强化几种意识 破解向量最值问题*

□郭建华 于 健

（南京市第二十九中学，江苏南京 210036；南京市金陵中学，江苏南京 210005）

强化几种意识 破解向量最值问题*

□郭建华 于 健

（南京市第二十九中学，江苏南京 210036；南京市金陵中学，江苏南京 210005）

学生遇到较灵活的向量最值问题时还是会出现思维受阻的情况.教师在教学中应该强化六种意识，帮助学生形成向量解题意识，突破向量最值问题的解题“瓶颈”.同时引导学生总结提炼向量最值问题中所蕴含的数学思想方法，让学生进一步理解和把握变量分离法、数形结合方法（基于几何表示的几何法，基于坐标表示的代数法）、方程思想、化归与转化思想方法的实质，积累解题经验，发展思维能力.

意识；向量；最值问题

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种有效工具，有着极其丰富的实际背景.平面向量是高考考查的重点知识之一，特别是与最值相关的题目，更是备受命题者的关注.其设计精巧、入口宽、解法灵活，可有效考查学生用向量的语言和方法表述和解决一些问题，同时也发展学生的运算能力以及分析问题、解决问题的能力.但学生遇到较灵活的向量最值问题时还是不知所措，思维受阻，错误率高.笔者认为在平时的教学中应该着重培养学生的“几种意识”，让学生形成“向量思想”，以此突破向量最值问题.下面笔者试举例加以分析.

一、“坐标”意识

所谓“坐标”意识，是指通过构建直角坐标系，将向量改用坐标表示，将要求解的目标转化为代数问题来处理的一种思维方式.“坐标法”是解决向量问题的一条重要途径，依据题设条件中所给的等边三角形、直角三角形、矩形等特殊图形，很容易想到建立直角坐标系求解.其优点是思维方式比较“固定”，学生很容易掌握[1]3.关键是合理建立直角坐标系，准确求出关键点的坐标.特别是处理与向量相关的最值问题时，若利用向量和函数的相关知识求解使得运算复杂，解题过程较烦琐时，则可以考虑用“坐标法”来尝试一下，会达到事半功倍的效果.

例1在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是_____.

解析由题设易知，△PBC的面积为1，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，过点B与直线BC垂直的直线为y轴建立如图1所示的平面直角坐标系，设则，当且仅当时取等号，所以的最小值为

图1

评析 充分利用平面几何图形的几何特征，恰当建立直角坐标系，将几何问题坐标化，转化为代数问题求解，突出了问题求解的通性通法.通过引入参数和坐标运算，立即得目标函数，进而将问题转化为求函数的最值问题.这样求解可以大大降低思维难度，同时也能起到化难为易的效果.

二、“基底”意识

所谓“基底”意识，是指有预见性地选择适当的“基底”，并用“基底”来表示有关向量，以实现化归的一种思维方式．“基底”意识的本质是平面向量基本定理的灵活运用，难点是如何选择“基底”有利于简化运算[1]4.对于处理与向量相关的最值问题时，适当选择基底，将未知向量用基底表示，再进行线性运算，将几何问题代数化，会使复杂问题简单化.

例2在Rt△ABC中，CA=CB=2，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的最大值为 ．

评析 用基底意识解题，首先要有预见性地、恰当地选择基底，其次要用基底正确地表示图形中的其他相关的向量，它是实现转化与化归的一种有效形式，也是解题的难点和关键之处.本题依据题设条件选择以为一组基底，设BN=x，通过线性运算，将目标转化为关于x的二次函数的最值问题.

三、“投影”意识

所谓“投影”意识，是指能自觉运用向量的“投影”来解决实际问题的一种思维方式．其实，它是对向量数量积本质的理解和把握．向量的数量积是向量知识中非常重要的核心知识，但许多学生对它的掌握往往只停留在肤浅运用的层面，只会机械地套用公式[1]1，缺乏对公式中隐含的“本质信息”——向量“投影”的意义和价值的认识.要想让学生较深刻地理解和把握向量数量积的概念，必须强调对向量“投影”概念的理解与应用．即让学生理解数量积a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.利用投影意识处理与向量相关的最值问题，则可以回避烦琐的代数运算.

例3如图2所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量（m，n为实数），则m+n的取值范围是_______.

图2

图3

评析 利用“投影”意识，把m+n的取值范围问题转化为向量在向量上的投影问题，然后再利用数形结合思想求解.借助于这种方式处理问题有利于学生更好地使用代数的方式求解几何问题，同时也让学生体会使用投影法求距离的优越性.

四、“构造”意识

“构造”法解题对学生的思维能力要求较高，是指通过对试题结构特征的分析，联想以前做过的熟悉的题型，对原题进行重组、推广、替换等，使其变成一个情景新颖、处理方法常规的问题.所谓向量中的“构造”意识，是指在一个含有向量关系的等式两边同时“点乘”一个恰当的非零向量，把含有向量关系的等式转化为代数方程，“点积”的对象要依据题意适当的选择，才能达到求解的目的.因此，加强“构造”意识的培养可以提升学生思维的广阔性和解题的灵活性.

图4

评析 抓住要求解的目标，利用向量数量积将题设中向量等式“量化”，让目标中x，y的代数结构特征凸显出来，使得解题具有思路清晰、方法简捷、趣味性强等特点.加强这种解题意识的培养，对培养学生的创新性大有益处.

五、“几何”意识

所谓“几何”意识，是指能主动挖掘向量问题的几何背景用以解题的一种思维方式．这种解题方法称之为“几何法”．向量不仅具有数的特性，还有形的特征，比如向量的加法、减法和数量积的运算都具有几何意义[1]2，若，则向量的几何背景可以与圆建立联系．因此，在求解与向量相关的最值问题时，如果能将向量问题置于适当的几何背景之中，就能够使抽象问题直观化，实现快速解题之目的．关键是要启发学生主动挖掘向量的几何背景和总结向量问题中常用的一些几何图形和几何元素，将它和平面几何、解析几何、函数、不等式等知识结合起来解题.

例5 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x2+y2-6x+5=0，点A，B在圆C上，且AB=，则的最大值是 ．

六、“特殊”意识

所谓“特殊”意识，是指当已知条件中含有某些不确定的量，但结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值（或特殊角、图形的特殊位置、特殊点、特殊模型等）进行处理，从而得出探求结论的一种思维方式．特别是对于求解与向量相关的最值问题，这样可大大地简化推理、论证的过程，加强“特殊”意识解题，对提升学生的解题速度和准确度有一定的帮助.

图5

解析 将梯形特殊化为直角梯形，设∠ADM=θ，∠A=90°，取M为AB的中点，则四边形BMDC为平行四边形，由故点P的轨迹是以D为圆心DA为半径的圆在梯形内部的弧，易知M（6sinθ，0），B（12sinθ，0），D（0，6cosθ），C（6sinθ， 6cosθ），再设P（x，y），则，得（6x-12sinθ，6y-24cosθ）=（0，0），而的最小值为点P的横坐标，即6x=12sinθ，得x=2sinθ，又6y-24cosθ=0，即y=4cosθ，即得点P的轨迹是以原点为中心焦点在y轴上的椭圆（在第一象限内），于是得点 P是椭圆和圆 x2+（y-6cosθ）2=（6cosθ）2的交点（在第一象限内），将P（2sinθ，4cosθ）代入圆方程得，从而

评析 结合已知条件，将已知图形特殊化为直角梯形，题目就显得更容易解决了.

学习的本质是学生将信息与头脑中的已有信息重新整合、建构的过程.对于求解与向量相关的最值问题，平时训练时要抓住题目的本质和特征，引导学生展开积极的思维活动，寻找问题解决的突破口、切入点，更应该拓展学生思维的广度和深度，引导学生深入理解数学知识和方法，真正做到既知其一更知其二，最终揭示问题的本质.只要不断积累解题经验，形成“向量思想”，多角度审视问题，便会使问题迎刃而解.□◢

［1］卢明.平面向量复习要强化“五种意识”的培养［J］.中学教研（数学），2014（4）.

［2］郭建华，孙西洋.重视借题“发挥”提高学生学习效能［J］.中学教研（数学），2015（12）：7.

*本文系江苏省教育科学“十二五”规划立项课题：信息技术环境下高中数学“问题—探究—解决”教学模式的应用研究（D/2013/02/445）的研究成果之一