数形结合方法在高中数学中的应用

张绍平

摘 要：数形结合，顾名思义就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合。“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势，只有以简洁的数学描述 、形式化的数学模型表达“形”的特性。

关键词：高中数学；数形结合；数学素养；应用策略；数学应用

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）06-195-01

著名的数学家华罗庚说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。” 数形结合方法作为一种重要的数学思想和教学原则贯穿于整个高中数学学习的始终，在高中数学的学习过程中，新教材中的内容能很好地培养和发展学生的数形结合思想。

一、在高中数学教学中应用数形结合方法的重要性

有利于推动数学不断向前发展在数学不断发展的过程中，由于人们对于“形”的运算的增加，导致“数”的合理产生。所以我们在利用数学知识去解决实际的问题的时候，需要我们不断转化数量关系利用“数”的帮助作用，从而得到想要的数学答案。以分数为例，在古代的时候人们会在绳子的中间系上一个结扣，即表示是一般的意思。“形”可以把数更好地表现出来，同时数也需要形来进行记忆。只有熟练掌握了比较科学的数学思想，才能够把数与形很好地结合起来，从而正确推理数量之间的关系，实现数形结合。例如，在高中数学函数知识学习过程中，就可以利用数形结合的方法。首先，教师把函数关系式中的数学关系绘制出来，并且引导学生学习。可以说，数形结合方法的应用，在一定程度上有效推动了数学向前发展。

二、数形结合方法在高中数学教学中的应用

1、等价性。等价性原则是指形的直观几何意义应该与“数”的抽象代数意义是可以相互转化的等价量，即问题的几何表示与代数数量关系应具有一致性。用图形解题有着重大的局限，不同的人对题目的理解不尽相同，所以所构造的图形就会受到自己理解的影响而出现和实际问题之间的误差。因此不可避免的会出现解题失误。如果加以代数思想来精确的构造图形，就可以避免这种情况的出现。

2、双向性。双向性原则是指数形集合的方法既对问题的代数性质做研究，又对直观几何图形进行分析，代数运算可以让数在图的基础上形成有信服度的结果，且这个结果比单纯几何构图更具有优越性，相反，几何图形的表示形式更直观，这就充分地体现了数形集合方法的和谐之处。

3、简洁性。简洁性原则是指数转换为图形的同时，一定要使所构造的图形简单且充分符合题意，这样既能通过简单明了的图形直观地分析出问题主旨，又因为所构图形的简单，可以充分避免繁琐的运算过程，大大缩短解题时间，同时也可使复杂的问题变的简单化。符合数学解题简洁美的根本要求，也体现了数学解决实际问题的艺术性与创新性。

三、数形互换，使数学问题的求解更为灵活

在数学领域数与形是一种既对立又统一的关系，并且相互之间可以灵活转换，从而更为直接的表现出相关题目中的数量关系，解决数学学习中遇到的各种问题。任何一个阶段、任何一个学科的学习在本质上都是为了能够顺利解决生活中的问题，数学教学也是如此，教师通过教学引导促使学生在学习过程中掌握一定的解题思路，能够进一步强化学生解决问题的能力。但是应该注意到，学生个体存在一定的差异性，普遍认为相对简单的解题思想并不意味着能够适用于所有的学生。而数形互换思想则能够很好的兼顾学生在数学学习方面的差异性，进而促使学生在学习过程中灵活的选择适用于自身的解题方法，提升解题效率。如在一部分探求值域、最值的函数问题中，就能够合理运用数形互换思想，使学生依据自身数学素养迅速的得出准确答案，在强化学生解题能力的同时，提升学生对于数学学习的信心，为其未来发展奠定基础。

四、数形结合方法在教学中应用的策略

以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。这就要求具备有将数量关系转化成图形和将图形转化成数量关系这两个方面的融会贯通，能熟练使用。要求图形和数量关系之间相互转换要熟练，从题目所给的数量关系可以画出图形，又在所画出的图形中找到新的数量关系，这就是解题的关键。应用数形结合解题时要注意转化前后的等价性，将复杂的问题转化成简单、熟知的数学问题，转化前后的问题应是等价的；有些问题所对应的图形不唯一，要根据不同的情况画 出相应的图形后，再进行讨论求解。

要真正掌握数形结合思想，必须有扎实的基础知识和熟练的解题技巧，如果只理解了几个典型习题，就认为完全掌握了数形结合这一思想方法，是错误的。所以要认真上好每一 堂课，深入学习新教材的系统知识，掌握各种函数的图象特点，理解各种几何图形的性质，多做练习，根据问题的具体情况，注意改变观察和理解问题的角度，抓住问题的本质。

五、以数助形提升解题效率

在数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透，数形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题或把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的解题方法。

在高中数学教学中有一些问题，尤其是解析几何中，根据图像反映出的数量关系，将所要求解的问题转化为具体的公式，并通过使用公式简化解题步骤，能够提升解题效率。运用数形结合的思想，就是将抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，通过图形的认识和数形的转化，使问题化抽象为具体，最终使问题获解。

综上所述，数形结合解题思想在我国高中阶段的数学教育中占据着十分重要的位置。通过应用数形结合思想，教师在讲解过程中能够将相对抽象乏味的数学知识变得直观生动，进而调动学生参与数学学习的积极性，使学生在学习过程中逐渐养成探究多种解题思路的习惯，显著提升数学学习效果，为学生未来发展奠定坚实的基础。

参考文献：

[1] 胡顺添.浅谈高中数学教学中“数形结合”思想的应用[J].数学学习与研究（教研版）；2009年09期

[2] 鲁 浩.让数形结合也成为一种数学学习习惯[J].教育科学论坛；2008年02期