《一元二次方程》教学实录与评析

邓伟光 沈惠娟

一、创设情境，引入概念

（一）问题情境1

为了响应建设“美丽南宁、美丽校园”的号召，学校决定修建一个花圃，数学活动小组来到操场进行实地测量。教师用微视频展示数学活动小组提出的问题：在一块长30米、宽20米的矩形草地上，沿着长边修一条路，剩余的种花。如果种花的面积达到450平方米，那么这条路应该修多宽呢？

师：这个问题用方程怎么解决？

生：假设所修的路宽为x米，根据题意找等量关系列出方程30（20-x）=450.

师：用方程解实际问题的一般步骤是什么？

生：审、设、列、解、验、答。

师：同学们列出的这个方程是我们学过的方程吗？这样的方程有什么特征？

生：是一元一次方程，只含有一个未知数、未知数最高次数是1的整式方程。

【评析】教师运用微视频展示学生身边的数学问题，显得特别亲切自然。学生已经学习了一元一次方程及相关概念，执教老师设置问题1的目的是为了复习巩固一元一次方程，为本课新知的学习做好铺垫。

（二）问题情境2

问题1变式

微视频出示问题：在一块长30米、宽20米的矩形草地上，沿着长边和短边各修一条路，路宽相等，剩余的种花。如果种花的面积为450平方米，这条路应该修多宽呢？

学生独立思考列出方程。

师：哪位同学说一说你得到怎样的方程？你是如何得到这样的方程？

生1：假设所修的路宽为x米，因为剩余面积是矩形面积，所以利用矩形的面积公式就可以得出方程（30-x）（20-x）=450。

师：还有哪位同学有不同的方法吗？

生2：种花的矩形面积也可以等于原矩形的面积减去两条路的面积，如600-（30-x）x-20x=450.

（两位学生补充得到的方程为：600-30x-（20-x）x=450或450+30x+20x-x2=600）

师：同学们观察图形很仔细，能从不同角度入手得出方程，一题多解，发散思维，表现不错！学习数学就需要这种钻研精神。

【评析】教师的适时鼓励增强了学生学习的信心，促使他们积极主动地参与到教学活动中。

师：同学们根据等量关系，直接或间接地列出不同的方程，那么大家能将方程化简吗？

生：化简后的方程是x2-50x+150=0.

师：这是我们学过的方程吗？这个方程与一元一次方程最显著的区别在哪里？

生：不是，因为字母的最高次项的次数为2次。

师：为什么会产生二次项？

生：因为有两个一次项相乘。

【评析】通过图形的变化，由一元一次方程解决相关的实际问题到引导学生得出新的一元二次方程，学生体会到未知数相乘导致方程的次数升高，继而产生一元二次方程。教师巧妙的设计，让学生初步感知方程中二次项的出现。

二、拓宽情境，形成概念

（一）生活中的数学问题1

在设计人体雕像时（见右图），使雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感。按此比例，如果雕像高2米，那么它的下部应设计为多高？

学生独立思考，找出题目中的等量关系，建立方程。

师：该题目的等量关系是什么？

生：上部∶下部=下部∶全部。

教师引导学生将比例式变形为等积式，即（下部）2=

上部×全部。

生：设下部长为x米，则x2=2（x-2）.

教师引导学生将方程化简为：x2-2x+4=0.

【评析】教师再次展示生活中的数学问题，让学生体会一元二次方程应用的广泛性，同时达到形成概念的目的。

（二）生活中的数学问题2

学校要组织一次篮球比赛，采用单循环比赛形式（每两队都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个球队参赛？

学生独立思考，遇到困难与同桌进行讨论，最后学生代表分析并展示结果。

师：哪个同学乐意同大家分享你的成果？

生：比赛共计打4×7=28场。设有x个球队参赛，因为每个球队要与（x-1）个球队比赛一场，所以全部比赛场次是x（x-1），即x（x-1）=28.

师：这位同学答题积极主动，值得表扬！不过，请你再仔细读题，题目中的赛制是怎样规定的？

生：是单循环比赛。

师：既然是单循环比赛，那么就意味着每两队只要比赛一场即可。请你再认真思考，你所列的方程哪里需要修改呢？

生：（恍然大悟）还要乘以，所列方程应该是x（x-1）=28.

师：真不错，反应很快！我们在审题时一定要注意关键字词，避免出现错误。

教师继续引导学生将问题的解题思路进行准确的阐述，最后方程化简为：x2-x-56=0.

【评析】学生在解题过程中经常会出现这样或那样的错误，教师要善于发现学生在解题过程中出现的错误，适时引导、订正，变“废”为“宝”，让学生在纠错中提升反思能力。

师：请同学们观察前面列出的三个方程x2-50x+150=0、x2-2x+4=0、x2-x-56=0，看看它们有什么共同特征？

生：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2。

师：这类方程和我们学过的哪种方程类似？

生：一元一次方程。

师：这类方程与一元一次方程有什么区别呢？

生：未知数最高次数不同，这类方程未知数最高次数是2次。

师：你能类比一元一次方程，给这类方程取个名字吗？

生：一元二次方程。

教师引导学生归纳得出：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的方程叫做一元二次方程。

【评析】这样的设计让学生更深入地了解一元二次方程模型存在的实际背景及必要性。在解决问题的难点在于数量关系的建立。在出示题目后，教师引导学生通过分析找出题目中的已知量、未知量，通过确定等量关系突破学习难点。每一个方程出现后，学生通过化简并关注方程有几个未知数和最高次数，类比一元一次方程，形成一元二次方程的概念，提高了分析问题和解决问题的能力。

三、合作探索，明确概念

（一）明确一元二次方程概念本质

师：下列方程中，哪些是关于x的一元二次方程？

①-5x2=0 ②x2-x=x ③2x2-=1

④3x3-x=0 ⑤x2+xy-3=0

生：①②是一元二次方程。

师：判断一个方程是一元二次方程的依据是什么？

生：一元二次方程定义中的三个条件缺一不可。

【评析】教师从正反两个方面强化对概念的理解，帮助学生将已有的方程梳理成比较清晰的知识体系，有利于学生明确一元二次方程定义中的三个条件：一是整式方程；二是含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2，且三个条件缺一不可。

（二）明确一元二次方程的符号表达

1.符号表达

师：前面我们学习了一元一次方程，你还记得它的符号表示吗？

生：ax+b=0（a≠0）.

师：你能类比一元一次方程写出一元二次方程的符号表示吗？

生：ax2+bx+c=0.

师：还有谁要补充吗？

生：a≠0.

师：为什么a≠0.

生：若a=0，方程就变为bx+c=0（b≠0），这是一元一次方程。

师：那么b、c取值呢？

生：任意实数。

师生共同归纳得出：把ax2+bx+c=0（a≠0）叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

【评析】教师通过一元一次方程的一般形式引导学生类比得出一元二次方程的一般形式、项和系数，有助于学生理解和掌握一元二次方程的符号表达。

2.例题讲解

教师引导学生将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一般式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。

生：一般形式为3x2-8x-10=0，其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10.

师：在将方程化为一般形式的过程中，你有什么体会要和同学们分享？

生：像这样带有括号的比较复杂的方程，在化简过程中要注意移项、去括号等问题。

教师板演过程，规范格式。

【评析】学生的学习过程也是一个模仿和再创造的过程，教师将答题的详细步骤正确地示范给学生，这比口头说教要有效得多。学生在这个过程中，学会了把一个一元二次方程化为一般形式，还会正确地判断一元二次方程的项与系数。

3.巩固练习

将下列方程写成一般式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。

①5x2-1=4x ②4x2=81 ③（x-1）（x-2）=2

【评析】题①是一般的一元二次方程，题②的一次项系数为0，题③的常数项为0。后两题均为特殊的方程。教师这样设置，有利于学生及时巩固二次项系数、一次项系数和常数项，明晰一般式中a≠0，b、c为任意实数，让学生的理解更为深刻。

（三）明确方程的解

师：本课的前面教学环节，我们通过探寻实际问题中的等量关系列方程，得出了三个方程，且三个方程均为一元二次方程；继而我们学习了一元二次方程的定义和一般形式。关于一元二次方程，你还想学习哪些内容？

生：还想学习方程的解以及如何求解方程。

师：什么是方程的解？什么是一元一次方程的解？请同学们类比说一说，什么是一元二次方程的解？

生：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。

师：一元二次方程的解又叫做一元二次方程的根。

教师引导学生归纳得出：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。

师：判断下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3.

生：-4和3是方程的根，将这两个数字分别带入方程，方程左右两边均相等。

【评析】教师引导学生自主探索，多种途径寻求方程的解，在此基础上让学生进行归纳总结。

四、归纳总结，反思提升

引导学生从知识、方法、心得体会等方面对本课学习进行总结。

（一）将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化的思想方法。

（二）一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项，一元二次方程根的概念，归纳所学过的整式方程。

（三）一元二次方程的意义与一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）的区别和联系，强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义。

【评析】这样的小结，是对“学”的总结，“思”的深化，“法”的提升，可帮助学生有效地建构知识，提高总结和反思能力，进而促进学生的自主发展。

五、布置作业，分层落实

（一）必做题。教材P4，习题1、2、4、5、6.

（二）选做题。求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程。

（三）思考题：如右图所示，在一块长22米、宽17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，草坪面积为300平方米。若设道路宽为x米，根据题意可列出方程为 .

【评析】分层作业的设置，体现了作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要。选做题为概念变式应用题，目的是拓展学生的思维；思考题的设置，则为下节课的学习埋下了伏笔。

【总评】

本节课是研究一元二次方程的教学导入课，授课教师在认真研读课标、深入分析教材、了解学情后，精心处理教材，对本课的教学内容、目标设置、问题诊断、教法学法等分析到位，设置的教学目标全面、具体、适宜，充分考虑到了学生的认知水平。邓老师的课堂教学能力强，思路清晰，引导到位；学生积极主动，全员参与，能力获得了提高，真正体现了学生的主体地位和教师的主导地位。笔者认为，本节课是一节成功的课，其教学亮点主要体现在以下几个方面。

第一，情境设计新颖，真正做到了有备而议。学生在学习本课之前，经历了一元一次方程的学习，为“通过类比方法探究一元二次方程的概念”奠定了认知基础。由此，邓老师将本班数学学习小组提出的问题制作成微视频，既复习巩固了一元一次方程的概念，又引导学生得出新方程，通过比较两个方程，激发了学生的求知欲望，进而顺利地进入新课的学习。

第二，利用丰富的实例，帮助学生完成定义的归纳。概念的教学需要从大量的实例出发，通过实例帮助学生完成定义的归纳，而不是教定义。执教老师通过图形问题、球赛问题，以启发式、类比法指导学生通过自主探索与合作交流的学习过程，教会学生善于观察、分析讨论、类比归纳，从具体的问题情境中抽象出数学问题，建立数学方程，从而突破学习难点。同时，在各个教学环节安排方面，执教老师设置问题层层递进，分析到位，化难为易，使学生很好地理解了一元二次方程概念本质、符号表达，还特别注重数学思想和数学方法的渗透，强调建模思想、类比思想和符号感，对问题的阐述准确，教学语言严谨、流畅，板书设计合理，同时也关注学生在解题过程中的情绪与状态，课堂氛围和谐，让不同的学生都有所收获，得到了不同的发展，很好地完成了本课的教学任务。

第三，构建完整的知识体系。本节课为本章的起始课，因此，执教老师结合本章引言，让学生对本章的学习内容、方法和结构都有一种预见性的认识，有利于学生在此前学习的基础上再次深化理解方程类问题的模型，实际问题（建模）→方程（解模）实际问题的数学探究过程，由此也说明了教师对教材内容、课程思想有着深刻而充分地理解。

此外，笔者认为本课也还有一些需要改进的地方，比如：教师在课中应当更注重细节，注重学生反思能力的培养，学生在答题中出现的问题，应尽可能地让学生去发现并纠正；教学第二环节中的球赛问题，如果能够进一步变式为学生间赠送卡片问题，那么问题情境会更有效。

（注：本课在第九届全国初中青年数学教师优秀课展示活动中荣获一等奖。）

（责编 欧孔群）