因式分解中的整体思想

□左加亭

因式分解中的整体思想

□左加亭

整体思想是重要的数学思想之一，在因式分解中，从整体思想出发，不仅能使问题的解决化繁为简，而且对提高解题能力是大有裨益的.现将几种常见的整体处理方法介绍如下：

一、整体提取公因式

例1分解因式（2-3 x）2＋3 x-2.

分析：因为（2-3 x）2＝（3 x-2）2，把（3 x-2）作为整体，后两项3 x-2添上带正号的括号，得＋（3 x-2），从而可以发现整体公因式（3 x-2）.

解：原式＝（3 x-2）2＋（3 x-2）

＝（3 x-2）（3 x-2-2）

＝（3 x-2）（3 x-4）.

点评：如果没有整体意识，本题的解法则需要先计算，这将破坏现成的公因式（3x-2）而使接下去的分解有小小的难度.

二、整体运用公式法

例2分解因式（2 x-3）2＋4（3-2 x）＋4.

分析：把（2 x-3）作为整体，多项式变形为（2 x-3）2-4（2 x-3）＋4可以发现能用完全平方公式分解.

解：原式＝（2 x-3）2-4（2 x-3）＋4

＝[（2 x-3）-2]2

＝（2 x-5）2.

点评：初步分解后，要对因式进行同类项的合并处理.

三、整体变形用公式

例3分解因式（x2-2 x-1）（x2-2 x＋1）-3.

分析：把x2-2 x作为整体，原式变形为（x2-2 x）2-4，至此可以发现能用平方差公式分解.

解：原式＝[（x2-2 x）-1][（x2-2x）＋1]-3

＝（x2-2 x）2-1-3

＝（x2-2 x）2-4

＝（x2-2 x＋2）（x2-2 x-2）.

点评：如果不是把x2-2 x作为整体，而是先计算，则分解将难以进行下去.

四、构造整体再分解

例4分解因式（x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋4）＋1.

分析：把第一个因式（x＋1）与第四个（x＋4）相乘，第二个（x＋2）与第三个（x＋3）相乘，所得的积将出现相同的二次项和一次项，即都含有x2＋5 x，再把x2＋5 x作为整体进一步变形.

解：原式＝[（x＋1）（x＋4）] [（x＋2）（x＋3）]＋1

＝[（x2＋5x）＋4][（x2＋5 x）＋6]＋1

＝（x2＋5 x）2＋10（x2＋5 x）＋25

＝（x2＋5 x＋5）2.

点评：根据题目特征构造整体，是对整体思想的进一步理解与运用，是一种较高层次的思维活动.