迁移理论视角下曲线与曲面积分教学探讨

刘明，刘伟



迁移理论视角下曲线与曲面积分教学探讨

刘明[1]，刘伟

（天津师范大学 津沽学院，天津 300387）

曲线与曲面积分一直是数学分析教学中的难点，对于独立院校学生而言，该内容的学习更为困难．以往研究多是从数学角度出发，从曲线与曲面积分符号的抽象性和计算的复杂性等方面分析教学难点．从学习理论角度入手，结合三本院校学生的学习特点，从迁移的角度来进行分析，并给出相应的教学建议，从而促进该部分内容的教学．

曲线积分；曲面积分；迁移理论

曲线与曲面积分一直是数学分析的教学难点，在学习曲线积分时，学生能很好地理解符号所代表的含义，单独讲某一种积分时，学生能分清楚积分的类型，但是将几种类型的积分放在一起，如，，和，则有很多学生无法正确判断积分类型，导致计算时用错公式，最终计算错误．

以往的研究多是从积分符号的抽象性或计算的复杂性等方面来分析，从数学自身的角度探讨了曲线与曲面积分教学的难点并提出相应的改进方案，但是较少从学习理论的角度，即学生学习数学的角度来分析．文献[1]指出，曲线与曲面积分具有公式形式抽象，解题思维严谨灵活，结论深刻且表现形式多样性的特点．文献[2]指出，在教学中要突出积分概念间的联系与区别，通过典型例题的训练使得学生掌握各种积分的特点．文献[3]从流体力学角度出发，为格林公式提供了具体的物理背景，引导学生在数学上进一步抽象，从而得出格林公式，对知识的学习起到了追踪溯源的作用．但是该方法适合具有物理背景的理工科学生，对于数学专业学生来说有待商榷．文献[4]从数学思想的角度出发，在教学中突出化归思想，帮助学生利用化归的思想将第二型曲线积分（变力沿曲线做功问题）转化为第一型曲线积分的形式，通过化归的方法利用学生已学过的知识来学习新知识，过渡自然，从本质上将２种积分统一起来，也体现了数学的统一性．

综上可见，以往研究均是从数学角度出发，分析曲线与曲面积分教学的难点[5-6]，都强调在教学中突出曲线积分与曲面积分的物理或几何背景，以便学生更好地理解数学表达式的实质．但是，有些教学设计更适合有物理背景的理工类学生，对于独立院校数学专业的学生而言，他们并没有学过很多普通物理的知识，因此还是有一定困难的．对于独立院校的学生，其学习基础较差，因此，更多的应该对学生进行学情分析，结合学习理论找出造成学生学习曲线与曲面积分的困难所在．本文从学习理论的角度对曲线与曲面积分教学难点进行分析，基于此分析给出相应的教学建议．

1迁移视角下教学难点分析

迁移是一种学习对于另一种学习的影响．如果先前学习对后继学习产生影响，则称为顺向迁移，反之称为逆向迁移．如果一种学习阻碍或干扰了另一种学习，则称为负迁移，反之则称为正迁移[7]．在曲线与曲面积分的学习中，这几种迁移均起到作用．定积分、重积分、曲线与曲面积分的本质均是：分割——近似——求和——取极限，如果学生在学习定积分与重积分时能够充分理解其实质，那么将有助于学生对曲线与曲面积分实质的理解，这是正迁移与顺向迁移的影响．但是由于学生对于定积分的学习往往只是掌握了牛顿－莱布尼兹公式，并没有深刻理解定积分的本质，只是浮于形式的计算，因此在计算曲线与曲面积分时，往往会产生错误．而学完第二型曲线积分或第二型曲面积分后，公式变多，也会把前面的积分符号混淆，导致分不清，，，和，这就是逆向迁移与负迁移起到的消极作用．

案例2（弧长及面积的计算）在定积分学习中，学生已经学习了曲线弧长的计算，二重积分的学习中，也涉及了曲面的面积．但是在第一型曲线积分和第一型曲面积分的计算中也有曲线弧长、曲面面积的计算，学生往往就会产生混淆，这主要是因为学生没有能够准确地理解曲线与曲面积分的来源，导致新旧知识发生了混淆．这也是负迁移造成的消极作用．

2教学建议

由于迁移是一种学习对另一种学习的影响，先前相关知识的学习对于曲线与曲面积分学习的影响是很难避免的，因此教师在教学中更要很好地利用迁移规律，对教学过程进行精心设计，发挥正迁移的作用，尽量地减少负迁移的影响．结合独立学院学生学习特点，给出一些具体的教学建议．

2.1合理组织教学活动，加强新旧知识之间的联系

由知识学习的同化理论可知，曲线与曲面积分的学习都是在原有定积分与重积分学习基础上展开的．

曲线与曲面积分的表达式是抽象的，是对一些几何及物理问题的抽象表达．因此，在教学中一定要注重对旧知识的复习[8]，在相应新授课开始时不妨让学生先复习定积分和重积分的实质：分割——近似——求和——取极限．在此基础上再结合具体的几何或物理背景，如曲线形构件的质量，变力沿曲线做功，曲面的质量等，讲授曲线与曲面积分．使学生在新知识的学习中迅速、明确地找到与之相对的旧知识，及时为新知识的学习提供适当的固定点．

这样经过多次复习，既强化了基本知识的教学，也使学生对曲线与曲面积分有了清晰、深刻的认识，使学生加深对已学定积分等的认识，帮助学生建立稳定、清晰的知识结构．达到了较好的正迁移．

2.2强调数学知识的系统性，提高数学知识的概括水平

曲线与曲面积分共有4种，加上之前学习的定积分和重积分共有7种类型的积分，学生单独学习每一种积分时，尚能分清楚，等全部学习完后，就容易混淆，教师不但要在新授课教学时讲清楚每一种积分，学习结束后，也要带领学生对7种积分进行回顾，以强调积分知识的系统性．虽然各种积分的实质是一样的，但是不同类型有着不同的表达式，代表不同的问题来源．通过总结概括，学生既能够从知识的整体系统出发，又能具体问题具体分析，提高数学知识的概括能力，以便更好地充分利用原理和原则迁移．

要注重例题的选择，枚举各种变式，使学生正确地把握概念的内涵和外延．如在利用对称性巧解积分题目时，通过具体题目地讲解学习，使学生能够深刻地体会到积分实质在解题中的作用，而不是只限于形式上的抽象符号计算，在遇到新问题时，以便更好地利用例题去解决，达到良好的正迁移．

2.3教会学生如何学习

大学数学课堂课程内容多，课容量大，课堂以教师讲授为主，因此对学生的学习提出了更高要求，只有平时多思考，多复习才能较好地掌握所学内容．大学生学习有更多的独立性与自主性，而独立院校的学生大多缺少良好的学习习惯，课后不能及时复习与反思，不能使旧知识对新知识的学习产生正迁移，反而可能学了新知识忘记旧知识，或与旧知识相混淆，发生负迁移．因此，教师要对学生的学习加强指导．

教师在进行曲线与曲面积分教学时，不只是传授学生知识，还要教授学生学习的规律和方法．新授课时不但带领学生复习定积分的实质，还要指出这种复习对于学习新知识的重要性．并且要在课堂上对学生适当进行提问，让学生自己比较新知识与旧知识的异同，促进正迁移的发生．

2.4制定符合独立学院学生特点的教学目标

对于独立院校数学专业而言，曲线与曲面积分教学要针对学生特点设计相应的教学计划．要重点突出积分实质，淡化复杂计算．

随着计算机的普及，越来越多的数学计算问题可以借助数学软件来作出结果．但计算的掌握并不代表对于实质的真正理解，深刻的数学思想才是学生最应该掌握的．并且复杂的计算并不是该部分知识的重点．

教师是教教材而不是用教材，对于独立院校而言，培养应用型人才是其主要的教学目标．而现在多数数学分析教材还比较侧重理论，对于知识的来龙去脉着墨较少，也很少将数学分析的学习方法呈现出来．因此，教师要针对学生特点，基于教材和学生的水平，做出更好的教学设计．在教学中，要淡化理论证明，注重概念的引入，重点讲清楚曲线与曲面积分的概念，指出每种积分的计算都是转化为已经学过的积分，即定积分的计算．使学生体会到先前知识对于新知识学习的影响，减轻学生的学习压力，在教学中发挥正迁移的作用．

曲线与曲面积分的计算也是独立院校学生学习的难点，教材中题目起点略高，要找寻一些简单的题目，在课堂上重点讲解，而课本上较复杂的例题，则可让学生作为课下的练习，这样还能给学有余力的学生提供进一步学习的机会．

[1] 唐荣荣，蔡静．不同专业下曲线与曲面积分教学模式探讨[J]．湖州师范学院学报，2011（2）：109-114

[2] 江蓉，王守中．关于曲线积分与曲面积分教学的探讨[J]．西南师范大学学报：自然科学版，2012（2）：142-146

[3] 郑连存．从曲线积分的教学谈对知识的追踪溯源[J]．高等理科教育，2005（3）：38-40

[4] 张建军，乔松珊．化归转化思想在曲线与曲面积分教学中的应用[J]．高等函授学报：自然科学版，2012（2）：24-26

[5] 刘玉琏，杨奎元，刘伟，等．数学分析讲义学习辅导书[M]．北京：高等教育出版社，2003：350-353

[6] 邓乐斌．初等积分中的常见问题[M]．北京：科学出版社，2009：143

[7] 郭玉峰，刘春艳，程国红．数学学习论[M]．北京：北京师范大学出版社，2015：120

[8] 孔凡哲，曾峥．数学学习心理学[M]．北京：北京大学出版社，2009：123-124

Discussion on the curve and surface integral teaching from the perspective of transfer theory

LIU Ming，LIU Wei

（Jingu College，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

Curve and surface integrals have always been the difficult point in mathematical analysis teaching，and they are especially hard for students of independent colleges．Previous studies were mostly made from mathematical perspective the abstract nature of curve and surface integrals as well as the complication calculation．From the perspective of learning theory，combines the characterizes of students in independent colleges and makes analysis from leering transfer theory，gives some teaching suggestions in order to improving the teaching of curve and surface integrals．

curve integrals；surface integrals；transfer theory

O172∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.017

2015-12-20

刘明（1989-），男，天津人，助教，硕士，从事数学教育研究．E-mail：121816834@qq.com

1007-9831（2016）04-0062-03