谢尔曼单位线识别新方法

程银才，王 军，李明华(．山东农业大学水利土木工程学院，山东 泰安 708；．山东省泰安市水文局，山东 泰安 7000)

谢尔曼单位线(以下简称单位线)是进行流域降雨径流预报和流域水文模型建立中常用的工具。现有的根据降雨与径流资料识别单位线的方法有多种，如分析法、试算法、最小二乘法等方法[1,2]。分析法适用于净雨时段数m较小(m≤3～4)情况，当m较大时，推算出的单位线容易在退水段出现锯齿状，以及退水段流量较小时容易出现负值现象，其原因主要有四点，一是推求单位线的倍比、叠加两个假定均是线性的，这与流域汇流非线性的特点不完全一致；二是实测的降雨、径流资料不可避免存在误差，这会影响到单位线计算的精度；三是根据产流模型由降雨推算净雨时的模型误差；最后是根据流域出口断面实测的流量资料进行水源分割推求地面径流时也会出现误差。试算法推求单位线具有初始单位线不易设定，且因反复迭代计算效率低的缺点。最小二乘法原理相对完善，但也会由于前述四个原因导致识别的单位线出现锯齿状、负值和多峰的不合理现象。对此，有学者提出了一些办法，具有代表性的是，葛守西[3]提出的水量平衡约束、非负约束以及无震荡约束条件下识别单位线的方法，董晓华[4]等提出了三个目标和一个约束的目标规划法识别单位线的方法。这两种方法效果都较好，不足之处是这两种方法都过于复杂，有鉴于此，本文提出了先用约束的非线性最小二乘法识别单位线，再用离散傅里叶级数对单位线光滑的两步法。两步法相对独立，分别计算，不仅简便，且效果较好，在工程计算中具有一定的借鉴价值。

1 约束非线性最小二乘法识别单位线原理

1.1 约束非线性最小二乘法模型

约束非线性最小二乘法模型为：

(1)

式中：A、B为系数矩阵；X为待求向量。

对上述模型，要求对给定的A、B，求满足式(1)的解X。由于使用了非负约束，消除了单位线出现负值的可能。

1.2 约束非线性最小二乘法识别单位线的方法

(2)

对比式(1)与式(2)，应有

得出A、B后，即可用按式(1)用约束非线性最小二乘法识别出单位线。

2 离散傅里叶级数光滑单位线原理

传统的计算单位线方法是，用试算法或最小二乘法推算出单位线后，因计算出的单位线有锯齿、不光滑，还需要用手工办法修匀单位线。这一方法的缺点显而易见，一是修匀过程主观随意性大，结果因人而异；二是精度难以控制，效率低下。对此，提出了修匀单位线一个可行的理论方法，即用离散傅里叶级数逼近单位线，实施单位线的光滑，原理如下。

(3)

使用前述的约束非线性最小二乘法模型识别出单位线，得到的是一系列离散的点[(t,qt)，(t=1,2,…,n)]表示的单位线，此时，再用离散傅里叶级数对这n个离散的点逼近，实施单位线的光滑，以消除单位线的锯齿状以及多峰不合理现象。

3 示 例

某流域一场降雨对应的净雨如表1中的r，地面径流过程如表1中的Q。采用传统的分析法得到的单位线结果见表1中的q1。在单位线q1的退水段当流量较小时，单位线q1出现了负值流量-3.8 m3/s，同时也出现锯齿现象，如q1的退水段第11个时序的流量276.6 m3/s大于第10个时序的流量224.4 m3/s。

表1 分析法、约束最小二乘法以及傅里叶级数光滑计算成果Tab.1 Calculation results of analysis method, constrained least squares method and fourier series smooth

采用本文提出的方法：第一步，采用了约束非线性最小二乘法，通过应用程序VB6.0经编程计算，得到单位线见表1中的q2。从计算结果可知，消除了单位线的负值，单位线q2相对于单位线q1的总体误差为(3 445.36-3 475.7)/3 475.7×100%=0.84%，可见约束非线性最小二乘法计算结果精度较高。但单位线锯齿现象仍然存在，如q2的退水段第11个时序的流量277.4 m3/s大于第10个时序的流量219.4 m3/s。第二步，采用傅里叶级数对约束非线性最小二乘法的结果实施消锯齿光滑，经程序试算，调和函数的个数h=8时效果最好(图1)，计算结果见表1中的q3，从计算结果看，锯齿现象已经消除。单位线q3相对于单位线q1的总体误差为(3 237.2-3 475.7)/3 475.7×100%=6.86%，能满足一般工程计算对精度的要求，可见采用离散傅里叶级数计算结果精度较高。

图1 离散傅里叶级数消除单位线锯齿与多峰现象Fig.1 Fourier series eliminates the zigzag and multi-peak phenomenon of unit line

为便于对比，编程计算并绘制了q2与q3单位线曲线，如图1。通过图1可以清楚看出，单位线锯齿现象得到明显改善，不再存在，采用离散傅里叶级数光滑后，单位线的计算结果也更加合理。

4 结 语

分析了传统的谢尔曼单位线识别方法存在的问题，提出了先用约束的非线性最小二乘法识别单位线，再用离散傅里叶级数对单位线光滑的两步法。新方法计算简便，且效果较好，在工程计算中具有一定的借鉴价值。

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[1] 包为民．水文预报[M]．北京：中国水利水电出版社，2006．

[2] 詹道江，叶守泽．工程水文学[M]．北京：中国水利水电出版社，1999．

[3] 葛守西．现代洪水预报方法[M]．北京：中国水利电力出版社，1999:261-264.

[4] 董晓华，赵云法，袁 杰，等．基于目标规划法的时段单位线多目标优化估计[J]．人民长江，2007，38(8)：12-13．