可解NPM-群

曹建基

(1.山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同037009；2.山西大同大学教育科学研究所,山西大同037009)

可解NPM-群

曹建基1,2

(1.山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同037009；2.山西大同大学教育科学研究所,山西大同037009)

讨论了阶被|G|的最小素因子p整除的所有非正规循环子群的正规化子皆极大的可解群（文中称满足条件的群为NPM-群）。得到了下面结果:(1)G为可解NPM-群且G的Sylow p-子群P为G的极大子群时给出了G的结构;(2)若G为可解NPM-群且P不是G的极大子群,则G或者为p-闭群,或者为p-幂零群。

极大子群;正规化子;p-幂零群;p-闭群

利用子群的性质研究群G的性质是一种常用的方法，特别是利用正规子群研究群的性质更为常见。而正规化子是正规子群的一种度量,所以很自然地可以利用某些子群的正规化子研究群G的结构,这方面的研究已有许多结果,如文献[1-10]。另一方面利用极大子群研究有限群更是一种常用的方法这方面也得到了很多有意义的结果,参见文献[1-4]。受以上结果的启发,本文讨论了阶被|G|的最小素因子p整除的所有非正规循环子群的正规化子皆极大的可解群,得到一些这类群的性质。

文中所有的群均为有限群。所用术语与符号参见文献[11-12]。

1 预备知识

定义设p为|G|的最小素因子。若群G的所有阶被p整除的非正规循环子群的正规化子皆极大,则称G为NPM-群。

引理1设p为|G|的最小素因子。如果G为NPM-群,且E为G的非正规循环p-子群,那么CG(E)存在正规Hallp'-子群K,且K的每个子群均为NG(E)的正规子群。,其中P为的Sylowp-子群。

证明 如果CG(E)为p-群,那么引理成立。所以可设CG(E)不是p-群,且设F为CG(E)的循环q-子群,其中q≠p为素数。因为EcharEF⊴NG(EF),所以EF⋬G且由的极大性可得。同理可得F⊴NG(EF)。因此有。 所以CG(E)的Sylowq-子群正规于NG(E),进一步可得CG(E)存在正规Hallp'-子群K,且K的每个子群均为NG(E)的正规子群。

由p的极小性可得NG(E)/CG(E)为p-群,进而可得NG(E)的Hallp'-子群包含在CG(E)中。因此NG(E)=K⋊P,其中P为NG(E)的Sylowp-子群。引理得证。

2 主要结果

设p为|G|的最小素因子,P为G的Sylowp-子群。下面我们先假定P为群G的极大子群,给出下面的定理。

定理1设p为|G|的最小素因子,P为G的Sylowp-子群,且P为群G的极大子群。G为可解NPM-群当且仅当G=PQ其中Q为群G的Sylowq-子群,q≠p为素数。并且如果为群G的阶被p整除的非正规子群,其中分别为的Sylowp-子群和Sylowq-子群,那么

证明设p为|G|的最小素因子,P为G的Sylowp-子群。由P的极大性可得|G:P|=qi,q≠p为素数。设Q为群G的Sylowq-子群，则定有G=PQ。又设为群G的阶被p整除的非正规子群,其中分别为的Sylowp-子群和Sylowq-子群。下面分情况讨论:

(a)如果但,那么,由P的极大性和可得xq=1;

(b)如果,那么由,可得为群G的极大子群;

(c)若xp⋬P,则由引理1得为群G的极大子群,其中P1为的Sylowp-子群,Q为Dedekind群。p的极小性隐含着q定为奇素数，所以Q为交换群。

定理2设p为|G|的最小素因子,P为G的Sylowp-子群,且P不是群G的极大子群。如果G为可解NPM-群,那么G或者为p-闭群,或者为p-幂零群。

证明假设结论不成立,且设G为极小阶反例。设p为|G|的最小素因子,P为G的Sylowp-子群,则

(1)G没有非平凡正规循环p-子群。

如果存在p阶循环子群那么P=K。如果K=P⊴G,那么G为p-闭群,矛盾。故K＜P且G/K也为可解NPM-群。由G的极小性可得G/K或者p-闭,或者p-幂零。故G为p-闭或者p-幂零,矛盾。

（2）G没有非平凡循环正规p'-子群。

假设群G存在非平凡循环正规p'-子群，可以令M为G的所有非平凡循环正规p'-子群的乘积。容易验证G/M为可解NPM-群,故G/M或者p-闭或者p-幂零。如果G/M为p-幂零群,那么G也为p-幂零群,矛盾。所以G/M为p-闭群,且PM⊴G。对任意x∊P,由(1)得且由引理1可得其中Kx为的Hallp'-子群,Px为的Sylowp-子群。 如果Px∊Sylp(G),那么定有M≤Kx。若否,由的极大性可得为p-幂零群,矛盾。因此可得x∊CG(M)。如果Px∉Sylp(G),那么Kx为群G的Hallp'-子群,也可得到M≤Kx，进而可得x∊CG(M)。故由x的任意性可得PM=P×M。注意到PcharPM⊴G,可得P⊴G,矛盾。

（3）Op'(G)=1。

如果Op'(G)≠1,那么定存在极小正规子群R为初等交换q-群，q≠p为素数。 对任意x∊P,由(1)得且由引理1可得其中Kx为的Hallp'-子群,Px为的Sylowp-子群。类似于（2）的证明可得R≤Kx。对任意的s∊G,。由R⊴G可得R≤Kxs。任取r∊R,由(2)得r⋬G。又由引理1可得R的每个子群均正规于,故由的极大性得=,进而可得。我们断言Px∊Sylp(G)。若否,Kx为G的Hallp'-子群,且由,可得Kx⊴G,矛盾。由x的任意性可得P为Dedekind群。任取x1,x2∊P,由(1)得均非G的正规子群,且由引理1可得。若,则由的极大性可得为群G的正规Hallp'-子群,矛盾。故Kx1=Kx2,即对任意。注意到Pchar⊴G,可得P⊴G,矛盾。

(4)最后矛盾。

由(3)可得F(G)=Op(G)。 设N为G的极小正规子群,则N为初等交换p-群。取为p阶子群,由引理1得。注意到Op(G)≤P,可得到[Ky,Op(G)]≤Ky∩Op(G)=1。故Ky≤CG(Op(G))=CG(F(G))≤Op(G)。即Ky=1,所以为群G的极大子群,与假设矛盾。定理证毕。

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Solvable NPM-grou

CAO Jian-ji1,2
(1.School of Mathematics and Computer Sciences,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009,2.Institute of Educational Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009）

In this paper,we concenter a class of group such that all the non-normal cyclic subgroup whose order are divided by the minimal divider p of|G|have maximal normalizer(we call such a group an NPM-group).We give some properties of solvable NPM-group.(1)If G is an NPM-group and the Sylow p-subgroup P of G is maximal in G,then we give the structure of G;(2)If G is an NPM-group and P is not maximal in G,then G is either p-closed or p-nilpotent.

maximal subgroup;normalizer;p-nilpotent group;p-closed group

O152.1

A

1674-0874(2016)05-0007-03

2016-04-08

山西大同大学青年基金项目[2009Q14];山西大同大学博士科研启动项目[2014-B-08]

曹建基(1979-),男,山西介休人,博士,讲师,研究方向:群论。

〔责任编辑 高海〕