高中数学恒成立的解题方法和思路

刘淑娟

摘要：数学是高考的必考科目，恒成立是高考数学试卷中的常见考题。本文列举了函数法、变换主元法、数形结合法，分析了高中数学恒成立问题的解题思路和方法。

关键词：高中数学 恒成立 解题方法 思路

恒成立是高中数学教学的难点和重点，它不仅包含变量，还包含参数，且解题过程较为复杂，有些学生往往无从下手。因此，本文通过讲解例题，认真分析了恒成立问题的解题思路与具体方法，以便提高学生解决问题的能力，提升学生的数学水平。

一、函数法

1.一次函数恒成立问题

例1.设存在x，且x [-3，1]，现有不等式（2a+1）x+a+2>0。若要不等式（2a+1）x+a+2>0恒成立，求解a的取值范围。

解析：针对一次函数f（x）=kx+b，x [m，n]，则存在：

当时，f（x）>0恒成立。

当时，则可证明f（x）<0。

该题是比较简单且典型的恒成立问题，学生可以按照上述证明方式，把x=-3、x=1分别代入f（x），则得出不等式方程组：，之后进行简化，可得a ≥-1，a≤。此时，学生便可得出本题答案：a的取值范围为[-1，]。

2.二次函数恒成立问题

例2：设有不等式（m-1）x2+（m-1）x+2>0，若使不等式（m-1）x2+（m-1）x+2>0在任何条件下恒成立，求解m的取值范围。

解析：首先，学生需先把不等式变为一元二次方程，通过方程根的判别式、最值以及对称轴等方程性质求解题目。判别式法为：设任意二次函数f（x）=ax2+bx+c，其中a0，且xR。那么，二次函数恒成立会有以下几种情况：①当f（x）min>a时，f（x）>a，对所有xI恒成立；②当f（x）max>a时，f（x）g（x）max且xI时，则有f（x）>g（x）。在本题中，二次项系数中含有未知参数m，所以学生应分类讨论：①当m-1=0时，则f（x）=2>0恒成立，所以m=1；②当m-10时，则有m-1>0且=（m-1）x2-8（m-1）<0，可得（1，9）。由此，可得本题答案：m的取值范围为m [1，9]。

二、变换主元法

例3.设存在a，a的取值范围为[-1，1]。有f（x）=ax2+（2a-4）x+3-a>0，且f（x）=ax2+（2a-4）x+3-a>0恒成立，请判断x的取值范围。

解析：在解答含参数的不等式恒成立问题过程中，学生可使用变换主元法，令参数a作为方程中的变量，因变量x作为参数，之后把题目转换成一次函数恒成立问题，则会降低该问题的难度。具体解题步骤如下：令g（a）=（x2+2x-1）a-4x+3，由题目条件已知a [-1，1]，将a=-1、a=1分别代入g（a）中，可得，由此可知g（a）>0恒成立，x的取值范围为[-3- ，-3+]。

三、数形结合法

例4.设存在函数f（x）= -a+，同时存在函数g（x）=ax+a。若要f（x）≤g（x）恒成立，求解a的取值范围。

解析：首先，学生需要转化不等式，之后构造函数，把不等式两边转换为较常见的函数，之后绘制图像，得出参数取值范围。具体解题步骤如下：由已知条件可得：f（x）≤g（x）可变换为≤ax+2a。设y1=，y2=ax+2a。由y2=ax+2a可知，y2=ax+2a过点（-2，0），斜率为a。而y1= 可变换为（x-2）2+y12=4（x≥4，y1≥0），学生由（x-2）2+y12=4可知，其几何图形为以点（2，0）为圆心，半径长为2的半圆形图形。故而，若要使f（x）≤g（x）恒成立，则需要y2图像高于y1图像（如图1所示）。通过图像，能够明确得出两个函数之间的不等式关系。

由图可知，直线与圆相切时，可得，

解得a=或a=-。因此，可得出本题答案：若要f（x）≤g（x）能够达成恒成立，则参数a的取值范围为[，+∞]。

四、结束语

不等式恒成立覆盖了大量的知识点，综合性较强。如果学生的解题思路过于单一，将不利于解决问题。因此，教师应积极探索解题策略，帮助学生提高成绩。

参考文献：

[1]叶海明.高中数学恒成立问题的解题策略浅探[J].读与写（教育教学刊），2009，（8）.

[2]沈宏.高中数学中恒成立问题的解题策略[J].读与写（教育教学刊），2014，（1）.

[3]盛军.数形结合方法在高中数学教学中的应用评价[J].赤子（上中旬），2015，（15）.

（作者单位：山东省菏泽市鄄城县第一中学）