利用波利亚解题思想提高数学教学有效性研究

摘 要：论述引入波利亚解题思想的重要性、波利亚的“怎样解题”表及其认识。使用波利亚解题思想作为数学解题教学实践的理论武器，在课堂中向学生渗透波利亚的“怎样解题”表的思想精髓，努力向学生介绍探索问题的一般方法，指导学生解题，培养学生的探究能力，同时也把解题教学的有效性落到实处。

关键词：数学教学；波利亚解题思想；解题表；启发法；教学有效性

中图分类号：G424；G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2016）04-0068-02

一、前言

对于学校数学，问题和问题的解决是数学活动的核心。波利亚认为，“加强解题训练是中学数学的首要任务”。而解题教学不能单单凭借教师的经验总结，必须有解题理论的指导。关于解题理论的研究，当首推波利亚的数学启发法。人们公认，波利亚解题思想是解决问题的一面旗帜，我国数学家徐利治教授在上世纪80年代初，就大力倡导要按照波利亚数学思想改革中学数学教材和教学方法。波利亚解题思想主要体现在“怎样解题”表和“合情推理”之中。本文是在波利亚解题思想理论的指导下进行实践、认识、再实践、再认识后的理论认识，同时也尝试探索提高数学解题教学有效性的具体方法。

二、引入波利亚解题思想的重要性

不管大纲怎么改、教材怎么变，“题海战术”总是涛声依旧。新教材未进校门，应试资料已缤纷上市，生意火红。“题海”难以避免，所以，我们要研究“题海”中游泳的策略。波利亚的解题思想被人们公认为“指导学生在题海中游泳”的“行动纲领”。笔者认为，指导学生在题海中畅游，必须在平时的解题教学中落实波利亚解题思想，唯此，解题教学有效性才可落到实处。

波利亚（George Polya，1887-1985）是美籍匈牙利杰出的数学家和伟大的数学教育家。波利亚一生的数学教育论著共约三百部，复兴了“探索法”，开创了数学问题求解和合情推理的新时代。波利亚的论著已影响了全世界数以百万计的数学教育工作者，波利亚的解题思想集中反映在他的《怎样解题》《数学与合情推理》及《数学的发现》等著作里。其中影响最大的是《怎样解题》，至今已被译成约二十种文字，发行数百万册。另外，波利亚在《数学与猜想》中还给出了其他一些启发性的方法或模式，主要有合情推理模式，包括归纳、类比、溯因推理，一般化、特殊化方法等。

数学既是一门系统的演绎科学，又是一门实验性的归纳科学，特别是创造过程中的数学更像是归纳科学。波利亚指出，通过研究解题方法，我们可以看到发现过程中的数学。早在青年时代，波利亚由于不满足于教师那照本宣科式的讲述，波利亚就开始探索数学及其他学科中的发明创造问题。他阅读了大量数学家、科学家的著作和手稿，努力寻找隐藏在数学真理背后的生动的创造过程。在执教后，他作为一个教师，对学生的思维过程认真观察研究，并在总结自己多年的数学教学和研究的实践经验基础上，终于制定了“现代启发法”纲领——“怎样解题”表。波利亚把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种重要手段。国内外很多数学著作和习题集多数侧重于解决个别类型的问题，却很少涉及解题的一般方法。然而，“学生熟悉了解答个别类型问题的特殊方法之后，有可能只限于掌握一种千篇一律的死板方法而并不具备独立解决新问题的本领。”波利亚的《怎样解题》，给出了求解数学问题的一般方法，有利于提高数学教学效率，提高学生的数学思维能力，在数学教学中具有重要的现实意义。

三、波利亚的“怎样解题”表及其认识

波利亚的“怎样解题”表的核心是不断变换问题，以诱发灵感。“表”中包含四部分内容：弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾反思。波利亚还是当代合情推理之父，他提倡“让我们教猜想”，他指出数学猜想一般都是通过合情推理而提出来的。数学在教演绎的同时，必须有教猜想的地位。波利亚的启发法理论出自波利亚的《怎样解题》《数学的发现》《数学与猜想》。其中，《怎样解题》表比较适合中学数学教学中的解题教学的启发与引导。“表”中包含以下四部分的内容。

1. 弄清问题

第一，解题之前，必须弄清问题。未知数是什么？已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

画张图。引入适当的符号。

把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？

第二，找出已知数与求知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。

你应该最终得出一个求解的计划。

2. 拟订计划

你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？

你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？

看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗？

你能不能利用它？你能利用它的结果吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？

你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？

回到定义去。

如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？

你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？

3. 实行计划

实现你的求解计划，检验每一步骤。

你能否清楚地看出这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？

验算所得到的解。

4. 回顾反思

你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否一下子看出它来？

你能不能把这结果或方法用于其他的问题？

波利亚按照人们解题的思维过程给出了各系列公式化了的指导意见，提问的方法十分灵活，或建议，或使用引导性问题，合乎人们的认识过程和心理现象。从教育心理学的角度来看，这张表十分可取。这张表具有普遍性，既适用于中学数学学困生，又适用于数学中等生、高才生。在平时解题教学中，教师应该经常向学生提出表中的问题和建议，并要求学生们也记住其中的问话，时刻提示自己，引导学生在“题海”里畅游，解题教学也就变得十分有效。所以说，教师若能在平时的解题教学中不断地向学生提出表中的问题和建议，让学生形成解题的一般性的思维习惯，既可以帮助学生解决眼前实在的问题，还能培养学生未来独自分析问题、解决问题的能力。“怎样解题表”的中心思想就是解题过程中如何不断变更问题，诱发灵感。当你用表中的问题和建议启发学生的时候，你手中的问题就不断得到变更和转化，从而变难为易，变陌生为熟悉，变繁为简了。

在日常的解题教学过程中，往往把解题划分为四个程序，即审题、探索、表述和回顾。在每个程序中都反复提示学生“解题表”的提问的语句，时间久了，学生也就会自觉不自觉地问自己那些问题和建议。教学实践中，笔者围绕“转化、变更问题”这一思想精髓，努力向学生介绍一些探索问题的一般方法，以指导学生解题。

比如，把眼前问题与过去熟悉的某个问题挂起钩来。

例如：解不等式<3-logax. 当学生对题目愁眉不展时，可适时向学生提出一系列“波利亚的问题和建议”。“如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个熟悉的问题？”经过这样的引导后，学生也许会想到曾学过的无理不等式<3-x，这是一个熟悉的已经解决的问题。“你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它，你是否应该引入某些辅助元素？”经过这么引导，学生会令t=logax，再将原来问题的求解转化为对<3-x这个问题的求解。而<3-x这个问题已经解决，则原问题也随之解决。

再如，盯住目标，寻求答案，目标是指导航行的“灯塔”。

例如：已知点P（x，y）在直线x+2y=5上运动，求3x+9y的最小值。分析：已知点P（x，y）在直线x+2y=5上，求3x+9y=3x+32y的最小值。把目光集中在目标上，盯住目标，寻找已知、未知的联系，想到把分散在指数上的x，2y集中起来，设法出现3x+2y或与此类似的形式。适时向学生提出“你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？”学生不难想到3x+32y≥=2·3，这样，根据条件，问题就解决了。

另外，审清题意，搞清楚问题的已知和所求；设法转化问题，改变叙述方式；分解组合，把原问题化为一系列子问题，通过子问题的逐个解决，原问题也随即解决；尝试变更问题的条件和结论，从中得出有益的猜想等，这些启发性的方法和建议都是教师平时课上经常使用的。这些启发性的言语带领着解题教学的步步深入，提高了解题教学的有效性，也培养了学生良好的独立解题的习惯。

注意解题后的再思考，这是提高解题教学有效性的必要环节。目前数学教学的普遍现象是，广大师生在分数的压力下，匆匆解题，匆匆讲题，无暇顾及“解题后的再思考”，这种损失不言自明。教师要经常带领学生从已解决的问题的解题过程中吸取营养，进行如下的一些探索：解题中用到了哪些知识？它们是怎样联系起来的？解题的关键在哪里？思路是怎样打通的？推理是否严谨？思维有无多余步骤？还有别的解法吗？改变一下条件如何？改变一下结论如何？解题反馈——回顾是解题教学必不可少的一个环节，也是提高教学有效性的重要手段。

四、结束语

“问题”是数学的心脏，问题的不断产生和解决推动数学的发展。解决数学问题也是学校数学教学活动的重要形式，如何提高解题教学活动的有效性，对有效提高学生数学成绩以及推动数学素质教育都有重要的现实意义。用波利亚解题思想去武装自己的解题教学，可以大大提高解题教学的有效性，这也是一届届学生带下来之后的经验总结。建议更多的教师了解波利亚解题思想，按照波利亚思想改革教学方法，进一步提高数学课堂解题教学的有效性。波利亚的解题思想是指导学生在题海中游泳的行动纲领，越来越多的教师已经认识到它的独特魅力了。在数学解题方面，波利亚是一面旗帜。了解、使用、实践他的解题思想，对培养学生的创造性思维也很有指导意义。

参考文献：

[1]刘云章，赵雄辉.数学解题思维策略——波利亚著作选讲[M].长沙：湖南教育出版社，1992.

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[3]冯丽宁，武月元.运用波利亚《怎样解题》表进行数学有效解题教学[J].山西师范大学学报：自然科学版，2010（06）.

[4]曹琳彦，颜宝平.运用波利亚解题思想指导中学数学解题教学[J].铜仁学院学报，2010（05）.