建立分式模型解决实际问题一例

郑泉水

洗衣服人人都做过，但你是否注意过其中的数学问题？请看：

将一件衣服在洗衣粉水中充分浸泡、搓洗后，拧掉其中的污水，当然，你不可能将其中的污水全部拧掉，假设衣服中还存有1斤污水，现在要用20斤清水清洗，怎样清洗效果更好呢？

若将20斤清水一次用掉，即将衣服一下子放到20斤清水中，通过充分搓洗后，衣服中的1斤污水与20斤清水充分混合，再拧掉水分（还按衣服中存有1斤水计算），此时，衣服中存在的污物是原来的121.

若将20斤清水分两次用，第一次先用12斤，通过充分搓洗再拧掉水分，此时，衣服中存在的污物是原来的113；第二次用8斤，通过充分搓洗再拧掉水分，此时，衣服中存在的污物是第一次清洗后污物的19，即衣服中存在的污物是原来的113×19=1117.这比一次用掉20斤清水要干净多了！

若将20斤清水分两次用，每次用10斤，根据上面的计算方法可知，两次清洗后衣服中存在的污物是原来的111×111=1121.

看来，20斤清水分两次用，平均使用比不平均使用效果要好！

由此可知：①用一定量的清水清洗衣服，将清水分两次使用比一次使用效果要好；②用一定量的清水清洗衣服，将清水分两次平均使用比不平均使用效果要好.

下面我们证明上述结论.

将一件衣服在洗衣粉水中充分浸泡、搓洗后，拧掉其中的污水，假设衣服中还存有a斤污水，现在要用m斤清水清洗：

（1）若将m斤清水一次用掉，则衣服中存在的污物是原来的am+a，即a2ma+a2；

（2）若将m斤清水分两次用，第一次先用x斤，第二次用m-x斤，则衣服中存在的污物是原来的ax+a×a（m-x）+a，即a2mx-x2+ma+a2；

（3）若将m斤清水分两次平均使用，则衣服中存在的污物是原来的am2+a×am2+a，即a2m24+ma+a2.

接下来的问题就是比较三个分式a2ma+a2、a2mx-x2+ma+a2、a2m24+ma+a2的大小了，也就是比较ma+a2、mx-x2+ma+a2、m24+ma+a2的大小.

（1）由于x0，即mx-x2+ma+a2>ma+a2，

所以a2mx-x2+ma+a2

即：用一定量的清水清洗衣服，将清水分两次使用比一次使用效果要好.

（2）由于mx-x2=-（x-m2）2+m24，x≠m2（不平均使用），

故m24>mx-x2，即m24+ma+a2>mx-x2+ma+a2.

所以a2m24+ma+a2

即：用一定量的清水清洗衣服，将清水分两次平均使用比两次不平均使用效果要好.

当然用一定量的清水清洗衣服，将清水分的次数越多并平均使用，清洗效果越好（有兴趣的同学不妨仍以20斤清水为例进行验证）.

看来，洗衣服中还真大有学问呢！这正如我国著名数学家华罗庚教授说过的一句话：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学.”

可谓是：生活处处皆数学，生活处处皆学问.