抽象代数课程教学方法研究与实践

陶司兴

（商丘师范学院　数学与信息科学学院，河南　商丘　476000）



抽象代数课程教学方法研究与实践

陶司兴

（商丘师范学院数学与信息科学学院，河南商丘476000）

摘要：抽象代数是大学数学专业本科课程中的一门专业基础课.本文从借助多媒体教学举难易程度不同的例子,增强课堂学习的趣味性,补充教学内容以满足考研学生的需求,将平时成绩纳入最终考核及布置论文小题目等方面探讨如何改进抽象代数课程的教学方法,进而培养学生的学习主动性,提高教学质量.

关键词：课程改革；教学实践；抽象代数

抽象代数是大学数学专业本科课程中的一门专业基础课,其特点为高度的抽象性与概括性,需要结合一定的初等代数和高等代数的的相关基础知识方能学懂.其内容不仅可以渗透到数学的各个分支,而且在其他学科,例如物理、化学、正交试验设计和编码等理论中都有应用.因此使得学生在初次接触时感到非常抽象不易于接受.一直被学生认为是最难学的课程之一.许多数学专业的本科生都对这门课不感兴趣,甚至望而生畏.近年来针对这种现状,很多的学者就抽象代数课程的教学和实践,进行了不同的研究,同时在教学内容、教学方法等方面进行了不同程度的探讨[1-4].作者根据在教学一线的工作经历,针对商丘师范学院数学与信息科学学院学生的现状，主要从课堂增强趣味性,课下有计划的布置小论文题目等方面对抽象代数课程的教学方法和实践进行探讨.

1　借助多媒体教学，多举难易程度不等的例子，使不同层次学生都学有所获

抽象代数因其高度的抽象性一直使不少学生惧怕,所以对学生采用统一标准来教学必然会导致学生的学习两极分化.为此商丘师范学院数学与信息科学学院对学生实施了分类培养的人才培养模式，将学生分为学术型和教学型两类.学术性学生指的是立志考研的学生,这类学生学习的积极主动性比较高，求知欲比较强.教学型学生指的是毕业后就业不打算继续深造的学生.面对这两类志向不同的学生，我的做法是在讲解每个抽象的概念和结论时，结合高等代数和初等代数，分别举难易不等的例子,既能满足学术性学生的需求,也能使教学型学生通过简单的例子达到理解抽象概念和结论的目的.例如在介绍同态映射这一概念时，举如下的例子：

(1)设M是数域F上全体I阶方阵作成的集合,代数运算是方阵的普通乘法;再令=F,代数运算是数的普通乘法，则是M到的一个同态映射,而且是一个满射.

(2)设A是实数集,其代数运算是普通的加法;A是正实数集,其代数运算是普通的加法,则是A到A的一个同态映射,而且是一一映射.

再比如介绍最大理想的概念时,可以举如下的例子：

(1)由一个素数p生成的理想(p)是整数环R的一个最大理想;

(2)由x和2生成的理想(x,2)是整数环上一元多项式环Z[x]的一个最大理想.

前一个例子满足不考研学生的需要,而后一个例子涉及到高等代数,可以满足考研学生的需要.

当然，随着目前教育技术的发展，可以借助多媒体来展示相关的例子，这样减少老师在黑板上写字的时间.与此同时，还应经常将高等代数中相关的内容汇总一下，使学生通过对抽象代数的学习，把原先感到零散的知识融汇贯通,从而使学生的高等代数和抽象代数水平同时得到提高.例如在介绍等价关系时,将下列例子罗列了一下：

(1)向量组之间的相互线性表示是一个等价关系;

(2)对称矩阵之间的合同关系是一个等价关系;

真空度达到5.0×10-5 Pa时，以热蒸镀的方式，按结构依次蒸镀坩埚中不同的有机材料，制备两组蓝色磷光器件，其结构分别为

(3)n阶方阵之间的相似关系是一个等价关系;

(4)矩阵之间的等价满足反身性、对称性和传递性，因而也是一个等价关系.

这样,让学生感受到了抽象代数的魅力，也就乐于学习了.

2　结合数学史和日常生活，活跃课堂气氛，增强学生学习的趣味性

老师课堂上的灌输式教育会让学生感到疲劳.因此在课堂中适当地加入一些形象化语言，一些历史小故事等,调节课堂氛围,增加学生的注意力.比如在讲解群论这一章时,可以讲解一下伽罗瓦年纪轻轻便用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题,而且由此发展了一整套关于群和域的理论,却在21岁便死于一场决斗.他在世时数学上研究成果的重要意义没被人们所认识,曾呈送科学院3篇学术论文,均被退回或遗失,不被数学界认可,并且本人在爱情方面受到打击.但他所创立的群论，最终还是被世人所接受并肯定其价值.通过让学生了解与群、环、域等相关知识的历史小故事,增强他们了解该课程的欲望,从而提高学习兴趣.

抽象代数所研究的代数系统不仅集合是抽象的,而且运算也是抽象的.有时候可能会让学生摸不着头脑,比如在讲到一个环的理想的理想不一定是原环的理想时,可以类比一个群的正规子群的正规子群不一定是原群的正规子群,同时给学生讲敌人的敌人是朋友,例如：中国和印度是敌人,印度和巴基斯坦是敌人，而中国和巴基斯坦是好朋友.学生虽然一笑而过,但却牢牢地记住了关于正规子群和理想的这两个结论.总之让学生在趣味中学习,可以活跃课堂的气氛,使学生提高学习的效果.

3　结合考研实际,适当补充新内容,满足学生考研复试需求

教学过程中，在教材使用上，我们以《近世代数基础》为主线,同时搜集关于抽象代数考研的习题,对教材内容作适当补充.比如在介绍群的概念时，补充半群、幺半群等概念,在介绍不变子群的概念时，介绍不变子群的另一种名称正规子群,以及补充一下关于群的直积等概念结合学生考研的实际,在教学过程中，补充了杨子胥[6]的《近世代数》中的一些实例.例如在介绍环的概念时，举下面的例子:

例：设R为整数集,证明R对以下二运算作成环：上面的例子理解起来不难，显得比较有新意,可以开阔学生的视野.此外现在的考研复试,学生经常会遇到关于扩域的相关理论,为避免影响学生的复试成绩,我们的课堂授课都会涉及代数扩域的内容.

4　将平时成绩纳入考核，布置论文小题目,调动学生的积极主动性

随着课时的压缩,仅仅依靠老师课堂上的讲授是远远不够的.作业作为老师教学环节的必要补充,显得特别重要.所以我们非常重视学生的日常作业.在布置作业时，出一些必做和选做的题目,以满足学生学习的需要.在考核时，平时成绩占30%,考试成绩占70%.而平时成绩的组成又分为日常作业和考勤两部分,各占一半.在最终考试时,基础类的内容占70%,较有难度的内容占20%,难度较大的内容占10%.充分兼顾各个层次的学生.

高等教育的教学理念在于培养学生的创新能力,老师们在传授知识的同时,要兼备发展学生的智力,培养学生的能力,提高学生的素养.虽然通过对比抽象代数与高等代数的紧密联系,使学生已有所了解抽象代数,并通过增加趣味性一定程度上提高了学生的积极性,但某些学生从心态上,认为这只是一门课,所以应付,缺少主动性.鉴于这些,为了从根本上提高学生的主动性,让其真正的参与进来,提高他们对这门课的重视程度.我们采取有计划的布置小论文题目,来吸引他们的注意力,同时培养他们分析问题,多角度考虑问题,总结知识点的能力.这些对他们以后完成毕业论文设计都有很大的帮助.

以上是我们对“抽象代数”课程教学方法的一些改进与实践,我们也想通过这种教学实践,既使自己得到提高,又能让学生养成一个良好的学习习惯.此外,在实际教学过程中仍有可能遇到这样那样的问题,需要具体问题具体对待,根据实际情况来灵活处理.

参考文献:

〔1〕魏平,张焕炯.关于近世代数教学改革的实践探索[J].数学教学研究,2012,31(12):61-65.

〔2〕王羡,王志俊,董红昌,刘琼玲.浅谈抽象代数教学改革[J].大学数学,2015,31(2):44-47.

〔3〕李飞祥.抽象代数课程教学改革的研究与实践[J].安阳师范学院学报,2012(1):105-107.

〔4〕王羡,白冬梅,祁永强.抽象代数课程建设与教学改革的体会[J].学园，2014(1):32.

〔5〕张禾瑞.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社,1978.

〔6〕杨子胥.近世代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2011.

基金项目：商丘师范学院教学改革研究项目（2014jgxm26）

收稿日期：2015年10月19日

中图分类号：G642.4

文献标识码：A

文章编号：1673-260X（2016）02-0239-02