江苏省2016高考数学模拟卷（二）

本刊试题研究组

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分

1.记函数f（x）=3-x的定义域为A，函数g（x）=lg（x-1）的定义域为B，则A∩B=.

2.已知复数z满足（z+1）i=3+5i，其中i为虚数单位，则|z|=.

3.某算法的伪代码如图所示，若输出y的值为3，则输入x的值为.

4.右图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么这组数据的方差是.

5.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（φ>0）的部分图象如图所示，则ω=.

6.在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是.

7.在平面直角坐标系xOy中，已知OA=（3，-1），OB=（0，2）.若OC·AB=0，AC=λOB，则实数λ的值为.

8.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.

①若mα，m⊥β，则α⊥β；

②若mα，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；

③若mα，nβ，α∥β，则m∥n；

④若m∥α，mβ，α∩β=n，则m∥n.

上述命题中为真命题的是（填写所有真命题的序号）.

9.将函数y=2sinπ3x的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的π3倍（纵坐标保持不变），得函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为.

10.函数f（x）=（x-1）sinπx-1（-1

11.设α，β∈（0，π），且sin（α+β）=513，tanα2=12.则cosβ的值为.

12.设数列{an}满足：a3=8，（an+1-an-2）（2an+1-an）=0（n∈N*），则a1的值大于20的概率为.

13.已知函数f（x）=x+2，0≤x<1，2x+12，x≥1.若a>b≥0，且f（a）=f（b），则bf（a）的取值范围是.

14.已知曲线C：f（x）=x+ax（a>0），直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为A，B.再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点.若△ABP的面积为12，则△OMN的面积为.

二、解答题：本大题共6小题，共90分

15.（本小题满分14分）

已知α，β∈（0，π），且tanα=2，cosβ=-7210.

（1）求cos2α的值；

（2）求2α-β的值.

16.（本小题满分14分）

如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A=2AB，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点.

（1）证明：EF∥平面ABC；

（2）证明：C1E⊥平面BDE.

17.（本小题满分14分）

为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k为常数）.经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元.（每平方米平均综合费用=购地费用+所有建筑费用所有建筑面积）.

（1）求k的值；

（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？

18.（本小题满分16分）

已知函数f（x）=（m-3）x3+9x.

（1）若函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是单调函数，求m的取值范围；

（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为4，求m的值.

19.（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2m+y28-m=1.

（1）若椭圆C的焦点在x轴上，求实数m的取值范围；

（2）若m=6，

①P是椭圆C上的动点，M点的坐标为（1，0），求PM的最小值及对应的点P的坐标；

②过椭圆C的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线l交x轴于点N，证明：ABFN是定值，并求出这个定值.

20.（本小题满分16分）

设无穷数列{an}满足：n∈Ν，an

（1）若bn=3n（n∈N*），求证：a1=2，并求c1的值；

（2）若{cn}是公差为1的等差数列，问{an}是否为等差数列，证明你的结论.

参考答案

一、填空题

1. （1，3]

2. 5

3. 8

4. 127

5. 23

6. 710

7. 2

8. ①④

9. y=2sin（x-π3）

10. 4

11. -1665

12. 14

13. [54，3）

14. 4

二、解答题

15.解：（1）因为tanα=2，

所以sinαcosα=2，即sinα=2cosα.

又sin2α+cos2α=1，解得sin2α=45，cos2α=15.

所以cos2α=cos2α-sin2α=-35.

（2）因为α∈（0，π），且tanα=2，所以α∈（0，π2）.

又cos2α=-35<0，故2α∈（π2，π），sin2α=45.

由cosβ=-7210，β∈（0，π），得sinβ=210，β∈（π2，π）.

所以sin（2α-β）=sin2αcosβ-cos2αsinβ

=45×（-7210）-（-35）×210=-22.

又2α-β∈（-π2，π2），所以2α-β=-π4.

16.证明：（1）如图，取BC的中点G，连结AG，FG.

因为F为C1B的中点，所以FG

在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A

所以四边形AEFG是平行四边形.

所以EF∥AG.

因为EF平面ABC，AG平面ABC，

所以EF∥平面ABC.

（2）因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BD平面ABC，

所以A1A⊥BD.

因为D为AC的中点，BA=BC，所以BD⊥AC.

因为A1A∩AC=A，A1A平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1.

因为C1E平面A1ACC1，所以BD⊥C1E.

根据题意，可得EB=C1E=62AB，C1B=3AB，

所以EB2+C1E2=C1B2.从而∠C1EB=90°，即C1E⊥EB.

因为BD∩EB=B，BD平面BDE，EB平面BDE，

所以C1E⊥平面BDE.

17.解：（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1000×5平方米，所有建筑费用为[（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）]×1000×10，所以，

1270={16000000+[（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）]×1000×10}/（10×1000×5），

解之得：k=50.

（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f（n），由题设可知

f（n）={16000000+[（50+800）+（100+800）+…+（50n+800）]×1000×10}/（10×1000×n）

=1600n+25n+825≥21600×25+825=1225（元）.

当且仅当1600n=25n，即n=8时等号成立.

答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元.

18.解：（1）因为f′（0）=9>0，所以f（x）在区间（-∞，+∞）上只能是单调增函数.

由f′（x）=3（m-3）x2+9≥0在区间（-∞，+∞）上恒成立，所以m≥3.

故m的取值范围是[3，+∞）.

（2）当m≥3时，f（x）在[1，2]上是增函数，

所以[f（x）]max=f（2）=8（m-3）+18=4，

解得m=54<3，不合题意，舍去.

当m<3时，f′（x）=3（m-3）x2+9=0，

得x=±33-m.

所以f（x）的单调区间为：（-∞，-33-m）单调减，（-33-m，33-m）单调增，（33-m，+∞）单调减.

①当33-m≥2，即94≤m<3时，

[1，2]（-33-m，33-m]，所以f（x）在区间[1，2]上单调增，

[f（x）]max=f（2）=8（m-3）+18=4，m=54，不满足题设要求.

②当1<33-m<2，即0

③当33-m≤1，即m≤0时，则[1，2]（33-m，+∞]，所以f（x）在区间[1，2]上单调减，

[f（x）]max=f（1）=m+6=4，m=-2.

综上所述：m=-2.

19.解：（1）由题意得，m>8-m>0，解得4

即实数m的取值范围是（4，8）.

（2）因为m=6，所以椭圆C的方程为x26+y22=1.

①设点P坐标为（x，y），则x26+y22=1.

因为点M的坐标为（1，0），所以

PM2=（x-1）2+y2=x2-2x+1+2-x23=2x23-2x+3

=23（x-32）2+32，x∈[-6，6].

所以当x=32时，PM的最小值为62，此时对应的点P坐标为（32，±52）.

②由a2=6，b2=2，得c2=4，即c=2，

从而椭圆C的右焦点F的坐标为（2，0），右准线方程为x=3，离心率e=63.

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点H（x0，y0），则

x216+y212=1，x226+y222=1，

所以x21-x226+y21-y222=0，即kAB=y1-y2x1-x2=-x03y0.

令k=kAB，则线段AB的垂直平分线l的方程为y-y0=-1k（x-x0）.

令y=0，则xN=ky0+x0=23x0.

因为F（2，0），所以FN=|xN-2|=23|x0-3|.

因为AB=AF+BF=e（3-x1）+e（3-x2）

=263|x0-3|.

故ABFN=263×32=6.

即ABFN为定值6.

20.解：（1）因为an∈N，所以若a1=1，则aa1=a1=3矛盾，

若a1≥3=aa1，可得1≥a1≥3矛盾，所以a1=2.

于是a2=aa1=3，从而c1=aa1+1=a3=aa2=6.

（2）{an}是公差为1的等差数列，证明如下：

an+1>ann≥2时，an>an-1，所以an≥an-1+1an≥am+（n-m），（m

aan+1+1≥aan+1+an+1+1-（an+1），

即cn+1-cn≥an+1-an，由题设，1≥an+1-an，又an+1-an≥1，

所以an+1-an=1，即{an}是等差数列.