一类特殊球面螺旋线弧长的求解＊

严李健，庞珊珊，牟金平，林炯毅

（台州学院 数学与信息工程学院，浙江 临海 317000）

一类特殊球面螺旋线弧长的求解＊

严李健，庞珊珊，牟金平＊，林炯毅

（台州学院 数学与信息工程学院，浙江 临海 317000）

根据微分几何基本理论，定义出一类特殊的球面螺旋线，针对该球面螺旋线弧长不可积的问题进行探讨与研究，证明了这类对于给定参数的球面螺旋线弧长存在上下界. 通过引入第二类椭圆积分基本理论并结合微机计算的方法，提供了一种近似求解球面螺旋线弧长的公式.

球面螺旋线；第二类椭圆积分；Matlab求解

球面螺旋线是空间中一种形态优美的曲线，其几何性质在机械工程［1］、电子科学与技术［2］、化学工程与技术［3］和工艺品生产加工［4］等方面都有着广泛的应用.目前，人们对一般螺旋线的研究已相当的成熟.然而，球作为最美的几何体之一，针对球面螺旋线的研究却是少之又少，尤其球面螺旋线上的曲线段是不能用弧长公式来直接求解的，这给球面螺旋线的深入研究带来很大的不便.为此，本文根据微分几何基本理论，定义了一类特殊的球面螺旋线，并对其弧长的求解方法进行研究，得出了一般性的结论.

1 符号与概念的介绍

设球面的参数方程为［5］

其中R是球面半径.

为了便于讨论，本文定义一类特殊形式的球面螺旋线.设θ=2mφ，其中m为球面螺旋线的旋转圈数，可得关于参数φ的球面螺旋线方程为

事实上，球面螺旋线的弧长是不易求解的.因此，对该类特殊球面螺旋线弧长求解的研究就显得十分重要了.为此，利用第二类椭圆积分的基本理论，本文将通过对球面螺旋线的弧长用分段拟合的方式进行求解.

2 第二类椭圆积分基本理论

历史上，椭圆积分来自于求椭圆的弧长［6］. 第二类椭圆积分的标准形式为

其中k为椭圆的离心率，0

通常，称（2.1）式为第二类不完全椭圆积分，其原函数无法用初等函数的形式表达，但可以展开为无穷级数.将（2.1）式的被积函数按二项式定理展开，并逐项积分可得：

3 基于第二类椭圆积分的球面螺旋线弧长的求解

进行初等变换［8］，令（3.1）式中的，得

当θ=m时，有

文献［9］给出了椭圆周长的公式为

其中a为椭圆的长半轴，e为椭圆的离心率.通过比较（3.3）式与（3.4）式，我们可以得到以下命题:命题1 球面螺旋线弧长的问题可以转换为求椭圆的弧长问题.

由（2.2）式和（3.3）式，得

经过上面的推导，可以将球面螺旋线的曲线长表示为幂级数的形式.这是一个准确的球面螺旋线的弧长公式，但实际计算时不易求解.因此，求球面螺旋线的弧长可以通过微机进行求解.

4 球面螺旋线弧长的近似计算公式

通过以上敛散性的判别，容易得出球面螺旋线的弧长s（π）存在且唯一.为了界定s（π）的值，我们首先给出如下结论.

定理1 对于（1.1）式类型的球面螺旋线，只要给定参数m和R，就有

证明：

令（4.2）式中的t=2m，化简得

得证.

命题2 球面螺旋线弧长的表达式为

其中α、β为待定的参数.

要确定参数α、β的值，根据最小二乘原理，使误差的平方和达到最小，定义每一项估计值的误差为δm=Sm-sm（m=1，2，……，p，p∈N+），即

其中Sm表示（3.5）式中，螺旋圈数为m时，s（π）的值；sm表示（4.3）式中，螺旋圈数为m时，S的值.

运用MATLAB编程可得，到当p取不同正整数时，各参数所对应的值如表1所示.

表格1 不同螺旋圈数下各参数的值

从表格中我们可以发现，当螺旋圈数较低时，即当P≤10时，可以用公式来近似计算.

图1 球面半径R=1时，球面螺旋曲线长与旋转圈数之间的关系

当螺旋的圈数较高时，即p＞10时，椭圆的离心率趋向于1，且变化很小，为此得到一个较高螺旋下弧长的近似计算公式.

分析可得，

综合比较（4.4）式与（4.5）式，得球面螺旋线（1.1）式的近似求解公式为

5 结束语

本文根据微分几何的基本理论，对一类特殊的球面螺旋线弧长问题进行了研究，证明了对于给定参数的球面螺旋线的弧长存在上下界，并给出了其近似求解的公式.

作为一种形态规则、变化均匀的曲线，球面螺旋线还有许多其他的问题值得探讨，如对其它球面螺旋线的弧长进行求解时，可以通过分段拟合的方式进行精确计算，以此得到进一步的结果，而这将是下一步的研究内容.

［1］武斌功.球面螺旋天线的CAD/CAM一体化技术［J］.中国机械工程，2003，14（18）:1548-1550.

［2］夏冬玉，张厚，耿方志，等.宽带圆极化球面螺旋天线研究［J］.空军工程大学学报·自然科学版，2007（2）:60-62.

［3］王汝林.球面螺旋线盘梯的设计计算［J］.齐鲁石油化工，1986（3）:15-17.

［4］刘光铭.关于球面等角螺线的加工工艺问题［J］.国防科技大学学报，1981（1）:1-3. ［5］梅向明，黄敬之.微分几何（第4版）［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［6］王竹溪，郭敦仁.特殊函数概论［M］.北京：北京大学出版社，2000：520-559.

［7］牛亚华.项名达的椭圆求周术研究［J］.内蒙古师大学报:自然科学汉文版，1990（3）:53-60.

［8］过家春，张庆国，章林忠，等．基于第二类椭圆积分的椭圆弧长公式变换与应用［J］.数学的实践与认识，2011，41（24）:210-216．

［9］花向东.椭圆周长的近似计算［J］.林区教学，2005（2）:51-51.

Solution of one Special Spherical Helix Arc Length

YAN Lijian，PANG Shanshan，MOU Jinping*，LIN Jiongyi

（School of Mathematics and Information Engineering,Taizhou University,Linhai 317000,Zhejiang,China）

App lying the relevant theory of differential geometry,defining a special spherical helix,the problem of not integrable of spherical spiral arc length is discussed. It is proved that there exist the upper and low er bounds of a given spherical spiral arc length. By introducing theory of the second kind elliptic integral and combining w ith the computer calculation method,it provides a solution way for a spherical helix arc length.

Spherical Helix;Elliptic integral of second kind;Com puter calculation

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2016.06.001

（责任编辑：耿继祥）

2016-09-18；

2016-11-16

台州学院校立学生科研项目（16xs13）；浙江省大学生于科技创新项目（2015R43006）。

简介：牟金平（1974- ），男，浙江黄岩人，讲师，博士，主要从事复杂系统的建模与分析研究。