突出数学核心素养 着眼学生能力发展*——2016年全国数学卷（Ⅱ）试题特点分析

☉重庆市教育科学研究院 张晓斌☉重庆市南开中学 黄亿君

突出数学核心素养 着眼学生能力发展*
——2016年全国数学卷（Ⅱ）试题特点分析

☉重庆市教育科学研究院 张晓斌
☉重庆市南开中学 黄亿君

重庆市经历了12年的高考数学自主命题后，今年又开始使用全国卷（Ⅱ），不管是从老师的教学还是学生的应试，都有一个改变和适应的问题，所以我们是怀着一颗忐忑的心打开2016年全国高考数学试卷的，通做一遍之后，熟悉感和亲切感油然而生，动荡的心才得以平静.

之所以有这种感觉，得益于本套试卷的最大特点：稳定.与往年全国卷比较，保持了极大的稳定性，这表现在三个方面：一是试卷结构稳定；二是考查内容稳定，试卷仍然以高中数学常见板块作为支撑，重点知识重点考查，知识覆盖面广，既体现了基础性，又兼顾了综合性；三是考查难度稳定，试卷难易适度，难易题比例适当，先易后难，适合学生的应试心理.

整套试卷给我们最大的感受是稳定而不平庸，科学严谨但不失灵活与创新，试卷以常见素材为载体，多角度、多层次地全面考查考生的数学核心素养，考查考生的各种数学能力，突出对逻辑推理、数学运算、创新应用意识与中国优秀传统文化的考查，在难度适中的基础上，又较好地保持了区分度，突出了试卷的选拔功能.总体来讲，这是一套高质量的高考数学试卷.

一、试题特点分析

1.注重基础，平实近人

综观全卷基本题和基础题构成了全卷的主体，考生考后反应平静，没有出现意外情况.如选择题前9个、填空题前3个、解答题前3个和三选一的题都是由基本知识、基本方法和常见材料构成的，这对绝大多数学生来说，他们都会做到一个满意的基本分，无形中会增添考生完成全卷的信心.

2.立德树人，贴近实际

试卷关注社会热点问题，贴近考生实际，如理科第5题以同学到老年公寓参加志愿者活动的公益事业为背景，并配以形象直观的图片，文科第8题以某人在某路口人行道处等待红绿灯时间的交通规则为背景，都使考生有熟悉与亲切的感觉，从中让学生潜移默化地提高道德认知和思想觉悟；又如文科第9题和理科第8题通过秦九韶算法，增强考生对我国古代数学辉煌成就的自豪感；再如文理科第18题的试题背景是保险的购买与赔付，而且试题描绘的问题情景与目前市面上保险公司流行条款吻合，大多数城市考生比较熟悉，不会花大量的精力用于题目情景的理解，有利于考生对问题的解答.同时要求考生熟悉当今社会生活的热点问题，提高人们对现实生存能力的认识.

3.体现差异，文理联姻

虽从整体上看，文科试题难度要比理科试题略低一些，但是文科平均分仍比理科平均分低，这是文科学生本身数学基础与水平要比理科学生差很多造成的.本次试题充分考虑了文理科学生的数学差异，相对简单的题目文理科相同的题较多，如文科第6题与理科第4题，文科第7题与理科第6题，文科第9题与理科第8题，文科第15题与理科第13题，文科第16题与理科第15题，三选一的第22～24题，全卷共计6道题相同；相对较难的题目往往命成姊妹题或“血缘题”，根基相同，大同小异，文科往往比理科简单些，如文理科第18、19题，文科压轴题第21题与理科第20题等都是姊妹题，占3道题.这样全卷不同的题目就有13道，它们也是文科题比理科题相对简单些.因此，文理两套试卷体现了既联姻又有显著差异的特点.

4.依据课标，重视教材

本套试卷所有题目内容均严格按照《普通高中数学课程标准（实验）》的内容与要求来命题，同时注重教材有关内容的拓展，依标靠本，引导广大师生重视课标和教材的学习，而不是考什么才学什么，而是学了什么才有可能考什么，学了不一定考，不学也有可能考，考的一定是学过的，不考的也可能是要求学的，总之，让学生多一些知识的积累，多一些视野，多一些思考，多一些智慧和力量，这是学生今后终身发展的需要.如课标中要求“通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献”，［1］不少课标教材中算法案例这节都列举了“秦九韶算法”，［2］［3］［4］这次文理科试卷中都有同一道体现中国古代计算多项式值的秦九韶算法的程序框图题；又如课标中要求“了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）.”［1］同时课标中还用例3通过计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，估计圆周率的值.［1］同样所有课标教材中都有这种估计圆周率的值的例子.［2］［3］［4］这次理科第10题就是这些随机模拟例子的拓展改编，其意图非常明显，通过考试命题进一步促使广大师生的教学方式的转变，落实课标要求，回归教材内容，规避教辅资料.

5.回避套路，强调能力

数学是培养理性思维的重要途径，通过对数学的学习，我们希望学生提高逻辑推理能力，以及分析问题和解决问题的能力.但是现实中，学生为了应对高考，却陷入了题海，不停的刷题，重复、模仿，最终形成了一系列“成功”的应试套路.为了改变这一局面，这套试题作了一些有益的尝试，如文科第16题和理科第15题，没有公式、没有原理，没有运算，没有成熟的解题套路，需要的只是学生的逻辑推理能力，这种通过所学基础知识，获得解决问题的方法并能用之解决生活实际中遇到的问题，正是我们希望学生所具有的能力之一.

6.易题求新，难题重质

试卷对题目难易的处理上也是独具匠心的.对于容易题，在降低难度的同时，不忘求新求变，比如文理科第17题，这是第一个解答题，在设计上这是一个难度较小的解答题，但是命题者在学生所熟知的数列中巧妙地引入了高斯函数，使这个题目瞬间摆脱了平庸.高斯函数学生并不是特别熟悉，需要学生有一个对新信息新定义的分析处理过程，并还要与数列知识进行整合，这样在考查学生基础的同时还不知不觉地考查了学生阅读理解和综合运用知识的能力.而对于较难题，命题者则更加全面地赋予它多项功能与职责，比如理科压轴题第21题，这是一个关于函数导数的题目，选材合理，这个内容是高中数学的重中之重，也是高中数学和大学数学的一个衔接内容，对它的考查还可以看出学生的后续学习能力.然而，对这个题目的解决要求学生不仅要有坚实的数学基础知识，还要有深厚的数学功底，若想得满分，则学生数学严谨性的思维推理必不可少.命题者对这个题肯定抱有很大期望，全卷的区分度、选拔功能全靠它了，可谓命题者煞费苦心.

7.史海掘金，推陈出新

试卷中文科第9题和理科第8题以秦九韶算法为命题素材，秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他在《数书九章》中概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，尤其是系统总结和发展了高次方程的数值解法与一次同余问题的解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，对数学发展产生了广泛的影响.［5］秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法.其大大简化了计算过程，即使在今天，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在中国数学发展史上占有十分重要的地位，本题以此为素材确有弘扬中国优秀文化的意义.另外理科第10题考查了利用概率求π的近似值，它在数学史中能找到原型，这就是著名的“蒙特卡罗方法”，也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法.使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法，其基本思想是当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解；1777年，法国数学家布丰提出用投针实验的方法求圆周率π，这被认为是蒙特卡罗方法的起源.［6］试卷以此为原型挖掘出题点，不仅可增强本套试卷的文化底蕴，还可以起到弘扬数学文化，培养学生对数学学习兴趣的作用.

8.注重素养，考查思想

本套试卷注重对数学核心素养的考查，全卷除对数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数据分析、数学建模等六个核心素养的考查外，特别对数学思想与方法进行了考查，如理科第12题，题目中给出了一个函数f（x）满足f（-x）=2-f（x），实际上，学生可以马上构造一个满足要求的特殊函数f（x）=x+1，问题就可以迎刃而解，这是典型的特殊与一般思想的应用；数形结合能力好的学生还会马上看出函数f（x）的图像关于（0，1）对称，从而可以秒杀此题.又如文科第21题和理科第20题的第（1）小题，利用数形结合很容易发现AM与AN的对称性，从而使解题变得轻松自如.像这样既考查学生的数学核心素养，又考查学生的数学思想方法的领悟与运用的试题不胜枚举.

二、命题改进建议

1.本次试卷的选择题还需充分发挥其选择的功能

多数选择题都是定性定量的结果式的题目，四个选项的干扰性、迷惑性和筛选性不强；另外12个选择题的梯度不够明显，特别是最后两个选择题难度不大，未能翘起来，今年选择题考生的平均分也刚好说明了这点，这都有待命题者今后进一步加以改进.

2.本次试卷的填空题结果不唯一，表达形式各异，给阅卷带来麻烦

3.个别解答题题面叙述令人费解，个别背景材料部分学生不熟悉，造成考生理解出现障碍

如理科第21题第二小题“当a∈［0，1）时，函数g（x）=有最小值.设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域.”由于此题中间是用句号隔开的，因此部分学生认为求函数h（a）的值域，不是在前提条件a∈［0，1）下来解决，使得这部分学生未拿到自己应有的分数.又如文科第21题第（2）小题若改成“当|AM|=|AN|时，存在常数k，使得k∈（，2）”就更好了.再如文理科解答题第18题题目中“某险种的基本保费”，许多边远山区和农村中学的考生对“险种”、“基本保费”不熟悉不理解，造成失分甚至是零分，本题文理科包括零分人数的平均分分别是5.21、7.85，不包括零分人数的平均分分别是8.08、8.94，这也说明了本题考生失分或零分人数较多.考后访谈部分学生，也反映未能读懂本题题意，致使不做或胡乱猜测估摸着做一点.这需要命题者今后注意选择背景材料的公平性和考生的熟悉程度.

4.部分解答题的运算量偏大，个别运算结果不太美观，造成考生不信服或怀疑自己，浪费不少宝贵的考试时间

真不知是有意还是无意，本套试卷考验了学生的应试心理.考生在经过前面题目的顺风顺水之后，忽然遇到了文理科立体几何题和解析几何题的大运算，运算能力不太好的同学当时的焦躁与紧张是可以想象的.特别是理科第19题，最后得出的答案是，这么任性的答案你见过么？许多同学特别是优生都认为这个奇葩的答案肯定是不正确的，因此还要回过头去再算一遍，甚至是两遍的同学都大有人在.由于文理科解析几何题突出地考查了用代数解决几何问题的本质思想，使得数式运算量偏大，如若再增强对几何性质的运用，这样就会减少运算的繁难程度，使得解析几何题既不失去它的本质特征，又不会增加过多的繁难运算.

文科最后一道压轴题平均分分别为0.65，理科最后两道压轴题平均分分别为1.88、1.78，这说明难度太大，不做的考生更多，形同虚设，失去了它应有的意义，建议适当增加台阶（如设置三个小题），减缓过陡的坡度，让考生思考自然流淌，把思维引向远方.

1.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.张景中，黄楚芳.普通高中课程标准实验教科书数学第五册（必修）［M］.长沙：湖南教育出版社，2015.

3.刘绍学.普通高中课程标准实验教科书·数学3（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

4.严士健，王尚志.普通高中课程标准实验教科书·数学3（必修）［M］.北京：北京师范大学出版社，2014.

5.徐品方.数学简明史［M］.北京：学苑出版社，1992.

6.尹斌庸.古今数学趣话［M］.成都：四川科学技术出版社，1985.

重庆市教育科学“十二五”规划2015年度重点课题“高中数学课堂教学中自主学习实施途径与策略的研究”（课题批准号：2015－JC－009，课题负责人：魏云楼）的阶段性研究成果.