对斜面上最佳抛射问题的深入研究

杨圣智　杨月春

摘 要：文章对斜面上最佳抛射问题进行了深入研究。

关键词：最佳抛射角；射程；射高；运动时间

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2016）1-0056-2

1 引 言

在斜面上斜抛物体的最佳抛射角和射程计算公式已经有人进行了推导。比如在图1中，最佳抛射角α=45 °- ，射程s= · 。下面对这个问题作进一步研究，计算抛体的射高和运动时间，讨论对斜面而言的“最高点”两侧，运动时间的不等时性和运动尺度的不对称性[1-3]。

2 计算射高

物体P被抛出后沿抛物线运动，抛物线所在平面与斜面的交线为OA，如图2所示。当物体沿抛物线运动到坐标为（x，y）的点时，从它向直线OA作垂线PB交OA于点B，设PB的长度为h。如果是在最佳抛射条件下，相对于斜面来说，仍把h的最大长度叫“射高”（对应的y值不一定最大），从几何关系可以看出：

h=（y-xtanθ）cos θ=

[xtan（α+θ）- -xtanθ] cosθ=

{x[tan（α+θ）-tanθ]- }cosθ=

{ [tan（α+θ）-tanθ]x-x2} =

{ [tan（α+θ）-tanθ]2-

[x- [tan（α+θ）-tanθ]]2}。

显然，当xh= [tan（α+θ）-tanθ]时，h最大，hmax={ [tan（α+θ）-tanθ]2}cosθ。给出已知条件，可以算出射高的具体数值。

3 计算运动时间

总运动时间这样来计算：

scosθ=x=v0cos（α+θ）t总。

t总= = =

。

相对于斜面来说，物体自抛出运动到“最高点”（y值不一定最大）所用时间为

th= = =

cos（α+θ）[tan（α+θ）-tanθ]。

显然，th≠ t 。即相对于斜面来说，在“最高点”两侧，抛体运动不具有等时性。

由s·cosθ= · ≠2xh= [tan（α+θ）-tanθ]可以知道，在“最高点”两侧，抛体运动尺度也不具有对称性。

参考文献：

[1]杨月春.斜面上任意抛射的最佳抛射角[J].大学物理，2008，27（5）：12—14.

[2]熊欣.对上抛运动一类题型的解法探讨[J].物理教学探讨，2014，32（9）：50—52.

[3]杨月春.最佳抛射角与抛体受力方向的关系[J].中学物理，2011（6）：57—58.

（栏目编辑 王柏庐）