基于比例odds模型最小次序统计量的随机比较

张艺馨（天水师范学院 数学与统计学院，甘肃 天水 741001）

基于比例odds模型最小次序统计量的随机比较

张艺馨
（天水师范学院 数学与统计学院，甘肃 天水 741001）

在比例odds模型的框架下，对它的最小次序统计量作了随机比较，包括似然比序，失效率序和随机序.

随机序；反失效率序；似然比序；比例odds模型

1　研究背景和预备知识

近年来，次序统计量倍受国内外学者的关注，它在统计推断、拟合优度检验、可靠性理论及经济学等领域都有重要应用.若有一组随机变量X1，X2，…，Xn，可能服从相同的或不同的分布，则用Xi：n表示第i个次序统计量.很多文章对独立同分布的情形做了研究，【1-3】由于非独立同分布样本的次序统计量比较复杂，所以仅有有限的文章讨论了此种情形.［4-7］

Marshall&Olkin［8］通过生成一个参数扩展了生存函数为（x）的分布族，并且定义这族生存函数为

若独立随机变量组X1，X2，…，Xn满足

则称这组随机变量属于比例odds模型.这里就比例odds模型最小次序统计量的随机性质进行研究.

定义1设两个随机变量X和Y分别具有密度函数 f和g以及分布函数F和G.令

为相应的生存函数，则

（1）若g（x）f（x）关于x单调递增，则称X以似然比序小于Y，记作X≤lrY；

定义1中的随机序有以下包含关系：

定义2给定两个向量x=（x1，…，xn）∈ℜn和

（3）若向量x与y的每一个分量都严格大于零，且

定义2中的序有如下关系：

引理1［10］令I⊂ℜ是一个开区间，并令φ：In→ℜ连续可导.则称φ在In上是Schur-凸［Schur-凹］当且仅当φ在In上对称并对所有i≠j，

引理2［11］函数满足

当且仅当

2　结果及其证明

定理1设有两组独立非负随机变量X1，…，Xn和Y1，…，Yn，分 别 满 足 Xi～G（x；αi）且Yi～G（x；βi），i=1，…，n，这里αi＞0，βi＞0，i=1，…，n.如果

那么，X1：n≤stY1：n.

证明 X1：n的生存函数为

要证明X1：n≤stY1：n.，只需证明

这里ai=logαi，i=1，…，n.此时对任意k，l∈1，…，n，

定理2设有两组独立非负随机变量X1，…，Xn和 Y1，…，Yn，并且满足 Xi～G（x；αi）且 Yi～G（x；βi），i=1，…，n，这里αi＞0，βi＞0，i=1，…，n.如果

那么，X1：n≤hrY1：n.

证明 X1：n的概率密度函数为

它的失效率函数为

对h（α）求导可得

再次求导有

定理3设有两组独立非负随机变量X1，…，Xn和Y1，…，Yn，并且满足 Xi～G（x；αi）且 Yi～G（x；βi），i=1，…，n，这里αi＞0，βi＞0，i=1，…，n.如果

那么，X1：n≤lrY1：n.

证明 X1：n与Y1：n的概率密度函数之比为

对h（x）求导有

其中

由引理2，可得h1（x）≥h2（x）.所以h（x）关于x递增，结论成立.

3　总　结

通过本论文的研究，对比例odds模型最小次序统计量有了相对完整的随机序比较结果，以后可以对比例odds模型最大次序统计量的随机序进行研究，也可以对基于指数分布的比例odds模型的次序统计量进行研究。

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〔责任编辑 高忠社〕

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1671-1351（2016）02-0016-03

2016-01-12

张艺馨（1989-），女，甘肃平凉人，天水师范学院数学与统计学院教师。