4（15m2-2m-7）＜0恒成立，解得2＜m＜4，此即为m的取值范围.

剖析：f′（x）＞0是在（-∞，+∞）上y=f（x）为增函数的充分条件，而不是充要条件，y=f（x）为增函数，f′（x）有限个值可能为零.例如y=x3在（-∞，+∞）上为增函数，f′（x）= 3x2＞0，只有在x=0处f′（x0）=0.其充要条件应是：y=f（x）在区间（a，b）内可导，则f（x）在区间（a，b）内单调递增（递减）⇔对任意的x∈（a，b）都有f′（x0）≥0（f′（x0）≤0）且在（a，b）内的任一非空子区间上f′（x0）≠0.

正解：由f（x）在R上是增函数，所以对任意x∈R都有f′（x0）≥0恒成立，即x2-2（4m-1）x+15m2-2m-7≥0对一切x∈R恒成立，Δ=4（4m-1）x2-4（15m2-2m-7）≤0即可，解得2≤m≤4.由于m=2或m=4时，使f′（x）=0的仅是孤立的点，故m的取值范围是［2，4］.

对于考虑数学问题一定要完整，这是解题的关键．然而用如此方法解题也会出错.

因为x＞-2，所以（x+2）2＞0，所以2a-1≥0，即故实数a的取值范围为

剖析：可导函数f（x）在区间I上单调的充要条件是f′（x）≥0或f′（x）≤0在区间I上恒成立，且f′（x）在区间I上不恒为零.此例错在没有检验由此求得的参数取值范围的端点值是否会使f′（x）恒为零而导致出错.

因此，在运用导数探求由含参数的函数f（x）在区间D上具有单调性，求其参数的取值范围这一类问题时，将问题转化为f′（x）≥0或f′（x）≤0在区间D上恒成立，由此求得的参数的取值范围，必须要检验参数的取值范围的端点值是否使f′（x）恒为零，若不恒为零，则取端点值，若恒为零，则不能取端点值.

四、跨越极值存在判断条件的误区

极值存在的条件是在极值点处附近两侧的导数值应异号．“f′（x0）=0是函数f（x）在x0处有极值的必要不充分条件”，例如：f（x）=x3在x=0处f′（0）=0，但f（x）在R上是递增的，无极值.

例6函数f（x）=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10，则a、b的值为_______.

剖析：函数可导，导数值为零只是该处取得极值的必要条件，要使在x=x0处取得极值，还要求y=f′（x）在x=x0处左右两侧符号相反（充分条件）.上述错解错在把必要条件当作充要条件.

由此可知，涉及极值问题，一定要判断极值点两端的符号是否异号，进而判断是极大值还是极小值.函数y=f（x）在x=x0处取得极值的充要条件是f′（x0）=0且f′（x）在x=x0两侧符号相反.

五、跨越曲线在某点处的切线与过某点的切线问题的误区

曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线是指一点P为切点的切线，若存在，只有一条，其方程为y-y0=f′（x0）（x-x0）；而曲线y=f（x）过点P的切线，其切点不一定是点P，且切线也不一定只有一条，此时无论点P是否在曲线y=f（x）上，一般解法是：先设切点为Q（x1，f（x1）），切线方程为yf（x1）=f′（x1）（x-x1）①，再把点P的坐标代入方程①解得x1，最后把解得的x1（可能不止一个）代入方程①化简即得所求的切线方程.

分析：本题是求曲线过点P（2，4）的切线方程，因而不能把曲线过点P的切线错误理解成曲线在点P处的切线来求解，所以应先求切点坐标.

总之，“曲线y=f（x）在（x0，y0）处的切线”有两层含义：一是点（x0，y0）在曲线上，即y0=f（x0）；二是点（x0，y0）为切点.而求曲线y=f（x）过点P（x0，f（x0））处的切线方程，则点P不一定为切点.

六、跨越恒成立问题与能成立问题的误区

恒成立问题和能成立问题是高考中一类最常见的题型，几乎每年都有所涉及.这类问题的解决，大都可以用函数的观点来审视，用函数的有关性质来处理.而导数是研究函数性质的有力工具，因而用导数解决能成立、恒成立问题就顺理成章了.

求证：有且仅有一个正实数x0，使得g8（x0）≥gt（x0）对任意正实数t成立.

剖析：解决这类问题时，首先把问题看成不等式恒成立问题，利用恒成立问题的解法，把问题转化成为函数的最值问题，进一步证明满足条件的x0有且仅有一个.

对于这类问题，首先将存在x0使f（x）≥g（x）成立，转化成存在x0使F（x）=f（x）-g（x）≥0成立问题，再利用导数方法探究F（x）的单调性及最值.

导数作为一种重要的解题工具，在处理高中数学的函数问题中有着不可替代的作用.运用导数探求函数的单调性、极值、最值等问题时，只要注意对以上几种误区多加甄别，在平时的解题训练中多思，多做，长期以往必然会取得长足的进步.F