“空间向量与立体几何”备考进行时

在江苏新课标高考中，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明线线、线面、面面的平行与垂直，以及空间角（线线角、线面角、面面角）与距离的求解问题，历来是附加题命题的热点，难度中等.那么立体几何中的空间向量法主要涉及哪些问题呢？

一、利用向量证明平行与垂直

例1如图所示，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M在PB上，PB=4PM，PB与平面ABCD成30°的角.

（1）求证：CM∥平面PAD;

（2）求证：平面PAB⊥平面PAD.

分析：（1）建立空间直角坐标系，证明向量CM与平面PAD的法向量垂直.（2）取AP的中点E，利用向量证明BE⊥平面PAD即可.

证明：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.

∵PC⊥平面ABCD，

∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，

∴∠PBC=30°.

∵PC=2，∴BC=23，PB=4.

∴D（0，1，0），B（23，0，0），A（23，4，0），P（0，0，2），M（32，0，32），

∴DP=（0，-1，2），DA=（23，3，0），CM=（32，0，32），

（1）令n=（x，y，z）为平面PAD的一个法向量，则DP·n=0，

DA·n=0，

即-y+2z=0，

23x+3y=0，∴z=12y，

x=-32y，

令y=2，得n=（-3，2，1）.

∵n·CM=-3×32+2×0+1×32=0，

∴n⊥CM，

又CM平面PAD，∴CM∥平面PAD.

（2）取AP的中点E，并连接BE，则E（3，2，1），BE=（-3，2，1），

∵PB=AB，∴BE⊥PA.

又BE·DA=（-3，2，1）·（23，3，0）=0，

∴BE⊥DA，则BE⊥DA.

∵PA∩DA=A.∴BE⊥平面PAD，

又∵BE平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.

评注：（1）证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证明直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可.证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明.

二、利用空间向量求线线角、线面角

例2如图，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°.

（1）求DP与CC′所成角的大小;

（2）求DP与平面AA′D′D所成角的大小.

分析：由正方体的几何特征，易于建立空间坐标系，关键在于求直线DP的一个方向向量，可延长DP交D′B′于点H，可转化为向量DH的坐标.

解：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，建立空间直角坐标系Dxyz，

设正方体棱长为1，则DA=（1，0，0），CC1=（0，0，1）.连接BD，B′D′，在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.

设DH=（m，m，1）（m>0），由已知〈DH，DA〉=60°，

由DA·DH=|DA||DH|cos〈DH，DA〉，可得2m=2m2+1.

解得m=22，所以DH=（22，22，1）.

（1）因为cos〈DH，CC′〉=22×0+22×0+1×11×2=22，

所以〈DH，CC′〉=45°.即DP与CC′所成的角为45°.

（2）平面AA′D′D的一个法向量是DC=（0，1，0）.

因为cos〈DH，DC〉=22×0+22×1+1×01×2=12，所以〈DH，DC〉=60°.

可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.

评注：1.用向量法求线线角，线面角的一般步骤为：①建立恰当的空间直角坐标系;②求出相关点坐标，写出相关向量坐标;③结合公式进行计算.解本题的关键在于求向量DH的坐标，根据向量平行，求向量DH，简化了解题过程.

2.（1）异面直线所成角θ（0°<θ≤90°），设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则cosθ=|cos〈a，b〉|=|a·b||a|·|b|.（2）线面角θ（0°≤θ≤90°）.设a是直线l的方向向量，n是平面的法向量，则sinθ=|cos〈a，n〉|=|a·n||a|·|n|.

三、利用向量求二面角

例3如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点.

（1）证明B1C1⊥CE;

（2）求二面角B1CEC1的正弦值;

（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26，求线段AM的长.

分析：由条件特征，易建立空间坐标系，方便运用向量求解.（1）利用向量证明B1C1·CE=0;（2）求平面B1CE与平面CEC1的法向量，进而求二面角的正弦值;（3）设出EM=λEC1，根据线面角求λ，进一步求出AM的长.

解：（1）证明：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）.

（1）易得B1C1=（1，0，-1），CE=（-1，1，-1），

于是B1C1·CE=0，所以B1C1⊥CE.

（2）B1C=（1，-2，-1）.设平面B1CE的法向量m=（x，y，z），

则m·B1C=0，

m·CE=0，即x-2y-z=0，

-x+y-z=0.消去x，得y+2z=0，

不妨令z=1，可得一个法向量为m=（-3，-2，1）.

由（1）知，B1C1⊥CE，

又CC1⊥B1C1，从而B1C1⊥平面CEC1.

故B1C1=（1，0，-1）为平面CEC1的一个法向量.

于是cos〈m，B1C1〉=m·B1C1|m|·|B1C1|=-414×2=-277，从而sin〈m，B1C1〉=217，

所以二面角B1CEC1的正弦值为217.

（3）AE=（0，1，0），EC1=（1，1，1），设EM=λEC1=（λ，λ，λ），0≤λ≤1，有AM=AE+EM=（λ，λ+1，λ）.可取AB=（0，0，2）为平面ADD1A1的一个法向量.

设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，

则sinθ=|cos〈AM，AB〉|=|AM·AB||AM|·|AB|=2λλ2+（λ+1）2+λ2×2=λ3λ2+2λ+1，

于是λ3λ2+2λ+1=26，解得λ=13，

∴AM=（13，43，13），故AM=2.

评注：1.（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②直线的方向向量与平面法向量夹角不是线面角.（2）利用方程思想进行向量运算时，要细心注意运算的准确性.2.求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.其计算公式为：设m，n分别为平面α，β的法向量，则θ与〈m，n〉互补或相等，|cosθ|=|cos〈m，n〉|=|m·n||m||n|.

四、利用空间向量求解开放性问题

例4如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.

（1）求证：A1C⊥平面BCDE;

（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小;

（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由.

分析：（1）通过证明DE⊥平面A1CD来证明DE⊥A1C.（2）以点C为坐标原点建立空间直角坐标系，求平面A1BE的法向量，用向量法求解.（3）假设点P存在，设出其坐标，然后求出平面A1DP的法向量，利用两个平面的法向量垂直求解.

解：（1）证明：∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC.

∴DE⊥A1D，DE⊥CD，

∴DE⊥平面A1DC，从而DE⊥A1C.

又∵A1C⊥CD，CD∩DE=D，

CD平面BCDE，DE平面BCDE，

∴A1C⊥平面BCDE.

（2）如图所示，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz，则A1（0，0，23），D（0，2，0），M（0，1，3），B（3，0，0），E（2，2，0）.

设平面A1BE的法向量为n=（x，y，z），则n·A1B=0，n·BE=0.

又A1B=（3，0，-23），BE=（-1，2，0），

∴3x-23z=0，

-x+2y=0.

令y=1，则x=2，z=3.∴n=（2，1，3）.

设CM与平面A1BE所成的角为θ.

∵CM=（0，1，3），∴sinθ=|cos〈n，CM〉|=n·CM|n|·|CM|=48×4=22.

∴CM与平面A1BE所成角的大小为π4.

（3）线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直，理由如下：

假设这样的点P存在，设其坐标为（p，0，0），其中p∈[0，3].

设平面A1DP的法向量为m=（x′，y′，z′），则m·A1D=0，m·DP=0.

又A1D=（0，2，-23），DP=（p，-2，0），

∴2y′-23z′=0，

px′-2y′=0.

令x′=2，则y′=p，z′=p3.∴m=（2，p，p3）.

平面A1DP⊥平面A1BE，当且仅当m·n=0，则4+p+p=0.解得p=-2，与p∈[0，3]矛盾.

∴线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直.

评注：立体几何开放性问题求解，（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论.（2）假设所求的点或线存在，设定参数表达已知条件，并把要成立的结论作为条件进行运算，求出参数.

（作者：孙伟，江苏省如皋中学）