永磁同步电机扩展数学模型分析

杜丽娟，张晓宇

(华北科技学院电子信息工程学院，北京东燕郊 101601)

永磁同步电机扩展数学模型分析

杜丽娟，张晓宇

(华北科技学院电子信息工程学院，北京东燕郊 101601)

永磁同步电机控制系统的研究以其数学模型为基础，传统模型通常建立在ABC坐标系、αβ坐标系和dq坐标系下，包括磁链方程、电压方程和电磁转矩方程。在传统的永磁同步电机数学模型基础上，将控制系统中的执行机构即逆变器部分与电机综合考虑，推导建立扩展的切换数学模型，并用状态方程的形式给出。利用MATLAB进行仿真分析，验证了模型的正确性。

永磁同步电机；逆变器；数学模型；仿真

0 引言

永磁同步电机广泛应用于多种工业领域，由于它是多变量、强耦合的非线性系统[1-2]，其控制策略和控制方法成为研究的热点[3-6]，这些研究的基础是建立在合理的数学模型基础上。目前对永磁同步电机数学模型的研究通常是建立在三相静止坐标系、两相静止坐标系和两相旋转坐标系下[7-8]。不管哪一种模型，其输入变量都包括定子绕组三相电压uA,uB,uC，或者对其进行Clarke变换和Park变换。而在电机控制系统中，定子三相电压uA,uB,uC的产生是通过逆变器中开关管的控制实现的，上位机通过各种控制算法产生合理的PWM波形控制逆变器的开关管的状态，从而得到需要的三相电压uA,uB,uC。本文将逆变器和永磁同步电机作为整体来考虑，定义一个切换矢量(切换信号)，提出扩展的PMSM切换数学模型，为永磁同步电机的控制提供新的研究思路。

1 永磁同步电机数学模型

模型对象是隐极式永磁同步电机，定子三相绕组Y型连接，且无中线引出。在一些常规假设[9-10]下，目前的PMSM电机建模都是基于ABC坐标系及dq坐标系的物理分析数学模型[11]。两种坐标系的关系如图1所示。

1.1 三相静止坐标系中的PMSM数学模型

将电机定子三相绕组中的A相绕组轴线作为参考轴线，取逆时针方向为转速和电磁转矩的正方向。经过物理分析，得到如下电压方程和磁链方程[11-12]。

图1 ABC坐标系与dq坐标系的关系

(1) 电压方程

(1)

(2) 磁链方程

(2)

式中Ls是相绕组的同步电感[7]；ψf是PMSM磁极的励磁磁链，为常数；θe是A相绕组轴线与永磁体基波磁场轴线之间的电角度；

1.2 两相旋转坐标系中的PMSM数学模型

ABC坐标系经Clarke和Park变换到dq旋转坐标系，在dq坐标系下PMSM电压方程和磁链方程为

(3)

(4)

式中ωe是转子电角速度，Ld=Lq=Ls。

根据物理分析[1-2]，有转矩方程(5)和运动方程(6)

(5)

(6)

(7)

2 永磁同步电机扩展数学模型

在两相旋转坐标系的数学模型中，模型中的输入变量ud,uq是通过定子三相电压uA,uB,uC经过Clarke变换和Park变换而来；而uA,uB,uC又是逆变器的输出，它们是通过直流电压UDC和开关矢量(切换信号)σ(t) 得到，如图2所示。现在将逆变器与电机作为整体考虑，建立其数学模型，则模型输入为直流电压UDC、开关矢量(切换信号)σ(t)以及负载TL；仍然取id,iq,ω为系统的状态变量。

图2 三相电压源型逆变器结构

(8)

(9)

结合Clarke和Park变换矩阵以及式(9)，可以得到ud,uq与UDC,σ(t)的关系

(10)

将这一关系代入状态方程(7)，得到

(11)

3 仿真及结果分析

根据上述建立的永磁同步电机扩展切换模型，利用MATLAB(R2012a)进行仿真分析。实验

中电机参数设定为：直流电压UDC=310 V；绕组电阻R=2.75 Ω；定子绕组电感Ld=Lq=0.8×10-3H；极对数np=4；转动惯量J=0.006 kg·m2；摩擦系数B=0N·m·s；电机采用开环控制方式，使用对称三相正弦波经过零比较器产生三路PWM信号作为电机模型的输入，如图3所示。仿真时间为0.8 s，在t=0.5 s时加入负载TL=2 N·m 。仿真结果给出转速、转矩和定子三相电流曲线，分别如图4、图5所示。

图3 永磁同步电机仿真模型

图4 转速、转矩特性曲线

图5 定子三相电流波形

模型中pmsm_model即扩展的电机模型，三个桥臂输入信号通过开关矢量(切换信号)σ(t)控制导通，我们采用SVPWM调制信号的开关信号，作为σ(t)的输入。这样就能逆变出三相对称的SVPWM电压。另外两个输入信号是直流电压和负载，分别用常数模块和阶跃模块实现。输出信号中id,iq和θ(图中theta)经过变换得到定子三相电流ia,ib和ic。

仿真开始后，转速和转矩特性曲线经过0.1秒左右的波动后渐趋稳定。在0.5秒加入负载后经过短暂波动后稳定，说明该模型对于外加负载能够正确响应。

为方便观察，三相电流曲线只给出0到0.2秒的时间范围。由于PWM波的调制信号为频率50 Hz的正弦波，因此定子三相电流的频率也是50 Hz，对应图中周期为0.02秒。

4 结论及应用前景

扩展的切换模型将逆变器部分与电机整体考虑，将逆变器的直流电压UDC和开关矢量σ(t)作为模型输入，推导出状态变量id,iq,ω与输入UDC和σ(t)所满足的切换信号控制下的状态方程。MATLAB仿真验证了模型的正确性。

矢量控制是永磁同步电机控制的重要研究方向，目前比较成熟的方法有cosφ=1控制、最大转矩电流比控制、弱磁控制、id=0 控制等。这些方法都是对定子电流、转子位置、转速等状态变量采样后反馈给电流控制器或转速控制器，通过特定的控制算法计算得到d,q轴坐标系下的定子电压，再通过SVPWM模块得到逆变器的开关信号，这种思路将逆变器和永磁电机作为独立的实体来考虑，根据各自的数学模型体现它们在控制系统中的作用。如果考虑上述提出的扩展模型，则消除了逆变器与电机之间uA,uB,uC或者ud,uq的概念，电流控制器根据反馈的状态变量，直接计算输出逆变器的控制脉冲，这种思路减少了控制环节，从理论上分析可以减小中间误差、提高控制精度，同时简化控制系统软件设计。对于转速控制器和电流控制器的具体的控制方法有待进一步的研究。

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Extended Mathematical Model of Permanent Magnet Synchronous Motor

The research on the control system of PMSM is based on its mathematical model. Traditional models of PMSM is usually based on ABC coordinate, α-βcoordinate and d-q coordinate, including flux equation, voltage equation and torque equation. On the basis of traditional models, extended mathematical model is established in the form of state equation, which considers the PMSM and inverter as a whole. The correctness of proposed model is verified by simulation analysis using MATLAB.

PMSM； inverter； mathematical model； simulation

2015-12-25 基金项目: 国家自然科学基金项目(61304024)，中央高校基本科研业务费(3142015101)

杜丽娟(1976-)，女，河北衡水人，华北科技学院电子信息工程学院副教授，研究方向：电机控制。E-mail：200400597dlj@ncist.edu.cn

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1672-7169(2016)01-0116-05