指向数学核心素养的合作学习设计：基于数学问题解决

裴昌根

(西南大学 数学与统计学院，重庆 400715)

指向数学核心素养的合作学习设计：基于数学问题解决

裴昌根

(西南大学 数学与统计学院，重庆 400715)

数学问题解决是培养学生数学核心素养的着力点。在数学教学中，应用合作学习培养学生的数学问题解决能力，可以从以下五个方面进行设计：合作学习基本要素、问题解决能力培养、课堂教学设计、小组评价和小组题目设计。此研究可以为聚焦数学核心素养的课堂教学创新提供参考。

数学核心素养；合作学习；设计研究

一、研究背景

2014年教育部颁布的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》明确了“培养学生核心素养”将成为新一阶段基础教育课程改革的中心任务。围绕这一中心任务，需要构建以学生发展为本的教学方式，使课堂教学真正发挥培养学生核心素养的主渠道作用。合作学习是新课程改革所提倡的三大新教学方式之一。[1]对数学教学而言，合作交流已经成为被普遍认同的数学学习方式之一。[2]就当前数学合作学习的研究来看, 合作学习主要面临以下三个方面的问题：一是实践问题突出，如：“小组活动流于形式”“个体责任扩散”“学生社交技能欠缺”“大班额分组困难且课堂过于喧哗混乱”和“评价体系没有跟上”。[3][4]二是小组活动缺乏与数学学习的深度融合。目前很少有研究将数学学习的方法融入合作学习，而大多数研究仅仅将合作学习看作课堂教学组织的一种方式，例如简单地加入小组讨论。三是合作学习的设计缺乏整体通盘考虑。即没有从系统的角度在较长的学习周期中去看待、思考和设计合作学习。以上三大问题的解决既需要深入的理论分析，也需要扎实的实践探索。

目前普通高中数学课程标准修订组提出，数学核心素养是指“学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的、与数学有关的关键能力和思维品质”，其涵盖六个要素：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。数学问题解决是指人们在解决没有现成解法的数学问题时的认知活动。[5]数学问题大致可以分为两类：一类是求证，另一类是求值。在求证类的问题中，往往会涉及数学抽象、逻辑推理和直观想象等；而在求值类的问题中，更多地会涉及数学建模、数学运算和数据分析等。在进行数学问题解决活动时，因解决的问题没有现成的证法或解法，因此解决这类问题将更能调动学生进行思考，从而可以极大地促进学生数学核心素养的生成与发展。所以，培养学生的数学问题解决能力为发展学生的数学核心素养找到了着力点。

本文从合作学习的角度，探讨了如何培养学生的数学问题解决能力，以促进学生数学核心素养的发展。在合作学习中，合作小组可以解决较难的数学问题，通过知识共享、认知冲突、协商交流促进学生对数学知识和解题策略的深入理解和掌握。合作学习虽然强调学生间的相互依赖、相互帮助，是一种团体性的活动，但是其落脚点还在于促进每位学生的学习。本研究中设计的合作学习，将培养学生的数学问题解决能力和合作学习结合了起来，力求通过合作学习使每位学生了解数学问题解决的基本过程，掌握数学问题解决的一般策略，养成数学问题解决的反思习惯，提高数学问题解决的能力，从而提升数学核心素养。

二、研究方法

设计研究(Design-Based Research, 简称DBR)是21世纪初才逐步发展和新兴起来的一种研究范式。在教育领域，这一研究范式致力于将理论建构和实践应用相结合，通过研究学习发生的过程和设计相关的支撑手段，建构基于实证的理论。[6]设计研究具有以下五个特点[7]：在真实的教育环境中进行；关注干预的设计和检验；运用混合的研究方法；设计需要反复修正检验；在研究者和实践者之间建立起协作伙伴关系；设计原则不断发展。

根据设计研究的特点，开展设计研究需要研究者进入真实的教育环境之中，要在干预的过程中收集详实的数据，并与教师形成良好的伙伴关系。本研究选取了广东省深圳市的一所普通初级中学，涉及一名数学教师及其所任教的两个八年级班级的学生(每班47人)。学生按照异质原则，主要以四人编成小组，组内包括一名学优生、两名中等生和一名后进生。按照设计研究的流程[8]，首先，研究者根据合作学习理论、数学问题解决理论以及参与教师的教学情况制订最初的教学设计原则。然后，教师按照教学设计原则进行教案设计和教学实践。同时，研究者通过课堂观察和学生访谈的方式收集相关数据。在研究中以单个教学周为观察周期，在教学实施一周后，研究者和该教师根据在本周教学中发现的问题，对教学设计原则进行修改。而后，在下一周的教学中按照修改过的教学原则设计教案并实施教学，对其再观察、再检验。如此，经过多轮的修改检验后，会总结形成最终的合作学习设计方略。以下将对其进行详述。

三、合作学习设计

本文提出了基于数学问题解决的合作学习模式，其是指在合作学习的教学理论指导下，围绕数学问题解决这一主题，以培养学生数学问题解决能力、数学核心素养为教学目标，而形成的相对稳定的规范化的教学程序和操作体系。在这一模式中，合作学习可以从以下五个方面进行设计：合作学习基本要素、问题解决能力培养、课堂教学设计、小组评价和题目设计。这五个方面既相对独立，又互相作用形成合力，能够促进教学目标的达成。以下将对这五个方面逐一阐述：

1.合作学习基本要素

要发挥合作学习的效果必须落实以下五个基本要素[9]，本研究在教学设计和实施时考虑如下：

(1)积极的互赖关系

小组成员要意识到个人的成功是和其他小组成员紧密联系在一起的，只有依靠小组成员的共同努力才能完成小组的任务。在本研究中，为了让小组成员之间形成积极的互相依赖关系，我们采取了两项举措：一是，教师明确了小组成员的互补性，特别强调了后进生在小组中的作用，如要把后进生所犯的错误看作学习的机会；学优生可以通过帮助后进生来发现解题关键点。二是，小组获得的奖励是以小组的平均成绩而非个人成绩为参考标准。

(2)个人的责任

小组的成功需要每个成员的积极参与，并且每个成员都应承担起自己应有的责任。如果这方面不加以注意，学生中很容易出现“搭顺风车现象”：即自己不参与小组活动，完全依靠他人完成任务。为使小组成员都能承担起自己应有的责任，本研究采取了如下举措：一是，教师在小组学习活动后将检查每一位学生的解题掌握情况；二是，教师一般会选择中等生或后进生汇报小组结果；三是，在每个单元学习完结后，教师将实施由学生独立完成的测试。

(3)促进性的互动

在小组活动时，小组成员间应相互鼓励、相互帮助，积极发表自己的意见并接纳他人的合理意见。在本研究中，教师提出了交流互动的规范以帮助学生进行有益的互动，如提问要具体明确；尽量给予同伴解释过程而不是最后结果；尊重不同的观点；以事实和理由说服他人；整合不同观点形成一致意见。

(4)社交技能

小组成员应该掌握基本的社交技能，如如何与他人沟通，如何解决分歧，如何协调小组活动，如何建立起相互的信任关系等。本研究中，教师制订了合作行为准则，并采取了相关措施以引导学生学会与他人交流合作。例如，等待别人发言结束后再加以评论；设置了小组长，由小组长协调本组的活动。

(5)小组自评

小组成员应定期评估自己或组员在小组合作时的言行以及本小组合作的效率和效果。这样，既可以继续保持有利于小组合作的言行，又能够改进不利于小组合作的言行。本研究中，小组自评在教师的指导下进行，每次小组活动结束后，每个小组都会得到教师的评分，教师以此让学生反思自己的合作言行，集体讨论如何将小组活动做得更好。

以上五个基本要素是合作学习帮助学生形成良好学习氛围的基石。合作学习的有效开展需要改变以往学生之间竞争性或只关注自我的学习方式，在交流、协商、争辩中充分把同伴作为一种学习资源，实现自我及他人学习的共同提高。

2.问题解决能力培养

问题解决与一般意义上的练习有着本质的区别。一般练习是指学生在已经掌握了解决某类问题的方法和策略的基础上，再做与此类问题相似的题目，以巩固对这些方法和策略的掌握，从而提高其运用的熟练度。而问题解决对学生提出了更高的要求，需要学生将新问题转化为已知问题，并利用已获得的知识和技能进行解决。要提高学生的数学问题解决能力，一个有效途径就是分析解题的过程。[10]另外，研究也发现，学生学习数学解题提示语有利于提高学生的解题能力，并且学生以小组的方式学习解题提示语比个人学习效果更佳。[11]因此，为培养学生的数学问题解决能力，学生将在进行小组活动时练习运用解题提示语并分析解题过程。具体措施如下：

该培训旨在让学生了解数学问题解决的基本过程和一般策略。培训内容主要以波利亚的数学问题解决的四个阶段和相关提示语[12]展开(见表1)：①弄清问题；②拟定计划：根据问题，思考问题的解决方案; ③实施计划：根据解决方案，写出完整的解题步骤；④回顾反思：回顾核查解题过程。这里，在拟定计划阶段的提示语时主要参考胡炳生教授提出的解题思考三步骤[13]：观察—联想—转化。这三个步骤也可以看作数学问题解题的一般策略，因为它能够指示学生解题的思考方向。每个步骤都有更加详细的提示语，这里不一一赘述。在回顾反思阶段，我们要求学生梳理验证解题步骤，思考不同解法和选择最优解法。此外，还增添了让学生思考解题关键点和分析错误的要求。思考关键点可以让学生抓住解题的思考要点，以便再遇到类似题目可以较快地找到解题的突破口。数学错误可以大致分为以下四类[14]：概念不清、推理无据、忽视条件、考虑不周。分析错误可以帮助学生发现自己的认知偏差或知识漏洞，提高解题的监控能力。

表1 数学问题解决的基本过程和提示语

(2)制作专门的学习资料

将数学问题解决的基本过程、相关提示语以及错误类型的知识编辑成册，给每位学生发一份，督促其在小组讨论时使用，帮助学生逐渐熟悉并内化这些知识。

(3)设计小组活动总结表

小组活动总结表既是学生小组活动结果的载体，也是小组活动的认知路线图。在小组活动总结表中，每个小组需要填写以下内容：解法、关键点、错误及其改正方法、错误类型、不同解法和其他发现。在每次小组活动前，教师要将小组活动总结表发给每个小组。小组活动结束后，教师要收回每个小组的活动总结表并评改计分。

3.课堂教学设计

课堂是学生学习的主要场所，也是教学开展的主阵地。在本研究中，课堂教学的设计主要基于两方面考虑：一方面，为建立起学生之间稳定的积极互赖关系，学生应该有较多的机会进行小组活动。因此，这种课堂教学设计应能够在教师的常规课中经常使用。另一方面，这种课堂教学设计可以为发扬我国数学教学的优良传统创造条件，如变式教学、启发式教学、精讲精练。由于上述优良传统都是在教师讲授的情况下实施开展的，所以全班讲授式教学需要在教学设计时进行保留。最终，在本研究中，课堂教学设计分成全班讲授和小组学习两个部分。以一堂45分钟的数学课为例，全班讲授的时间在25～30分钟，而小组学习时间在15～20分钟。在全班讲授时，教师要力求精讲精练，剔除不必要的重复性练习，把本堂课的主要内容放在全班讲授环节，为学生的小组学习做好铺垫和知识技能准备。在小组学习环节中，教师要明确小组活动要求，督促学生积极参与小组讨论。小组学习环节可以进一步划分为以下五个步骤：

(1)展示题目

二零一零年，小虎队重回春晚，《爱》的旋律乍起，迅速将我拉回至一九八八年秋天的场景，眼前一热，流下泪来。

教师展示小组活动的题目，并要求学生认真审题。

(2)独立做题

教师给予学生一定时间让其独立思考解题方法。同时，引导学生利用解题提示语思考解题方法，准备好交流的问题和观点。

(3)小组讨论

小组讨论包含以下环节：①形成小组：前后两排，前排学生转身与后排学生形成小组。②交流互助(组员陈述、判断正误、组员互助)：由已有解题思路的组员先陈述自己的思路，其他成员如有不同想法再补充。当小组成员陈述完毕后，其他成员要对其发言做出判断，如有错误需指出并加以纠正。如果有成员无法独立解决问题，其他成员应给予帮助直至其解决为止。③集体反思：全体成员共同讨论关键点、错误、不同解法和其他发现。④归纳总结：讨论完以后，小组成员一起填写小组活动总结表；也可边讨论边填写此表。

(4)小组分享

小组讨论结束后，教师要检查每位学生是否已经掌握了该题目的解法。这时可通过举手示意的方式，了解每位学生、每个小组的讨论效果。然后，选取若干个小组汇报讨论的结果。

(5)教师点评

教师点评关注两个方面：一是学生的汇报内容。针对学生的汇报内容，教师要指出其解题思路的优缺点。二是学生的合作表现。教师要对学生在小组讨论时的言行进行点评，肯定好的言行，并指出需要改进的地方。

4.小组评价

学习评价一般可分为终结性评价和形成性评价。终结性评价在于对学生一段时间的学习效果进行鉴定；而形成性评价旨在通过评价发现学生学习的优点与不足，并为下一步的教学提供参考。[15]在本研究中，对小组的评价除了具有终结性评价和形成性评价的特点外，还有提高个人责任、形成互赖关系的作用。小组评价有以下四种形式:

(1)小组活动后的及时评价

小组活动后，教师将评价学生对小组题目的掌握情况，以了解是否每位学生都理解了该题的解法。评价以学生举手的形式进行。每当小组活动结束后，教师会要求学生举手示意其是否掌握了题目的解法。若某一小组中有成员没有理解该解法，该小组在活动总结表上的得分将会减去相应的分数。小组活动后的及时评价在于使学生承担起个人责任，督促所有组员在小组活动时要积极思考，没有明白的学生要主动寻求帮助，同时已经明白的学生要积极帮助有困难的学生。这个评价本质上是终结性评价。

(2)基于小组汇报的教师点评

教师点评主要是评价学生的汇报内容和合作表现。一方面，要根据汇报内容了解学生对题目的掌握情况，帮助其理顺解题思路，对发现的问题及时给予纠正，所以这方面体现了形成性评价的思想。另一方面，要评价学生的合作表现，以帮助学生养成良好的合作习惯。

(3)基于小组活动总结表的评价

因为不是每个小组都有机会发言，所以只能依靠小组汇报的方式对小组讨论结果进行评价，那么就有一些小组讨论的结果不能得到教师的评价反馈。为解决这一问题，本研究使用了小组活动总结表，此表记录了学生讨论的结果。根据小组活动总结表，教师便可以对每个小组的活动结果进行评价反馈。在评价时，教师会给小组的活动总结表打分，并在批改后发还给各个小组。对在小组活动总结表中发现的学生解题方面的问题，教师可以在下次上课时进行补救。有时，教师也会将得分较高的小组活动总结表展示出来，以供其他小组观摩学习。另外，教师会把每次小组活动总结表的得分进行统计，以周为单位汇总，并以此为依据评选每周的优秀小组。对得分靠后的小组，教师应帮助其分析原因以促使其进步。 因此，该评价兼具终结性评价和形成性评价的特点。

(4)基于阶段性测试的评价

阶段性测试在于检验学生阶段性的学习效果，如单元测试，期中、期末测试。每次测试要求学生独立完成，根据小组成员的测试平均分给予小组得分。这样既可以检验每位学生的学习效果，也可以增强小组成员间的合作关系。阶段性测试主要体现了终结性评价的思想。

如此，将每次小组活动的评价和阶段性测试结合起来，能够使评价成为检验小组合作效果、改进教学、提高个人责任，以及形成合作关系的有效手段。

5.小组题目设计

解决问题是学生学习数学的主要活动形式。在小组学习中，题目的设计关系到学生的讨论质量。合适的题目可以激发学生积极的思考，创造锻炼学生高阶认知思维的更多机会。在本研究中，经过课堂实践的检验，形成了以下的题目设计原则：一是，题目数量不宜过多。在干预的最初阶段，小组活动中布置了多个题目，结果发现不同学生常常关注不同的题目，学生的注意力容易分散。由此，小组活动便异化为各自的解题活动。为避免这一问题，经过调整后发现，题目设置为一至两个较为妥当。二是，题目内容需紧扣每堂课最重要的教学目标。一堂课的教学目标可能有若干个，为了利用小组活动，促进最重要教学目标的达成，小组题目应该围绕最重要的教学目标来选择和设计。三是，题目难度需适宜。题目有一定的难度才容易引发学生合作的认知需求。过难的题目容易造成即使合作也不能解决问题的情况，使学生对合作的效力产生怀疑，从而降低参与小组讨论的积极性。当然，这里难度的概念是相对的。对于不同学生、不同的教学内容，难度需要具体设定。四是，题目最好能够暴露学生比较容易犯的错误。错误说明了学生学习存在认知偏差，改正分析错误有利于帮助学生形成正确的知识体系和良好的认知习惯。学生要树立对待错误的正确态度：错误是学习的机会，而不是失败的象征。最后，题目最好可以一题多解。研究中发现，具有多解的题目往往能够引起学生激烈的讨论，能够帮助学生从多个角度思考和解决问题。

合作学习是以合作与交流为主要特征的学习方式，是数学学习的重要方式。合作学习创建了宽松安全的学习环境，可以充分激发学生的学习兴趣，调动学生学习的主动性，为培养学生数学核心素养创造良好的条件。数学问题解决是数学学习活动的重要方式，具有较高的挑战性、较强的综合性和较高的开放性，对培养学生的数学核心素养具有重要的作用。本研究提出的合作学习设计方略，分析了合作学习的特点和数学问题解决的要点，着眼于通过学生的合作与交流，帮助每位学生掌握数学问题解决的基本过程和一般策略，养成回顾反思的解题习惯，从而提高数学问题解决能力，最终促进学生数学核心素养的发展。

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Designing Cooperative Learning for Mathematical Key Competences: Based on Mathematical Problem Solving

PEI Changgen

(College of Mathematics and Statistics, Southwest University，Chongqing 400715)

Mathematical problem solving offers a springboard to cultivate students’ mathematical key competences. The strategies for designing cooperative learning for cultivating students’ ability of mathematical problem solving involve the following five aspects: the basic elements of cooperative learning, problem-solving ability cultivation, classroom instruction design, group evaluation, and task design. This study provides an important exemplar to classroom instruction innovation about cultivating students’ mathematical key competences.

mathematical key competences, cooperative learning, design-based research

裴昌根，四川成都人，西南大学数学与统计学院博士后，主要从事数学教育与教育统计研究。