感悟智深：追求“真正意义上的理解”

“理解”是《义务教育数学课程标准》中描述结果目标的行为动词之一，等同于认识、会。内涵解释为能够通过对对象的特征和由来的描述，顺着脉理或条理进行剖析，并对相关对象之间的区别和联系能够说理分析。

小学数学课堂教学新知学习不能停留在“形式化的定义”，要做到“真正意义上的理解”，要让学生对新知的理解更全面、更深入，真正理解知识的本质属性。然而，当下一些数学课堂，教师定位于对数学知识的描述与获得的结果，热衷于“简单、快捷”的方式，忽略“意义理解”，以使学生能够迅速呈现“做法”与“结果”，至于“做法的缘由”“结果的生长原点”“相关知识的联系与区别的分析”却知之甚少。对此，我认为学生真正理解知识，不在于能否说出它的“定义”，而在于能否把握知识的本质特征，能否在具体的情境中正确运用知识解决问题。

一、聚焦：理解“缺位”现象扫描

镜头一：三年级下册《乘法》单元第一课时《两位数乘以两位数》，内容先让学生通过列横式分步计算，然后出现竖式，接着让学生探索竖式每一步的意义，得到结果。一些课堂把分步算法与列竖式孤立开来，重点教学竖式的格式、算法，忽视列竖式的基础、每一步的意义，忽视竖式形成的过程，致使学生把解决此问题的理解定位于“用竖式计算”。

镜头二：教学几何图形周长和面积时，教学过程都会安排操作、过程描述、推理验证等，最终得出图形的周长或面积公式，但一些课堂把公式作为教学的主要目标，长时间的记忆和大量练习运用，致使一些学生脑中就产生了“长方形的周长是（长+宽）×2”“三角形的面积就是底×高÷2”。

镜头三：教学三年级上册内容时，总会碰到一些“谁比谁多（少）几”的实际问题，学生在二年级时应该有了一定的经验，但到了三年级却还出现大量错误，“多”就是“加”，“少”就是“减”这种错误影响颇深。究其原因，一些教师忽略细化分析，一味追求大练习量，再加上低年级学生思考简单、落笔迅速、易模仿、易固化的思维特点，此内容成为错误顽疾。

纵观以上常见的课堂教学现象，可以归纳为两类：

1.压缩理解空间，过程“快餐式”。一些课堂片面追求“短时高效”“当堂掌握”，高密度、大剂量操练。教学中教师在简单了解知识基础后，便直接讲授新知内容的解决方法，然后便是大量的训练，从课堂效果看学生掌握得较好。但问及“为什么可以这么做？”能够回答的学生甚少。原因是教师的教学行为直接影响了学生的学习行为，将新旧知识割裂开来，导致学生重视新知的记忆，忽视知识之间的联系和方法的形成过程，因而造成学生轻视过程理解，侧重于即得方法的运用。

2.忽略系统贯通，知识“零碎化”。一些课堂注重单个知识点的教学，对于新旧知识的联系、知识的形成过程、与其他知识点的比较不重视，使学生看似掌握了新知，其实学生并没有形成内在的知识体系。建构主义的观点认为“学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，那么才说明是理解了。”在学习中，教学只有引导对学生的新知识点进行透彻分析，加强知识间的比较，体验思维深刻过程，这样的理解才会走向深入。

二、剖析：理解“缺位”的原因分析

1.“结果短期化”影响。一些教师受“短期效益”影响，把目光放在一堂课的教学效果上，认为通过反复的强化练习，知识点落实了，学生的理解力也就增加了。其实这种效果往往是短期的、表面的，只有量的累积，知识是无法产生“化学效应”的。从深层次看，简单、封闭的教学会因为问题的设计缺乏挑战性，学生未能经历深层次的思考，学生对知识的理解停留在表面。况且，学生疲于应付反复的操练和一遍遍的强化，这种反复操练、强化记忆的学习不是真正的数学学习。所以，知识理解不应建立在多次的强化和操练上，那种浅尝辄止的教学认识，增加了学生的学习负担之外，还让原先有趣的数学变得“枯燥”“乏味”“不可捉摸”。

2.“过程无序化”影响。课堂教学程序是课堂运行的结构，由教材内容的逻辑顺序与学生的心理顺序相互决定的。研究表明，学生思维的“序”只有与教学内容的“序”一致，才能充分经历知识发生、形成和发展的过程，促进知识的理解和掌握。但一些教师呈现材料不注意其内在的逻辑顺序，不会挖掘教材，无法形成具有层次推进的教学结构，也就不能促使学生有序地观察、比较和思维，进而对学生实质性地理解知识和解决问题带来一定的困难，即使花费更多的时间，学习的效率也降低了。所以安排合适的秩序，才能产生理想的教学效率，才能促进数学理解。

3.“工具性理解”影响。数学学习中，“理解”无疑是第一位的，学生在学习数学知识的过程中通常有两种含义迥然不同的数学理解模式：工具性理解和关系性理解。可能我们在教学实践中常常关注的是工具性理解，因为它能更快更可靠地得到正确的答案，学生也就把学习变成了找正确答案的法则和算法的过程，长此以往，学生的思维就必然走向僵死。数学是思维的体操，数学教育的终极目标是提高学生以思维能力为核心的数学素养，学会“用数学的眼光去认识自己所生活的环境与社会”，学会“数学地思考”，而不是一味地解题找答案。所以，过分突出工具性，忽略关系性思维，会让数学失去“魅力”。

三、实践：建立有意义的理解

1.建立联系，把握“理解”因素

数学中的“理解”，主要表现为我们能否在各个数学概念与知识之间建立更多、更强的联系。在教学中，要将新的材料与学生原有的认知结构建立起实质性的联系，帮助学生建立数学知识之间的内在联系，从而促进学生在先前理解知识的新情况下产生新理解，使已有的理解不断拓展、深化。endprint

（1）新旧知识联系。例如当学生归纳出乘法分配律后，不必急于进入应用环节，可以引导学生回顾三年级学习的两位数乘以一位数的口算方法：23×3先算20×3，再算3×3，最后加起来；三年级长方形周长的两种算法：25×2+15×2，（25+15）×2，进一步说明为什么乘法分配律左、右两边的式子是相等的这一合理性。这样有意识地沟通了新旧知识的纵横联系。

（2）知识内在联系。例如《认识面积》一课，学生已学长度单位，现在学习面积概念及面积单位，高年级还要学习多边形面积计算，这些知识具有内在联系性，所以这课首先应考虑整体性设计，注意部分与整体之间的联系，帮助学生整体建立知识体系，要让学生感知所学知识是有基础的，是对后续知识学习有帮助的，不是孤立零碎的，以此提高学生对内在知识的沟通能力。

（3）与生活经验联系。例如学生初步认识一位、两位小数后，可以开设一个课堂小超市，让学生自己写好小数去购买文具用品，接着交流在其他地方见过已学到的小数，没学过的小数……这一环节在学生饶有兴趣的“购物”中，体会小数客观存在，且与生活紧密联系，接着让学生举不同的小数，培养了学生的观察力和自我学习力。

2.催生孵化，设计“理解”过程

数学教学的本质是要让学生学会数学地思维。教师在课堂教学时要增设思维孵化的机会，注重启发，引领学生对新的学习材料进行深入分析，并与原有的认知建立起实质联系，让学生在新知建构中随思维演变慢慢孵化、生长。

（1）“由外打破”转为“由内突破”。例如：三年级《两三位数除以一位数》一课，出示以下情境图：

学生列式后，设计了如下问题：“你想怎么算呢？能用画图、文字或算式说明吗？”

学生通过自主思考，呈现了许多作品，虽然只展现了分的过程，但其实已经展现学生由“图—文字—式”思维的数学化过程。相机，我又提出以下几个问题：“这么多的分法其实都是先分什么，再分什么？”“都是先算什么，再算什么？”“哪种方法你觉得既简洁又包含了全部分的过程，为什么？”这些带有“启发性”的问题让学生对众多分法有了更深入的了解，对竖式计算的算理有了新认识，为引入竖式铺平道路。

（2）“直接告知”转为“意义接纳”。例如，四年级《近似数》一课，其内容之一是用“四舍五入”的方法省略一个大数的尾数求近似数。“四舍五入”法是数学中的常用基本方法，直接讲授也未必不可，但学生脑中总会出现为什么可用“四舍五入”法，省略尾数为什么只要看尾数的最高位等问题？针对这两个问题，我设计了如下环节：

任意写一个480000和490000之间的数，很快说出它接近四十几万，近似数是多少？

师：0301，0501，0999，为什么还是48万？关键看什么？

生：关键看尾数的最高位上的数，其他数不起作用。

师：如果改1999，2999，3999，49999，5999，6999， 9999，近似数分别是多少呢？

师：以上的变化中，你觉得尾数的最高位上的数字怎么看？（0—4，4或小于4就省略，写近似数时其他都写0。5—9，5或大于5，就在尾数前一位加1，其他数位都写0）

小结：其实你们说的方法就是我们数学中求近似数的方法叫“四舍五入法”，求一个数的近似数要看保留到哪一位，把它后面的尾数省略。尾数的最高位上的数如果是4或比4小，就舍去称“4舍”；如果是5或5以上的数，就在尾数前一位加1，称“5入”，这就是“四舍五入法”。

以上例子说明教师不仅要教学“是什么”，更要教学“为什么是”，学生不仅能知道结论，更能理解如何得来的。

3.体验直观，建立“理解”平台

数学具有抽象性与概括性，直接理解有困难。教学时可以借助直观教学法，通过多种形式感知，丰富学生直接经验，使学生获得生动的表象，最终通过自己的思维对学习对象获得抽象化理解。所以我们在研究数学问题时，可以化数为形，把抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维为形象思维，以此提高解决问题的能力。

（1）直接经验解释疑问。教学乘加乘减混合运算后，总会有同学问：“为什么要先算乘法？”显然我们不能以“那有什么为什么，就是应该先算乘法？”于是我根据3+8×5设计：小明到商店购买文具用品，买了一块橡皮3元，买了5支自动铅，每支8元，一共多少钱？如果用加法就是3+8+8+8+8+8，而我们都习惯用乘法先算5支自动铅的钱，再加上橡皮的钱。于是我说：“加减是数量关系变化的低级形式，先有了加减法，然后在相同加数连加和递减相同数的基础上，产生简便算法乘法和除法，乘除法是比加减法更高级的算法。高级的算法比起低级的算法来，计算的效率更高。因此，在乘加和乘减的混合运算中，规定先算乘法。”

（2）直观图形描述分析。面对较复杂的数学问题，通过画草图与交流，让学生感受到画图能清楚地理解题意。例如：乐器队人数是篮球队的3倍，乐器队人数比篮球队多24人。乐器队和篮球队各有多少人？此题条件之间的关系比较复杂，显然画出图就能很简单地理解题意了。因而对其解法不容易理解，可以借助直观图，使学生通过对所画的图进行观察和思考，分析其数量关系，算法就比较容易确定了，假设没有图示来帮助，要想得出它的算法，就要困难得多。

（3）几何直观化解难点。数学中有一些较难的知识点，我们可以借助几何直观进行思维，揭示对象的性质和关系，化解难点，提高学生的思维深度。例如：1.50比1.5精确度更高。1.450-1.549，四舍五入，精确到十分位都是1.5；1.495-1.504，四舍五入，精确到百分位都是1.50。然后出示下列线段图：

让学生观察数的范围，哪个图上涵盖的数的范围更小？范围越大，涵盖的数与真值越远，范围越小，说明涵盖的数与真值越接近，所以1.50精确度就更高。

（4）直观操作提升思维。操作是智力的起源，思维的起点。只有当预设转变为可以操作的活动时，学生的理解行为才可能发生。因此，教学活动要为学生提供必要的直观材料，以便他们在动手操作中发现规律，掌握方法，积累经验。例如教学三年级《认识周长》一课，课前安排学生自带树叶和毛线，先让学生用毛线把带的树叶围起来，学生在慢慢围的过程中体会到树叶边一周的长度就是树叶面的周长，接着让学生展示毛线围出不同的树叶的周长，观察到周长是有大小的，接着把毛线拉直，明白周长有长度，可以丈量的。于是又让学生把同一根毛线围成不同的形状，体会周长相同，形状可以不同。通过以上不同的操作，理解了概念，提升了思维。endprint

4.学会思考，组织“理解”活动

学生的数学“理解”实质是一个深入思维的过程，数学教学的重要目标就是培养学生的思考能力。教学中要注意突破逻辑顺序的束缚，帮助学生从更为广泛的角度去认识概念和知识之间的联系，从数学思维的角度去进行分析思考，从而深化学生的认识，帮助他们真正学会数学地思考。

（1）善于深入思考。教学五年级《钉子板上的多边形》一课，开始让学生观察钉子板上不同的图形，提问：“你发现什么？”“我发现有多个不同的图形，它们的面积不同？”“面积不同，那面积的大小与什么有关呢？”“长和宽或底和高的长度有关。”“除了这些，你还知道面积可能与什么有关？”没有学生回答了，我引导学生思考：“今天我们学习钉子板上的多边形，你觉得可能与什么有关？”“钉子数”“好的，每个图形围起来时，有的在边上，我们称形上钉子，有的在图形内，我们称为形内钉子，现在你猜猜面积可能与什么有关？”我觉得与形上钉子数和形内钉子数有关”“为什么？”“我发现如果形内有1个钉子的话，形上钉子数不同，面积也可能不同，但是形内钉子数多出来的话，也改变面积的”“好的，那你觉得可以怎么去研究？”“先从形内1个钉子数开始研究”“不错，这是一种由易到难的好方法，今天我们就这样来研究。”

（2）善于差错转化。教学《异分母分数相加减》一课，出示1/2+1/3，先让学生独立计算，直接相加的占了大部分，老师抓住这个错误资源，用以下的环节教学：①唤醒经验：口算5.3-2，3与2能直接相减吗？为什么？4米+2厘米，4与2能直接相加吗？为什么？②明确算理：计算单位不相同，不能直接相加减。③类比举例：还有类似的例子吗？④迁移联想：这两个分数的分母不同，也就是分数单位不同，还能直接相加吗？⑤课件演示（见下图）。⑥那该怎么办呢？以上环节抓住“计数单位不同”这个深层次的问题开始，通过交流，教师及时纠正理解偏差，让学生获取了更加广泛的数学信息，促进了对数学的全面理解。

（3）善于变式训练。变式就是变换知识的非本质属性而本质属性不变的呈现方式。例如：教学《认识分数》一课，平均分是教学的重点，只靠记忆显然学生不易理解。于是设计了如下环节：

①折一折，分别折出一张纸的1/2，1/4，1/8，比较每一份的大小。

②下面用1/2表示的打“√”，说出为什么。

③用分数表示下面的涂色部分。

④辨一辨：猴妈妈分蛋糕给3个小猴吃，但3个小猴很不满意，你觉得猴妈妈可能是怎么分的？

教学中引导学生多角度、多方位、多层次地理解与思考，使学生不被表面的非本质属性迷惑，从而加深对知识的理解。

总之，学生的理解力提高在于学生在自然而有力的知识生长、思维提升的过程中体现。这需要教师能贯通知识体系，深入数学本质的教学，努力让学生的思维沉下来，提高对课程资源认识的广度和深度，以达到对数学的高水平理解。

（过晓伟，无锡市云林实验小学，214000）

责任编辑：赵赟endprint