聂庭勇(新疆五家渠高级中学)
从零向量性质的质疑到探究
聂庭勇
(新疆五家渠高级中学)
平面向量是教材改革的新增内容之一,并在高中数学学习中突显了它的重要地位。近年来,关于向量共线的考查,成为向量概念应用的一个深入。关于向量的概念,只有两个要素,一是大小,二是方向。但在向量这一章,有一个很关键的元素——零向量,值得注意。笔者在教学实践中,发现对于一些有关零向量的命题,学生总是把握不准,心存疑惑,甚至提出质疑。例如,思考下面两个问题:
问题一:设b是a的相反向量,则下列说法错误的是 ()
A.a与b的长度必相等
B.a∥b
C.a与b一定不相等
D.a是b的相反向量
答案选C(当a=b=0时)。
问题二:已知下列命题:
①若a=b,b=c,则a=c;
②若a∥b,b∥c,则a∥c;
③若a=b,则a∥b;
④若a∥b,则a与b的方向相同或相反
其中正确命题的序号是①③。
分析:利用平行向量的定义判定时,还需注意零向量与任意向量平行这一特殊情形。
对于①,当a=b≠0时,由相等向量定义知,a与b同向,同理,b与c同向,从而a与c同向,又它们的模相等,所以a=c;当a=b=0时,由b=c推出c=0,所以a=c,故恒有a=c。
对于②,当b=0时,a与c是非零向量,且a与c方向不是相同或相反时,条件成立,但结论不成立。
对于③,由①的结论知其成立。
对于④,a∥b,若a=0时,与b是平行向量,但零向量方向任意,命题不成立。
通过教学的效果来看,部分学生听完讲解后,还是没有真正理解解决问题的关键,总感觉对于零向量这个特殊向量的辨析有些牵强,有的同学甚至提出质疑,“零向量的方向是任意的,可以随意指定它的方向,想它是什么方向它就应该是什么方向。”所以,为了彻底消除顾虑,我与他们在课余做了一次探究。
“教材在讲述平行向量的定义时,明确指出:零向量的方向是任意的,它与任意向量平行。”对于这一规定性定义的解读,我们认为:零向量的方向具有不确定性,它与非零向量共线是由它的特殊性决定的,不能指定它与已知非零向量同向或反向,那样的话,就人为地给零向量施加了限定性条件,违背了规定性定义的本源。
以举例中的一个命题为例:
向量a与b共线,则a与b的方向相同或相反。判断该命题的真假。
甲生:真命题。若a≠0,b≠0,显然成立;若a=0,b≠0,零向量方向任意,可以指定它与b同向或反向。
乙生:假命题。零向量的方向是任意的,我们可以随意去理解它的方向,所以与b不一定是同向或反向。
看到自己的学生能够大胆质疑,说明他们已经研究到了问题的本质,但是针对这样的特殊问题,如何准确抓住性质的本源,引导学生跳出泥淖呢?
师:仍然要立足于教材,“我们规定,零向量与任意向量平行”,这是由它的方向任意这一特殊性而定的,不能根据解题需要而指定它的方向,如果一味强调个人指定的话,甚至可以指定说,零向量与已知非零向量垂直,连共线也不成立了,这不就等于违反教材所给的定义了吗?
所以,不能指定零向量的方向与谁相同或者相反。只能维持原判“零向量的方向是任意的,它与任意向量共线”,谁也不能指定它的方向。
同学们豁然开朗,然后我给出了一道高考题,让学生去考证所思。
例:给出下列命题:
①向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反。
④如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同。
其中成立的是:
A.①②B.③④C.①④D.②③
分析:①中,当a=0时命题不成立。④中当a+b=0时命题不成立,故正确答案选D。
从一个有争议的命题的质疑开始,师生经历了分析查证、合作探索、形成认知的整个过程,让学生由被动听取转变为自主探究,发展了他们的深入理解、迁移推广的能力,更能激发学生的联想思维、兴趣和好奇心,这样的素材在学习和作业中处处存在,老师善于提问,学生勤于质疑,这样的教与学的方式才符合了新课程改革的基本要求和理念,也是本文的一个出发点。
·编辑董慧红