初中数学一元二次方程应用题解析

陈其琴

（福建省泉州市泉港区三川中学）

初中数学一元二次方程应用题解析

陈其琴

（福建省泉州市泉港区三川中学）

【试题】

儿童玩具店的老板以2元/个的价格购进一批玩具小汽车，以3元/个的价格出售，每天可以售出200个。然而，老板为了促销，决定降价处理，这种小型玩具小汽车每降价0.1元/个，每天可以多销售40个。此外，儿童玩具店的老板要想每天付给房东24元房租。

（1）请问：如果儿童玩具店的老板要想每天盈利200元，应将每个玩具小汽车的售价降低多少元？

（2）如果该儿童玩具店的老板要想盈利最大，应将每个玩具小汽车的售价降低多少元？

一、阐述命题意图

以一元二次方程来解决实际问题在历年中考中出现频率最高的类型，也是每年必考题。中考大纲山野多次强调“学生能够利用所学一元二次方程知识解决实际问题”。一般是以2问式出现的频率比较高，考查学生对一元二次方程的求解、图像、对称轴、最大值、最小值等几个知识点的考查，重点考查学生分析问题、解决问题的能力。第一题考查的是一元二次方程的求解，一般比较简单。这道题主要考查学生的计算能力和分析问题的能力。第二道题则是考查一元二次方程的对称轴、最大值、最小值的知识点，也就是考查二次函数的顶点坐标。

二、说明考点及对应的考纲要求

按照初中数学课程标准规定的一元二次方程及其解法、可化为一元二次方程的方程解法为学习目标的九年级数学的“一元二次方程”和“二次函数”模块，组成中考必考内容。必考内容对学生有难易不同的考查。

一元二次方程、二次函数作为中考必考内容要求学生：

（1）能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

（2）会解简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。

（3）理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。

（4）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解的合理性。

（5）会从具体问题中寻找数量关系和变化规律。

（6）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。

三、试题讲解过程

根据题型特点和新课程的教学理念，我设计了如下教学流程：

学生现状：有足够的相关知识储备。

首先，我和学生一起阅读该题目，一起审题，了解该题中所包含的数量关系，了解现实的生活的赢利是如何计算，从最简单的一天的赢利算起，看看自己作为店老板一天可以赚多少钱。列出相关的数量关系“每天的赢利=（售价-进价）×销售量-固定成本（房租）”列出方程求解即可。

如果我们设应将每个玩具小汽车的售价降低x元，根据题意：

再者，列出方程，学生小组讨论，看如何解决一元二次方程，如何化简方程，如何解一元二次方程。最后学生在黑板上展示解题过程

-400x2+200x-24=0 化简可得50x2-25x+3=0

解得x=0.2或者0.3

因为是为了促销，所以应该降价0.3元

但是由于此题是函数问题，因而我引导学生设置变量，设儿童玩具店的老板盈利为y

学生小组讨论，如何讨论该二次函数什么时候取得最大值，画出图象，讨论。

解得x=0.25时，y取得最大值。

四、试题的拓展延伸及变式分析

1.知识拓展

（1）一元二次方程的求解计算：如公式法、十字相乘、配方法等多种方法的求解方法，并把自己求解的新的交流展示。

（2）二次函数的谈论：引导学生善于运用对称轴，顶点坐标，二次函数的图像的讨论，并且把这些知识点一起总结起来。

2.能力拓展

（1）二次函数知识点易错点强化：在班级里，每个学生重点负责总结二次函数在中考题中出题类型，每次做完相关实际问题后，由负责学生找出解题方法，归类整理。

（2）自主命题：由学有余力的学生带动其小组成员，在本篇试题中按照中考考查的主要知识点，自主合成一份标准试题，分别侧重一元二次方程和二次函数结合问题解答综合问题。

五、试题的价值、反思及感悟等

一元二次方程、二次函数是中考试卷的必考知识点，因此，我们需要加强平时对学生计算方面的训练，在数学教学中，引导学生熟记常见的一元二次方程的解法，求根公式，配方法、十字相乘等，进而拓展学生一元二次方程求解的有效途径。

授之以鱼，不如授之以渔。本节课的学习，师生互动，共同探究，教学相长，其乐融融，这才是教育真正的意义。这才是我们这些教育工作者真正的幸福。

·编辑 谢尾合