“波利亚解题思想”在高中数学学困生转化中的应用研究

一、问题的提出

新课程理念强调以人为本，希望每位学生都能够获得全面的、和谐的发展。事实上，目前普通高中存在着大量的数学学习困难生（以下简称数困生），数学学习困难很大程度影响了他们自身的成长和未来的发展。因此，从实践层面探索转化数困生的途径有着非常重要的意义。

毫无疑问，学习数学的关键在于解题。笔者通过对数困生的观察研究发现，解题能力差、毫无章法、无解题的策略意识是导致他们学习数学困难的最核心因素。怎样解题？怎样有思想的解题？对于解题理论的研究和教学首推美国当代数学教育家乔治·波利亚，他的研究工作给我们提供了理论和实践两个层面的指导。笔者利用波利亚解题思想在转化数困生的实践方面，作了一点有益的探索，以期能为转化数困生提供一条新的途径。

二、波利亚解题与教学思想简介

1.波利亚的解题思想

波利亚的重要数学著作有《怎样解题》《不等式》《数学的发现》《数学与猜想》等等，但他的解题思想集中体现在他的《怎样解题》一书中，解题的流程如下图所示：

为了更清楚地展现解题的思维过程，波利亚又把每个环节分成若干个小的问题，部分重要的问题分别如下：

（1）已知是什么？

（2）未知是什么？

（3）题目要求你干什么？

（4）可否画一个图形？

（5）可否引入符号，实现数学化？

（6）你能否一眼看出结果？

（7）是否见过形式上稍有不同的题目？

（8）你是否知道与此有关的题目，是否知道用得上的定义、定理公式？

（9）有一个与你现在的题目有关且你已解过的题目，你能利用它吗？

（10）已知条件A，B，C……可否转化？可否建立一个等式或不等式？

（11）你能否引入辅助元素？

（12）如果你不能解这个题，可先解一个有关的题，你能否想出一个较易下手的、较一般的、特殊的，类似的题？

（13）把你想好的解题过程具体地用术语、符号、图形，式子表述出来。

（14）修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方案。

（15）解题要求是：严密具有逻辑性。

（16）你能拟定其他解题方案吗？

（17）你能在别的问题中利用它吗？你能用它的结果吗？你能用它的方法吗？

（18）你能找到什么方法检验你的结果吗？

由此可见，解题表主要由四个环节构成，其中弄清题意是关键，拟定计划是核心，检验回顾是解题中不可缺少的重要条件。由此可见，波利亚特别强调解题前和解题后的工作，这与我们仅强调解题过程（执行计划）有很大的差异。

2.波利亚的解题教学思想

波利亚主张教师在解题教学过程中要教会学生思考和培养学生的创新精神，倡导“探索式”教学。从《怎样解题》中可见波利亚还十分注重对学生“反思性思维能力”的培养，倡导解题过程中数学方法的教学，他主张对解题结论的应用，从而激发学生的想象力。波利亚强调在解题过程中调动学生的“主动性”，创造解题教学的“最近发展区”极为重要，他认为适当的题目可以培养学生良好的情感和态度，可以调动学生的非智力因素。

关于学生的解题训练，波利亚反对数学教学中让学生用大量的时间操练一些常规运算。他认为学生用大量的时间操练常规运算会扼杀学生的兴趣，阻碍学生智力的发展，错失教育良机。相反，如果用和学生的知识相称的题目来激起学习的好奇心，并且用一些激励性的问题去帮助他们解答题目，那么就能培养学生独立思考问题的兴趣，并教会学生某些方法。他认为在一个易受到外界影响的年龄段，这样的经历可能会培养出对智力思考的爱好，并对思想和性格留下终生的影响。

三、研究的方法及过程

为了研究的方便，经学校同意，笔者随机选择高三（5）班和高三（6）班的部分数困生作实验研究，这是两个选修“物理生物”的普通班级，学校同类型的平行班级还有（3）班、（4）班、（7）班、（8）班等。

1.数困生的界定

为了统计和研究的方便，我们把数困生界定为“多次数学考试得分不足理科班平均成绩一半的学生。”这个界定的科学性尽管有待商榷，但这个标准确实很低，并且易于操作，以下的统计数据都遵照此标准。为了预防实验班新的数困生的产生，在进行波利亚思想解题实验时，根据9月份的市高三调研考试和之前的高二期末成绩，把标准提高到“数学得分不足理科班成绩的三分之二”，并排除个别特殊的学生，于是两个班共有15人参加实验。

2.师生的理论学习

目前波利亚的解题思想在国内中学的数学教学中，还没有被教师广泛的认可和接受，学生更是闻所未闻。为了确保实验中能够深刻领会，不曲解、不偏离波利亚的解题思想，笔者安排了两个月的师生理论学习时间。2014年9月为自我学习阶段，在这一个月内，笔者除了仔细研读前期收集的波利亚的最主要的解题类著作《怎样解题》《数学与猜想》外，还学习了别人研究波利亚解题思想的著作和论文，如刘云章教授的《数学钥匙思维策略：波利亚著作选讲》、柳成行的《乔治·波利亚的解题思维理论》等。2014年10月份，笔者主要利用课余时间如午自修和夜自修等时间，带领数困生学习波利亚的解题思想，并结合解题的实例说明，让每位数困生能够牢记解题的四个环节和每个环节中思考的着眼点。

3.探索实践方法

正式的实验阶段从2014年的11月始到2015年的5月底，除去寒假，正好为期半年。大体分为三个阶段：教师引导阶段、强化应用阶段和自觉应用阶段。endprint

从2014年11月始到12月末为教师引导阶段。在前期对波利亚解题理论学习的基础上，由教师利用课外的时间，对参加实验的学生进行专门解题策略引导。在这个阶段，主要是以老师讲解例题，学生模仿为主，为使四个环节更具操作性、更加具体，对这四个环节作进一步细化，如下表所示：

2015年1月和2月为强化应用阶段。由于这样的解题过程需要大量的时间，所以对参加实验的学生的数学作业区别对待，在完成必要教学任务的作业外，尽可能地减少作业量，追加典型的能够用波利亚思想解题的作业，并单独印制试卷，在每题的答题区，印制好每个环节需要思考的问题，并要求学生逐步填写，而不仅仅是完成解题，每天晚上完成1到2个这样的问题。

2015年的3月和4月为自觉应用阶段。通过前两个阶段的训练，大部分参与实验的学生能够自觉地按解题流程进行解题。值得一提的是在2015年5月的四大市第二次模拟考试中，参加实验的同学在中等难度题（第9到16题）上平均得分与班级其他同学平均得分基本相当。有力地说明实验确实起到了一定的效果。

四、数据的收集与分析

为了跟踪检验实验的有效性，我们选取了最接近实验前的三次考试数困生人数，和开展实验后的三次考试数困生人数（见表1）。除了2014年10月检测之外，均为市级以上的考试，无论是试卷信度、考试组织还是阅卷都具有较强的权威性。

由于高三开始时按照高二的期末成绩进行了均匀分班，所以数困生人数非常平均，均为5人。接下来9月和10月考试数困生人数有了一定的变化，从表中数据可见，开展实验后实验班的数困生数量明显减少，我们使用SPSS15.0进行单因素方差分析（One-Way ANOVA），得到实验前和实验后的数困生平均人数差异的F值，见表2。

就实验前因变量而言，F值不显著（F=0.056，p>.05），就实验后的因变量而言，F值显著（F=18.059，p>.05）。这说明进行实验后各班数困生人数发生了显著的变化，我们的实验是卓有成效的。

五、研究的结果及教学改进

这次实验结果有力地说明了只要采用科学的、适当的途径，是能够实现数困生转化的。因此，对已经形成的数困生采取有效的补救措施。改进课堂教学迫在眉睫，我们可以从以下几个方面入手：

1.教给学生审题的方法，提高学生审题能力

认真审题是提高解题效率和保证解题有效性的关键，通过审题充分理清题目的条件和所求，边读题边翻译，将条件转化成图形语言或符号语言。弄清题目属于哪种题型，有什么通法或找到问题的突破口，挖掘出与所求相关的信息或隐含条件，进行联系和疏通，使问题迎刃而解。我们在教学中要给予学生足够的审题时间，教会学生审题的方法，千万不能越俎代庖。

2.解题力求找到问题的源头

解题时学生对问题中的有些条件无从“翻译”，或偏离方向越做越复杂，最终放弃，非常可惜。“问渠哪得清如许，为有源头活水来。”学生进行审题后难于驾驭的问题，我们要积极引导，提供正确的步骤和方法，促使学生有效探究，力求找到问题的源头，层层推进，及时疏通，在不断尝试中找到解题的切入口，这一系列思维过程无不伴随着学生最基本的思考。

3.对学生的"不同意见 "要热处理

我们在课堂上讲解题目时，可能有学生会对解法持有“不同意见”，从而打乱了我们所谓的教学计划。这时我们千万不能做辛勤的园丁，拿着把大剪子急切地修剪着，导致学生的思维就如笼中鸟，生怕自己的答案不标准，却也难于理解自己究竟错在哪里。相反，我们要及时为学生的“不同意见”及时调整教学计划，开启绿色通道，可能这些学生的意见是有限制性和偏差的，我们不妨和学生一起用发展的理念讨论要不要全盘接受，慢慢思考培养什么，舍弃什么，可以作什么改进，从不同的视角感悟我们可以留下些什么。

（施莉莉，吴江高级中学，215200）

责任编辑：颜莹endprint