有限群的Φ-可补性

刘会彩，谢凤艳

（1.许昌电气职业学院公共教学部，河南　许昌461000；2.安阳师范学院　人文管理学院，河南　安阳455002）

有限群的Φ-可补性

刘会彩1，谢凤艳2

（1.许昌电气职业学院公共教学部，河南许昌461000；2.安阳师范学院人文管理学院，河南安阳455002）

研究了有限群的c-正规和Φ-可补性质，并利用Sylow子群的极大子群的c-正规和Φ-可补性得到超可解群的两个充分条件。

c-正规子群；Φ-可补子群；超可解群；极大子群

在群论研究领域，群的结构备受关注。利用子群的性质研究群的结构是研究有限群的主要手段。WANG Yanming［1］利用群的极大子群的c-正规性研究了群的可解性。谢凤艳等［2］利用准数子群的性质研究了群的幂零性和超可解性。张英杰等［3］推广了c-正规概念，并得到可解群的充分条件。於遒［4］引入Φ-可补的概念，并给出了Φ-可补的一些性质。王燕等［5］利用Sylow子群的极大、极小子群的c-正规性和Φ-可补性研究了有限群的p-幂零性。在此基础上，笔者利用Sylow子群的极大c-正规性和Φ-可补性研究了有限群的超可解性，得到了超可解群的两个充分条件。

1　预备知识

本文中的多数符号和术语来源于群论的教课书，其余的符号和术语见文献［6-7］，所用到的群都是有限群。

定义1［5］：设G是一个群，H是G的子群，若G中有正规子群T，使得G=HT，且有H∩T=HG或者H∩T≤HG，其中HG是包含在H中G的最大正规子群，则称H在G中c-正规。

定义2［5］：设G是一个群，H是G的子群，若G中存在正规子群T，使得G=HT，且H∩T=Φ(H)或者H∩T≤Φ(H)，其中Φ(H)为H的Frattini子群，则称H在G中Φ-可补。

引理1［5］：对于群G，以下结论是成立的。

1）若H≤M≤G，且H在G中c-正规（Φ-可补），则H在群M中c-正规（Φ-可补）。

2）若N◁G，N≤H，且H在G中c-正规（Φ-可补），则H/N在G/N中c-正规（Φ-可补）。

3）若E◁G，H≤G，(|H|,|E|)=1，且H在G中c-正规（Φ-可补），则HE/E在G/E中c-正规（Φ-可补）。

引理2［8］：如果G有循环正规子群E，使得G/E为超可解群，则G为超可解群。

引理3［9］：设P是G的Sylow子群，且N◁G，若P∩N≤Φ(P)，则N为p-幂零群。

引理4：设p是G的一个最小素因子，P是G的Sylow p-子群，若P的极大子群在G中Φ-可补，则G为可解群。

证明：假设结论不成立，并假设G是极小反例，N 是G的极小正规子群。

如果NP=G，则G/N为p-群。如果R也是G的一个极小正规子群，且有R≠N，则G/R为p-群，且R∩N=1。因为G≅G/(R∩N)同构于G/ R× G/ N的一个子群，所以G为可解群，这与假设矛盾，故N是G的唯一极小正规子群。

设M/N是G/N的极大子群，且|G/ N: M/N| =p ，则G=M P，又设H=M∩P，则|P:H|= |M∩P: P|=|MP: M|=|G: M|=|G/ N: M/N|=p ，故H是P的极大子群，因而G中有正规子群T，使得G=HT，且H∩T=Φ(H)，因N是G的唯一极小正规子群，故有N≤T，又因为N≤M，且H正规于P，从而有P∩N≤P∩M∩T=H∩T=Φ(H)≤Φ(P)。由引理3可知，N为p-幂零群，故N为可解群，从而G也为可解群。

如果NP≠G，由引理1可知，P的极大子群在NP 中Φ-可补。由于G是极小反例，故NP为可解群，因而N为初等交换q-群。

若q≠p，由引理1可知，G/N满足定理的条件，因而G/N 为可解群。

若q=p，可设H/N是P/ N的极大子群，则有N≠P，且H是P的极大子群。由引理1可得，H/N 在G/N中Φ-可补，故G/N 满足引理4的条件。因为G是极小反例，所以G/N 为可解群。又因为N为交换群，所以G必为可解群。

2　主要结论

定理1：若群G的任意Sylow子群的极大子群在G中c-正规或者Φ-可补，则G是超可解群。

证明：假设结论不成立，并令G是极小反例，现在通过以下步骤完成证明过程。

1）若N是G的极小正规子群，则G/N 为超可解群。

设p是G/N的任意一个素因子，且有K/N∈Sylp(G/N)，则存在G的一个Sylow p-子群P，使得K=PN。

设M/N是K/N的极大子群，且H=M∩P ，则有M=M∩PN=(M∩P) N=HN，MP=MPN= NP，且H∩N=M∩P∩N=P∩N是N的Sylow p-子群，因而|P: H|=|M∩P: P|=|MP: M|=|NP: M | =p，故H是P的极大子群，由已知条件可知，H 在G中c-正规或者Φ-可补，即G中有正规子群T，使得G=HT，H∩T=HG或者H∩T=Φ(H)，且G/N=(HN/N)(TN/N )。因为G=HT，且H是p-群，而|N: T∩N|=|NT: T|为p′−数，所以为P-数，因此有(|N: H∩N|,|N: T∩N|)=1，从而有(H∩N)( T∩N)=N=N∩HT。又由文献［10］可知HN∩TN=(H∩T) N，因而有(HN/N)∩(TN/N ) =(H∩N) N/N=HGN/N≤(HN/N)(G/ N)，或者有(HN/N)∩(TN/N)=(H∩TN) N/N=Φ(H) N/N ≤Φ(HN/N )。因为(TN/N)◁(G/N )，所以有HN/N在G/N 中c-正规或者Φ-可补。由于G是极小反例，故G/N 为超可解群。

2）N是G的唯一极小正规子群，且Φ(G)=1。

如果R是G的一个极小正规子群，且R≠N，则G/ R为超可解群，且R∩N=1。因为G≅G/(R∩N)同构于G/R×G/N的一个子群，所以G为超可解群，这与G是极小反例矛盾，故N是G的唯一极小正规子群。若Φ(G)≠1，则N≤Φ(G)，由步骤1）可知G为超可解群，这与假设矛盾，说明Φ(G)=1是成立的。

3）N是不可解群，且G的Sylow子群的极大子群在G中Φ-可补。

如果N是可解群，则N为初等交换p-群，因而存在G的一个极大子群M，使得G=NM，且有N∩M=1。设L∈Sylp(M)，则有P=NL∈Sylp(G)，又设H是包含L的P的极大子群，且有L≤H，则由定理的条件可知，H在G中c-正规或者Φ-可补，即G中有正规子群T，使得G=HT，且H∩T =HG，或者H∩T=Φ(H)。因为N是G的唯一极小正规子群，所以N≤T。若H∩T=Φ(H)，则有H=H∩P=H∩NL=(H∩N) L≤(H∩T) L = Φ(H) L ，因而L=H是P的极大子群。因为P= NL，且N∩L=1，所以|N|=p。因为G/N是超可解群，所以G为超可解群，这与假设矛盾，因而H在G中非Φ-可补，故H∩T=HG≠1。因为N是G的唯一极小正规子群，所以有N≤HG≤H 。又因为P=NL，且L≤H，所以有P=H，这与H是P的极大子群矛盾，因此N是不可解群。又因为N是G的唯一极小正规子群，所以对于任意p-子群H，有HG=1，从而G的任意Sylow子群的极大子群在G中Φ-可补。

4）结论的证明。

设p是G的一个最小素因子，故G的Sylow p-子群P的极大子群在G中Φ-可补。由引理4可得G为可解群，这与N是不可解群矛盾，从而说明G是极小反例的假设不成立，故G是超可解群。

定理2：若群G存在正规子群E，使得G/ E 为超可解群，且E的任意Sylow子群的极大子群在G中c-正规或者Φ-可补，则G是超可解群。

证明：假设结论不成立，并令G是极小反例。设N是G的极小正规子群，仿照定理1中步骤1）和步骤2）的证明过程可知，G/N 为超可解群，N 是G的唯一极小正规子群，且有Φ(G)=1，故G为可解群，因而N为初等交换p-群。设M是G的一个极大子群，则有G=NM和N∩M=1成立。设K∈Sylp(M)，则Gp=NK∈Sylp(G)。设L是GP的极大子群，且K≤L，且令R=K∩E，P=Gp∩E和H=L∩E，则Gp=NL=PL，P=NR，R≤H。因为E◁G，所以P∈Sylp(E)，且|P: H|=|P:(L∩E∩Gp)| =|P:(L∩P)|=|PL: L|=|Gp:L|=p ，故H是P的极大子群。由已知条件可知，H在G中c-正规或者Φ-可补，即G中有正规子群T，使得G=H T，H∩T=HG，或者H∩T=Φ(H)。因为N是G的唯一极小正规子群，所以有N≤T。若H∩T=Φ(H)，则有H=H∩P=H∩NR=(H∩N) R≤(H∩T) R = Φ(H) R，故R=H是P的极大子群。因为P=NR，且N∩R=1，所以有|N|=p。因为G/N为超可解群，所以由引理2可知G为超可解群，这与假设矛盾，从而说明H在G中非Φ-可补，故H∩T=HG≠1。又因为N是G的唯一极小正规子群，所以N≤HG≤H，且P=NR，R≤H，因而有P=H，这与H是P的极大子群矛盾，从而说明G是极小反例的假设不成立，故G是超可解群。

推论1：若群G的任意Sylow子群的极大子群在G中c-正规，则G是超可解群。

推论2：若群G的任意Sylow子群的极大子群在G中Φ-可补，则G是超可解群。

［1］WANG Y M.C-normality of Groups and Its Properties ［J］.Journal of Algebra，1996，180（3）:954-965.

［2］谢凤艳，郭文彬，李保军.广义置换子群理论中的一些公开问题［J］.中国科学A辑：数学，2009（5）：593-604.

［3］张英杰，杨立英，周洋，等.有限群的拟c-正规与c-正规［J］.广西师范学院学报（自然科学版），2014（3）：23-26.

［4］於遒.若干代数系统的自同构与导子及局部性质［D］.徐州:中国矿业大学，2008.

［5］王燕，谢凤艳，於遒.p-幂零子群的两个充分条件［J］.高师理科学刊，2015，35（4）：1-4.

［6］郭文彬.群类论［M］.北京：科学出版社，2000：1-56.

［7］徐明曜.有限群初步［M］.北京：科学出版社，2014：1-47.

［8］BRAY H G，DESKINS W E，JOHNSON D，等.幂零与可解之间［M］.张远达，文志雄，朱德高，等译.武汉：武汉大学出版社，1988：32.

［9］DOERK K，HAWKES T O.Finite Soluble Groups［M］. Berlin:Walter de Gruyter，1992:53.

［10］HUPPERT B.Endiche Gruppen I［M］.Berlin:Springer-Verlag，1967:190.

【责任编辑王云鹏】

Φ-Supplemented Properties of Finite Groups

LIU Huicai1，XIE Fengyan2
（1.Department of Public Teaching，Xuchang Electric Vocational College，Xuchang 461000，China；2.Humanistic Management College，Anyang Normal University，Anyang 455002，China）

In this paper，the properties of c-normal subgroups and Φ-supplemented groups were studied.Two sufficient conditions for supersolvable groups were obtained by c-normality and Φ-supplementary of the maximal subgroups of the Sylow subgroups.

c-normal subgroups；Φ-supplemented subgroups；supersolvable groups；maximal subgroups

O152.1

A

2095-7726（2016）03-0004-03

2015-12-23

河南省高等学校重点科研资助项目（15A110048）

刘会彩（1983-），女，河南许昌人，硕士，研究方向：分形几何与动力系统。