利用导数解决函数的单调性问题探讨

李国东

（吉林省长春汽车经济技术开发区第三中学 吉林长春 130011）

利用导数解决函数的单调性问题探讨

李国东

（吉林省长春汽车经济技术开发区第三中学 吉林长春 130011）

最近几年，高考重点包含了函数单调性这类的内容，学生应能尝试运用导数思路来解决函数单调性。然而，函数单调性的导数解决设置了较繁琐的运算流程，具体在求解时同学们常常会无从下手，进而针对这类题型表现出畏难心态。实际上，函数单调性的导数解决方式还是有规律的，若能妥善把握解题进程中的这种规律性那么即可简便求解。对于此，有必要解析利用导数来求解函数单调性的常见难点。结合解题的实际，探析这类题型合适的解决思路。

导数 函数单调性 解决思路

在某个区间内，函数会表现出特有的单调性。针对这种特性，可以求出详尽的函数取值区段。具体在解题时，还可选用划归或者转化函数的特定思路，把题干给出来的函数转变成可以解析的不等式。利用导数来求解时，导数的思路密切结合了图形及数值，可以划归题干中的函数方程［1］。导数求解单调性的函数具备了较大的难度，日常学习中有必要强化针对性的题型训练，在解题的进程中不断摸索适当的单调性解题方式。

一、函数单调性

利用导数可用来解决单调性的函数，对此先要解析函数单调性。从图形角度看，若横轴方向表现为上升的曲线，那么代表着单调递增的函数；如果曲线下降，则表示为递减。同时，递增或递减的曲线函数都被视作单调函数。在选定了特定区间点后，递增函数的函数值将会伴随自变量同时递增。与之相应，递减函数表现出来的函数值将随自变量递增同时递减。由此可知，若能判断出差值的函数符号，那么可用来辨别单调性。先要设置某区间内的两个变量，递增函数会表现出正数的差值，递减函数则为负数差值［2］。

通常来看，若给出了特定区间那么可以判断单调性，进而归纳得出单调性判断的根本原理。先要设置f（x）特定的函数区间，依照微分定理即可归纳如下的特性：若f（x）的导数大于零，那么在给出来的区间内表现出单调递增的趋势；若导数小于零，那么单调递减。借助导数来求解，这种新思路带来了求解时的更多便利。然而在运用中，也有必要考虑到全方位的要素。具体来看，某些可导性的函数只有在特定的点才是可导的，在其他的点都是不可导的。遇到这种状态，就不可以借用导数符号的判断来识别单调性。

二、解决单调性的导数思路

在解决问题前，先要证实导数可用来判定某些函数单调性。证明的流程为：首先给出f（x）的特定函数并且设置了（a，b）的区间。在指定区间内，函数是连续性的，同时也是可导的。若导数大于零，那么可断定为单调递增，反而单调递减。若要证实定理，那么需要借助单调性的根本原理。针对于（a，b）区间，可以筛选1x及2x这两个数值，它们都属于给出来的区间范围，同时 1x小于2x。

需要明确的是：在某一区间内，许多函数并非设有唯一性的符号。对于此，在解析单调性过程中就有必要细分不同区间［3］。经过作差操作后，依照拉格朗日定律的中值定理可归纳得出结果：假定函数为连续的，可导区间包含了（a，b）。在这时，至少可判断出区间内的某一特定点用来解决单调性这个问题。1x及2x都被归入了区间内，那么可判定符合了设置的连续函数要件，由此也可推知可导性的结论。

例如：在军事领域内，军事坦克通常会配备破甲弹，这类装置可用来打击特定目标。针对于破甲弹，先要给出内部结构并且描绘精准的剖面图，这种基础上可得螺旋式的弹头深度及长度。在这个步骤中，先要计算得出弹头口径及螺旋长度二者的比值。具体解决难题时，学生有必要明确破甲弹可达到的真实深度，进而明确比值增减的总体规律。解决的思路为：选用拟合建模的特定数学思路求出弹头口径及长度的变化规律，然后给出函数式。在这时学生将会发现，若单纯凭借图像很难推测得出精准的量化点，同时也不易判定符号的差值。遇到这种情况，就可以转而寻求导数来解决。

三、探析解题流程及步骤

求解函数自身的单调性时，可借用导数来便利解题。详细的步骤为：先要确认特定区间内的函数，然后选定求导函数。寻找疑点时，需要注意不可导的函数点或者驻点等。最后经过列表，综合衡量而后给出结论。经过解析可知：判定单调性时有必要给出定义域，然后才可分类予以探讨。如果借助分解因式就可以求得方程的根，那么还可判定根的大小并且分类探析。然而，若不可以选用分解因式用来求根，则在划定的定义域范围中还需分别判断出方程的根［4］。

例如：给出的函数式为：f（x）=33x+9x+3。针对这个表达式，先要把原先的函数式更改为导数形态，然后找出疑点。若函数值为零，那么可以舍去不适当的数值。最后通过列表，求出在哪个区间内函数是单调递增的，在哪个区间中是单调递减的。解析函数单调性过程中，导数提供了更便捷的新思路。在解题步骤中，关键点为寻找不可导的函数点然后予以排除。

在另外一类题型中，由单调性可推断出取值区间内的参数。在某个区间中，函数呈现出特定的单调性。经过化归转化，可把原题改成恒成立的不等式求解。与此同时，也可以密切结合数形，采纳方程及函数的特定思路来寻求精确的图形交点。这类题型可归结为：已知单调性的状态下，要求同学们探析参数可取到的数值范围。通常来看，如果函数是可导的，那么唯有f（x）的导数在特定区间内取到的所有值都大于零，才可以判定为递增函数［5］。如果是减函数，那么f（x）的导数小于零的关系式将会恒成立。

结语

求解单调性时，多数学生倾向于借助于根本定义来具体解决。然而，这种求解并不适用于较复杂图像的单调性函数，这样做就会增添后期求解中的难度。在改进解题时，师生可视情况引入特定的导数工具，在根本上便利了各步骤的函数求解。利用导数来解决单调性函数的难题也具备了创意，可以调动针对于函数题目的解答兴趣。具体在讲解时，教师还可引入设问并且指引学生去猜想，进而证实导数求解的可行性。

［1］刘君，陈庆文. “利用导数求函数单调性”的教学设计［J］. 才智，2014（13）：169.

［2］于海青. 如何利用导数解决函数的单调性问题［J］. 求知导刊，2014（04）：127.

［3］丁明杰. 浅谈导数在高中数学中的应用［J］. 学周刊，2012（06）：122.

［4］陈建国. 浅谈导数的应用［J］. 经营管理者，2015（22）：413-414.

［5］杨洪涛，张艳婷. 导数在高中数学函数中的应用［J］. 旅游纵览（下半月），2013（07）：193.