研究课本例题编写意图，提升课堂教学水平

施莉莉

摘 要：数学例题是连接数学理论与数学实践的桥梁，学生通过例题来建构数学知识、感受数学应用，因此课本的例题在编写时具有示范性、承启性、探究性和发展性，教师在课堂教学时，要能够恰当地挖掘出这些例题的编写意图，讲全、讲深、讲透，提高课堂教学效率.

关键词：例题；编写意图；课堂教学；苏教版教材

例题是“用来说明某一定律或定理，或在运用某一学科或学科分支的定律时充当练习的题.” 可见，例题是教科书概念、命题和定理与习题之间的桥梁与纽带，例题教学的成功与失败直接关系到学生对数学知识的建构、对解题方法的掌握. 因此，我们数学教师在备课时研究揣摩教科书例题的编写意图，全面领会编写者的理念，这样才能在课堂教学时，把例题讲全、讲深、讲透，全面发挥例题的功能，提高教学效益.

巩固型例题，要发挥解题的示范性

课本上例题的最主要功能是巩固本节所学的数学理论知识和方法，例题的编写不是随意的，编者在选择时经历了反复的推敲，因此有着极强的示范性和典型性. 教师在教学中，要注意发挥典型例题示范性，做到易题详讲、小题大讲，这样做的目的一是教师思维模式示范，二是解题格式的示范，三是解题反思与优化的示范.

案例1 （必修4，1.2.3 三角函数诱导公式，例4）

首先，应向学生示范分析问题的过程，这个分析的过程正好是教师思维的过程.老师拿到题是怎么想的？肯定是先观察，发现75°+α和15°-α之和是90°特殊角，这样正好可以利用“诱导公式五”，把所求的cos（15°-α）转化成sin（75°+α）解决.

其次，向学生示范解题的过程，由于学生对角的取值范围易忽视，因此教师要特别注意，对角取值范围的书写，教师省略一个步骤，学生就可能省去数个步骤.

由-180°<α<-90°，得-105°<75°+α<-15°，则sin（75°+α）<0.又cos（75°+α）=，所以cos（15°-α）=cos[90°-（75°+α）]=sin（75°+α）=-= -=-.

再次，向学生展示解题后，如何反思与优化解题过程，这是提高解题水平的关键一环. 本题的解决依赖于观察，看到所求三角函数值的角与已知三角函数值的角之和为90°，如果观察不出来怎么办？抑或更为复杂的关系怎么解决？这里要提炼，要向学生讲述反思的过程. 观察的实质是把“75°+α”看成整体，看成整体是换元的思想，因此可以设75°+α=β，即α=β-75°，所求的三角函数的角15°-α=15°-（β-75°）=90°-β，于是原题就转化成已知cosβ，求cos（90°-β），应该说，换元法更具备一般性.

通过这样的“三个示范”，学生不仅巩固了新学的诱导公式，而且学会了思考、学会了表达，也掌握了解决这类问题的一般方法. 真正体现减少训练、提高效率的作用. 这个案例也告诉我们，每讲一道例题都应当问一问为什么要讲它？它“范”在哪里？“例”在何方？学生从中能够学到什么？

承启型例题，要展现知识的系统性

由于数学知识是一个有机的整体，后续的知识往往是前面知识的延续的发展，因此课本上的例题有时还起到“承上启下”的作用，它既是已经学习知识的应用，也是将来学习知识的缘起，因此教师在教学时要能够洞察到这类例题的作用，这样不仅可以使课堂教学顺利过渡，也可以强化学生对知识系统性的认识，建立起完整的知识结构，而不是一堆离散的知识点.

案例2 （必修1，2.1.1 函数的概念和图象，例5）

在第2.1.1开头的问题第一个问题中，如果把人口数y（百万）看作是年份x的函数，试根据下表，画出这个函数的图象.

经过仔细研究发现，这个例题编写的目的至少有三个：第一它是本节开头的背景问题，是引入函数概念的主要问题之一，让学生体会函数两个量之间的对应关系，在后面第3.4.2节函数模型及其应用学习中还将深入讨论；第二该问题在第2.1.2节中，用来说明列表法也能表示函数，并且函数图象可以是离散的点，这与以前学生所见的大多数函数图象稍有不同，这有助于更新学生的认识观念；第三，这个问题，还为接下来函数单调性的学习做好铺垫.

由此可见，一个普通的例题，不仅是概念背景问题的延续，也是继续学习的基础，贯穿了函数的概念、函数的图象、函数的表示和函数的应用. 如果教师在教学中把该例题跳过了，势必造成教学上的不连续，甚至学生对知识连续性的认识不到位. 这样的案例在教材中还有很多，再如第1.2节的例2：

下列各组的3个集合中，哪两个集合之间具有包含关系？

粗看可能平淡无奇，有的老师可能认为不够好，另选其他例题，事实上本例的每一组3个集合中，A，B这两个集合没有公共元素，且它们的元素合在一起，恰好是集合S的全部元素，这个思考为学生感受和理解补集、全集的概念奠定基础，也为从集合运算的角度理解补集做铺垫.

像这样的例题的编写意图，需要教师仔细揣摩才能发现，这需要教师加以研究，尽可能地发挥集体的智慧，在集体讨论的基础上相互启发，才能集思广益，发现编者用意.

结论型例题，要展示问题的探究性

课本上还有很多例题本身就是一个常用的结论，甚至在以前老版本的教科书中是作为定理或者公式给出的，在新课标教材中，只是为了降低学习的难度和减轻学生的负担才淡化成例题的.如定比分点公式（见必修4，平面向量坐标运算例4）在老的人教版教材中是作为公式出现的，现在苏教版中就作为一个例题. 对于这样的问题，尽管结论本身，不能够在解题中直接使用，但是教师也要能够像其他概念、公式、定理一样，舍得花时间，让学生进行探究，弄清来龙去脉.

结论中当λ∈R且λ≠-1时，=是线段定比分点的向量公式，若改写成=+，就是A，B，C三点共线的条件.

这里可以让学生分三个层次进行探究活动：

（1）证明方法的探究：即如何从=λ向结论进发？

（2）逆命题的探究：一般地，若存在两个实数s，t，且s+t=1，使得=s+t，则A，B，C三点共线.

（3）点C位于线段AB上与位于线段AB延长线上或线段BA延长线上，λ的取值有何不同？

（4）本例题在题干的表述上是有瑕疵的，请指出.

值得一提的是本例题的教育价值除了证明过程能够巩固加强“向量共线定理”、结论能够为学生的探究性学习提供素材外，还有以下的价值：

（1）直线AB上任一点C都能够用OA，OB来表示，有助于提出问题：“是否平面上任一点C都能用OA，OB来表示”，这为下一节平面向量基本定理学习激发学习动机；

（2）为下面“平面向量的坐标运算”中定比分点公式和中点公式推导打下基础；

（3）可以类比到选修2-1中“三个向量共面”的充要条件.

结论性例题的一个教学误区是让学生死记结论，对于学生来说，他们要记忆的材料太多了，因此单纯的记忆是行不通的，即使记住了，也不会应用. 这类例题是开展探究性教学的最佳材料，通过探究，学生掌握了结论的来龙去脉，不仅知道它是怎么产生的，也知道应用到何处去.

方法型例题，要重视思维的发展性

课本中的例题，除了知识性问题，还有方法性的问题.这类例题为师生提供了通解通法，展现了一般解决问题的思路，教师在教学时，要能够通过这样的问题让学生学会数学的思考，程序化解决问题，培养学生理性思维能力.

本例题虽然是非常基础的问题，但是这两种解法，实际上是从两个不同的角度解决了求切线方程的问题. 方法1是几何法，利用了“直线与圆相切”等价于“圆心到直线距离等于半径”这一特征，方法2是代数法，主要是从直线方程与圆的方程联立后有两相等根这一性质. 很多师生对课本第二种解法不够重视，认为计算量大，过程烦琐，就一跳而过，这是错误的. 尽管方法2计算烦琐，但教学中更需要重视，因为解法2更具有一般性，为后面学习直线和其他曲线位置关系奠定基础. 因此教师在方法类例题的讲解中，应体现从具体到抽象，从特殊到一般的思维过程，以及归纳、总结的一般方法，这样更加有利于学生思维的发展.

除了上面所述的类型例题外，还有应用型的例题，教学中应展现其科学性和人文性，让学生体会到数学的科学价值和人文价值. 有的例题，还要综合发挥其作用，如上面提到的案例3，除了展现其探究性，也要让学生认识到知识的连续性与综合性. 所以有人说“教师与其糊里糊涂地讲一百例题，还不如清清楚楚地讲清一道题”就是这个道理.