椭圆内接梯形的一个性质



椭圆内接梯形的一个性质

江苏省兴化市戴南高级中学(225721)朱传美江苏省兴化市戴南中心小学(225721)李晓芳

文[1]就2013年湖北省的一道解几竞赛题做了很有意义的思考，得到了很好的性质，笔者读后深有感触，继续做了一点思考，发现文[1]的证明略显繁琐，并且还发现了椭圆内接梯形的一个性质，整理如下，与徐老师共勉.

在证明此定理前，需要用到以下两个引理：

引理1在梯形ABCD中，AB∥CD，AD交BC于M， AC交BD于N，E、F分别是AB、CD的中点，则M、N、E、F四点共线.

这两个引理的证明就留给读者.

由引理1和引理2很快能证得O、G、M、N四点共线，文[1]的证明略显复杂一点.

下面给出定理的证明：

图1

(2)当AB∥CD，且斜率存在时(如图2)，设直线AB的方程为y=kx+m，直线CD的方程为y=kx+n(|m|≠|n|).

图2

综合(1)和(2)可得OM·ON=OG2.

当然，上述结论也可以类比到双曲线和抛物线，这里不再说明，更进一步的探究就留给读者去完成.

参考文献

[1]徐全德.2013年湖北省高中竞赛解几题的简证、推广和引申[J]，数学通讯(上)，2013(11、12):85-86.