从“马饮水”问题引发的中考关于图形对称变换问题的思考

【摘要】从七年级、八年级数学课本当中的练习题出发，引出两道中考题，剖析牵涉到的知识点，寻找解题关键，将中考题回归教材，分析题意，寻找基本图形，回忆课本上关于这一部分知识是如何讲解的，观察这个图与基本图形之间的异同点，以教材为理论依据，将问题逐次展开，一层层解决。

【关键词】对称 展开 最短

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）02-0119-01

人教版八年级上册《轴对称》中的一道题：如图1，A为马厩，B为帐篷，木马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

我们用轴对称的知识将这一天所走的最短路线这一组折线转化为一条线段，画出图形，根据两点之间线段最短这一定理来求解，并通过反证法来证明。以这道题为基础，可以将问题背景布置为我们所学过的各种几何图形，例如2014四川凉山州中考卷26题：如图2，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁从外壁A处到达内壁C处的最短距离。

当所讨论的图形是对称图形时，一切居于对称位置的元素都是可证相等的，一切居于对称位置的三角形或其他多边形都是可证全等的，若所讨论图形不是完备的对称图形，但存在对称因素时，添加辅助性的思考是“从对称的观点补所缺的部分”。本题以圆柱为背景，似乎与轴对称没有丝毫关联，但因为设置了从杯外壁到杯内壁之间的路径问题，蚂蚁要从杯外到内必须经过杯子的上沿，杯上沿就可以作为对称轴，先将杯壁展开成一矩形，再将内、外壁看成是两个重合的矩形，将内壁向上翻折成一个平面。如图3，将圆柱侧面展开成矩形EFGH，使得蚂蚁A在矩形的边EF上，则蜂蜜C在EH、FG中点的连线上，将点A沿着杯上沿EH翻折得到A，则AC的长度就是蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离。

由此，又想到七年级《相交线与平行线》一章中的造桥选址问题：如图4，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。对于这道题的分析，运用的是平移的方法，利用桥的长度不变，假设可以先过桥，那么桥两岸的小路就可以连成一条路，转化为两点之间线段最短问题来解决。

以此为理论依据，2013年天津市中考第25题：在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA.将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′，当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标。

当拿到一道综合题，不急于动手去解，先想象，弄懂它所描绘的情景，这是“合理、科学的思考”的核心，是其最重要的组成部分，本题第一感觉这是典型的“马饮水”问题，但是与传统的轴对称问题又有所不同，传统问题中，在直线的同侧有两个定点，要在直线上找一个点，使得两定点到这个点的距离之和最小，而本题直线上有一定点，线外有两个动点，但动点A′E′的相对位置不变，如图5，要找到某个位置使得A′B+BE′最小，注意到A′A与E E′始终相等，因此，可以通过构造全等三角形将BE′变换到能与A′B组成一条折线的位置，利用两点之间线段最短解题。过点A作AB′⊥AO，并截取AB′=BE，连接A′B′，则△A A′B′≌△EE′B，从而A′B′=BE′，则A′B+BE′= A′B+ A′B′，当B、A′、B′三点共线时，A′B+ A′B′最短，通过EE′=A A′，可得到点E′的坐标。

图形的对称变换问题在近年中考有大量的应用，遇到这类题时，通过分析题意，寻找基本图形，回忆课本上关于这一部分知识如何讲解，观察这个图与基本图形之间的异同点，以教材为理论依据，将问题逐次展开，一层层解决。

参考文献：

[1]《数学七年级上册》，北京：人民教育出版社，2004，04.

[2]《数学八年级上册》，北京：人民教育出版社，2013，03.

作者简介：

张丽华（1978.11-），女，汉族，福建三明人，本科，中学二级。