小学数学教学应注重数学思想的系统性建构

段立伟

摘   要：小学数学教学中，教师往往对下行学习，即题型、知识点、经验积累比较重视，而对上行学习，即理论、思想、方法、概念重视不够。为了弥补小学数学在上行学习上的不足，更好地实现新课标所提出的掌握数学思想这一目标，科学地建构小学数学思想系统是必要的。

关键词：小学数学思想;系统性;结构化

中图分类号：G623.5    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2015）02-0053-13

问题的提出

长久以来在小学数学界一直认为数学有两条线——数学知识是一条明线，数学思想与方法是一条暗线。这种认识是片面性的、不科学的。

众所周知，人的学习分两种，一种是上行的学习，如理论、思想、方法、概念的学习，是从高处入手，往往具有系统性的特征。一种是下行学习，如具体的题型、知识点、经验的积累与感悟。这两种学习相辅相成，缺一不可。

为了改变这一片面认识，以事实证明数学思想可学、可讲，我们课题组进行了深入的研究，现就这一研究的一些核心概念进行解释说明。

一、什么是小学数学思想系统及如何建构

所谓系统是由相互联系、相互依赖、相互制约和相互作用的若干要素组成的一个具有整体功能和综合行为的统一体。它具备四性：整体性、层次性、结构性和开放性。小学数学思想系统是建立在小学数学课程基础上，以小学数学中的数学思想做系统要素，以反映各要素之间在数学上的逻辑关系为目的的系统。目前现状：各种思想从整体看没有产生对数学知识有力支持的效果;各种思想之间的关系不明确，更谈不上优化，这使得结构不稳定;各种思想之间因果、主次、递进关系不明确，这使得层次不清晰;对内能行之有效，对外能迁移变通，就现状看还不理想。从小学数学思想的现状来看是不具备系统性特征的。

（一）数学思想的来源

数学思想主要有四个来源： ①来自具体而典型的数学知识，如不变求变、假设、还原、对消; ②来自认知规律，如比较、分解与组合、数形结合、转化; ③来自思维科学，如演绎、归纳; ④来自对课程标准的分析与研究，如等分与比较。

（二）数学思想的选择

结合教学实践、学生具体所学及学生的接受力，确定必须要系统学习的数学思想有十八个： 集合、分解与组合、 比较 、分类讨论、等分、凑、刨、对应、对消、还原、方程、不变求变、假设、极限、数形结合、转化、建模、统计与概率; 处于随机渗透位置（可讲也可不讲）的数学思想有三个：整体、符号、变求不变;提也不要提的数学思想三个：演绎、归纳、函数。

（三）数学思想的地位

从关系图中可以看出基本思想是其它三基的出发点与归宿，位于最上层。

（四）关于在哪个学段教学的思考

建议在六年级后半年进行专项系统学习。

（五）处在最核位置的数学思想是比较、等分与对应三个数学思想

“等分”是有序平均分的简称。对量进行有序等分产生了单位、进率，以及在此之上的更为抽象的数位、位数、计数单位。这使得我们可以对一个事物的某一属性进行定量的刻画！例如，我们对事物的不同属性（大小、位置、质量、硬度、亮度、速度、湿度……）进行量上的有序等分（当然在小学只强调五方面的等分，长度、面积、体积、重量、时间），我们就可以实现对事物多维度的定量刻画。这也就解释了，为什么在小学把数位、位数、计数单位、计量单位、运算、换算做为基本知识与技能的理由是，小学生必须具有基本的对世界进行定量刻画的能力！而有序等分是思想支撑！

把“比较”理解成同中异、异中同就太浅了，更深的认识应当归纳到对研究对象的类化、透化、通化上。对整个研究对象根据一定标准，对其进行有序划分和组织（类化）;再对每类内部的特点、规律进行归纳概括（透化）;最后对各类进行开放思考（通化）。实现了“三化”，也就实现了对研究对象的真正掌握。三化以同、异分析为方法，而同、异是比较出来的，由此可见，“比较”是实现“定性把握”的思想基础。

（六）数学思想是一个相对互补的和谐统一体

“等分”与“比较”一个“定量”，一个“定性”，相对互补对立统一。对应思想分为三种基本方式：收敛、发散、跳跃。收敛式对应强调集中性和批处理，演绎证明、变中不变、异中同、化归、建构模型、极限都属此范畴;发散式对应强调想象力和创造性，归纳发现、不变中变、同中异、分类讨论、统计与概率都属此范畴;跳跃式对应强调跨越式联系，如，类比思想、等量代换。

在数形结合中，数与形是相辅相成、对立统一的关系，同时数形结合与对消思想在优化题目方面是相对互补、对立统一的关系，对消是用对等消去实现优化，数形结合是用数形转换，实现优化。

方程是四个数学思想的统一。建立一个含有未知数的等式体现的是建模思想;解方程的过程是将方程等价归结为x=a，是化归思想;方程中的x具有双重身份，作为已知数参与运算，作为未知数被分离，而分离体现的数学思想是对消与还原。

转化思想是数学解决问题的一般思想方法。包含化归、类比、等量代换、数形结合四个数学思想。化归重在归，具有收敛性、概括性;等量代换（跳跃式对应），往往应用于具体问题中，如简算、曹冲称象、阿基米德定律以及在求不规则体积时用到的V升=V降=V排;数学建模其本质思想还是化归，是将具有相同或类似数量关系但又情境不同的问题，转化归结为同一模型来批处理的数学思想，建模是数学应用的一般思想方法;类比具有跳跃式转化特点，属合情推理;而数形结合是实现各种转化最基本的思想方法。他们都归属于转化思想，是转化在不同层面的反映。endprint

（七）数学思想系统是一个开放的系统

1.数学知识与数学思想方法

“没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识。”“有了数学思想方法，数学知识就不再成为孤立、零散的东西，数学方法也就不再是死板的教条。”“根据我们对数学思想的理解能够得出，数学思想含于数学内容和方法之中，而又高于数学内容和方法。它是联系数学知识的纽带，对于具体的数学知识具有巨大的凝聚力，起着结晶的作用。”

2.数学思想与方法

“方法是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径或行为规则，具有程序性、规则性、可操作性、模式性等特征。方法因问题而产生，因能解决问题而存在。”“数学思想和数学方法既有区别，又有密切联系。数学思想的理论和抽象程度高一些，而数学方法的现实性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法;而人们选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。因此，二者是有密切联系的。我们把二者合称为数学思想方法。”小学数学内容简单，所蕴涵的思想和方法很难截然分开，在一定条件下是可以互相转换。

3.同一个知识点的多思想、主次性

对于同一个知识点，会包含多个数学思想，其中总有一个思想在这个知识点起重要的原理作用，其它思想都以它为主，为它所用。比如，方程包含了化归、建模、还原、对消四个思想，而建模是方程思想的核心。

二、等分与比较思想的具体内涵是什么

“等分”、“比较”是处于数学最基础位置的两个数学思想，“等分”实现了对客观世界的定量刻画，“比较”实现了对客观世界的定性把握。

（一）等分

对数、量进行有序、有级的等分，并规定单位及相应的换算关系，以实现对数或量进行简单、精确描述与正确、高效运算的思想。

1.从计量单位上看等分

不同级别的长度单位对长度进行了有序、有级的等分，实现了人们对长度的精确描述;不同级别的质量单位对质量进行有序、有级的等分，实现了人们对质量大小的精确描述;不同级别的面积单位对面积进行有序、有级的等分，实现了人们对面积大小的精确描述;年、月、日、时、分、秒对时间进行有序、有级的等分，实现了人们对时间的精确描述。

我们所使用的各种测量器，以不同的形式和用途反映了同样的思想——等分。

2.从数与运算上看等分

（1）整数的计数单位是以1为最小起点的不对称十进制等分;小数的计数单位是以1为中心点的对称十进制等分;分数的计数单位是以1为标准的自由等分。

（2）数位表直观地体现了“等分”的有序、有级性

（3）等分在运算上的体现

数位、计数单位、进率是运算的核心概念，它们之间的关系体现在位与值上，而位与值体现的正是“等分”的序与级，由此可见运算以等分思想为本。

等分是数学实现对客观世界进行定量刻画的必由之路。

（二）比较

在唯物主义辩证法中定义规律是指事物内部各要素之间及事物与事物之间的固有联系。反映在数学思想上就是以“三化”为核心概念的比较思想。“类化”是要细化并明确要研究的数学事实;“透化”是对各类明确的数学事实，分别独立研究其内部各要素之间的规律;“通化”是对类与类之间关系，进行开放研究。实现了“三化”，也就实现了对研究对象性（质、规律）的把握。三化以同异分析为方法，而同异是比较出来的。

“比较”是数学实现对客观世界进行定性把握的必由之路。

例如：

角的分类也是这样：

类化——角按大小分为锐角、直角、钝角、平角、周角。

透化——锐角是小于90度大于0度的角;钝角是大于90度小于180度的角;直角是等于90度的角;平角是等于180度的角;周角是等于360度的角。

通化——比直角小的是锐角;比一个直角大，比两个直角小的是钝角;正好是两个直角的是平角;正好是四个直角的是周角。

小知识点如此，大知识块也是这样：

引用吴正宪老师所做的，“比的基本性质及应用”（关系图），实现了“三化”合一。

张奠宙教授在《思想改变课堂》（作者唐彩斌、上海教育出版社34页）说：“做任何事，都要对处理的对象分类，分别研究，才能深入下去，获得最佳效果……”。正是比较思想的实践意义。

集合、比较、等分关系图（其它思想是这三个思想的衍生和具体化）

“等分”和“比较”实现了人类对客观世界的定量刻画与定性把握。在试用教材的教学实践中，这两个思想，学生可以接受，并能在一定范围内举一反三，触类旁通，这使我们倍感欣慰！因为只有学生认可，研究才有继续下去的必要。

三、对应与转化是实现对问题透化与通化的基本思想

（一）对应思想

对应是联系的别称，有三种方式：收敛、发散、跳跃。对应是实现透化、通化问题的核心思想。

收敛式对应强调集中性和批处理，演绎证明、变中不变、异中同、化归、建构模型、极限都属于收敛式对应范畴;发散式对应强调想象力和创造性，归纳发现、不变中变、同中异、分类讨论、统计与概率都属于发散式对应范畴;跳跃式对应强调跳跃式联系，如类比、等量代换。endprint

1.收敛式对应

（1）数学中的化归思想

例如：多边形面积公式可以收敛归纳到长方形或梯形的面积公式中。

（2）解分数的过程，其实质是将问题的解决归纳（收敛）到量率对应上

【例1】 海洋化肥厂计划在第二季度生产一批化肥，已知四月份完成了总数的 1/3 多 50 吨，五月份完成了总数的 2/5 少 70 吨，还有 420 吨没有完成。问二季度原计划生产多少吨化肥？

分析：为了实现量率对应，需要对条件进行假设。假设四月份正好完成了总数的 1/3，剩下（420+50）吨。五月份也正好完成总数的 2/5，剩下（420+50-70）吨，这样一来，问题就变成了当四月份完成总数的 1/3，五月份完成总数的 2/5，还剩下（420+50-70）吨，很容易实现，量率对应。

【例2】六（一）班女生占总人数的9/20，后来又转来6 名女生，这时女生占总人数的5/7。求男生有多少人？

分析：女生人数发生了变化，但男生人数没有变动，所以就以男生人数做标准，看女生人数在转来以前与转来以后占男生的分率差是多少，这个率差正好就是转来6名女生所对应的分率（15 / 11 - 9 / 11）， 量率对应，问题解决。

（延伸）以此想开去，所有应用题的解决最终都必须归纳（收敛）到数量关系上。

【例3】用每千克8.4元的奶糖2千克，每千克5.6元的水果糖3千克;每千克6.9元的酥糖4千克;混合成什锦糖。这种什锦糖每千克的价格是多少元？

分析：有些同学列式为：（8.4+5.6+6.9）÷3，把单价=总价÷数量的对应关系用成了单价=单价和÷单价数了，错在对应关系上，应列式：（8.4×2+5.6×3+6.9×4）÷（2+3+4）。

（3）极限思想也属收敛式对应

“极限（Limit）一词从词源上讲，含义是表示一个不可超越的限度，含有限制的意思。数学中的“极限”在一定方面也有这个意思，但不完全是这个意思，更广地，如有“无穷逼近”之意。在数学领域“极限”是有严格定义的，用以描述量在一定的变化过程中的终极状态。”（引自《做为教育任务的数学思想与方法》 顾泠沅/主编 邵光华/著179页。）极限是一种动收于静的收敛，体现运动与静止的辩证关系。

2.发散式对应

下面是吴正宪老师的关于“数的运算”这部分教学内容的“知识树”：

我们可以感受到发散式对应细化了要研究的问题。

从上往下看是收敛式对应，从下往上看是发散式对应。收敛与发散相辅相成，是数学认知世界的基本思想。比如“一题多解”和“算法多样化”，在“求多”，“求样儿”时，是发散式对应，而多中选优时，则是收敛式对应。它们统一在一个完整的学习过程中。

3.跳跃式对应

跳跃式对应强调多个领域的跳跃式联系，如，类比思想、等量代换。

等量代换强调在代换上做文章，往往只应用于具体问题中，如简算、曹冲称象、阿基米德定律以及在求不规则物体体积时用到的V升=V降=V排。

类比更具跳跃性（如下图，六类问题情境不同，但都是包含除的数量关系）。

总之，在小学一提对应思想，大家往往想到的是数量关系，甚至局限在“量率对应”。这样想就太窄了。应当让学生认识到对应有三种基本方式，感受到对应是实现透化、通化问题的核心思想才好。

（二）转化思想

转化是数学解题的一般思想方法，包含化归、类比、等量代换、数形结合四种基本形式。

在三国演义中诸葛亮变造箭为借箭，智胜周瑜;曹冲以石代象，巧称象重，这都是精彩的转化应用。在数学中转化更是无处不在，无处不用的思想。

1.化归转化

例1.“新生”归于“旧熟”

例2.“繁难”归于“简易”

圆柱的表面积公式可以整合为S=c（h+r）

2.类比转化

类比强调转化的跳跃性。在吴老师画的“比的基本性质及应用”中，充分体现了类比转化的思想。

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（引自《吴正宪的儿童数学教育》北京师范大学出版社）

3.等量代换思想

代换以相等为条件，具有跳跃性，往往应用于具体问题中，如简算、曹冲称象、阿基米德定律、求不规则物体体积时用到的V升=V降=V排。但并不绝对，我们也可以用等量代换思想建构重要的数学模型。

例如，可以用“代换法”，给小学生创建一个他们可以理解的等差数列求和公式，在3+5+7+9+11+13+15+17+19+21的式子中，3+21=5+19=7+17=9+15=11+13，于是和可以用乘法代换，用（最大+最小）乘以对数就行，对数可以用个数除以2代换，个数看成点数后，又可以用间隔数加1代换，间隔数又可用包含除来代换（21-3）÷（5-3）。这样经过多次代换，就得到一个学生可以理解的、具有应用一般性的等差数列求和公式：总和=（最大+最小）×[（最大-最小）÷等差+1]÷2。

需要注意的是不能把等量代换简单地理解成A=B、B=C则A=C。

判断题：

4100÷800=41÷8=5------1         （ × ）

分析：单看41÷8=5------1是对的，但从整体上看未必。4100÷800换算成41÷8，商是不变，但余数小了。

4.数形结合是数学转化的基本思想方法

形强于“跳跃式的思考”与“突破性的发现”，数强于“精确、严密的推导”与“演算”，数形结合的程度越深，越能实现认识上的飞跃。

从图中形一眼就可以看出圆周率在3与4之间，这是数与形直观结合的直观收获，“割圆术”是从直观中受到的启发，使得数与形之间结合得更深，最终认识到圆周率是一个介于3与4之间的一个无限不循环小数。用美国数学家斯蒂恩的话说：“如果一个特定的问题可以转化成一个图形，那么思想就整体地把握住了问题，并且创造性地思索问题的解法。”，割圆术正是“形”提供思路，“数”使之入细的实例。

总之，“化归”重在归，具有收敛性、概括性;等量代换往往应用于具体问题中;数学建模虽然没有专述，但其本质思想还是转化化归，是将具有相同或类似数量关系但又情境不同的问题转化归结于同一模型来批处理的数学思想，建模是数学应用的一般方法;类比具有跳跃式转化特点，属合情推理;数形结合是实现各种转化的基本思想方法;他们都归属于转化思想，是转化思想在不同层面的反映。

对应与转化从不同的思想角度，提供透化与通化问题的思想方法，这两个数学思想是比较思想的子思想。

四、对消、还原与方程

“对消”与“还原”是等量代换的子思想，而等量代换是转化的子思想，模型思想是化归的子思想，而化归也是转化的子思想。之所以对消、还原、模型与方程统一在第四版块，是因为在方程解决问题的过程中，将以上这几个思想紧密地联系在一起！

（一）对消是对等并消去的简称

1.生活中的对消

冬天我们增加衣物，是为了对消掉寒冷;夏天我们减少衣物是为了对消掉炎热;把药的表面涂一层糖皮，是为了对消掉苦味。在生活中对消是普遍存在的。

2.数学中的对消

【例1】五（1）班买了8支钢笔和24支圆珠笔共付39元，五（2）班买同样的8支钢笔和20支圆珠笔共付35元，每支钢笔和每支圆珠笔各多少元？

分析：如果把钢笔的价钱对消掉，得到只含有圆珠笔一个问题的等式，则解：

【例2】 2包饼干和3袋水果糖的价钱是12.4元，3包饼干和2袋水果糖的价钱是14.1元。一包饼干和一袋水果糖的价钱各是多少元？

分析：如果能创造出相同的饼干数并对消掉，得到只含有水果糖一个问题的等式，则解：

（二）还原是退回原来的简称

【例3】书店原来有一些故事书，又运进来680册，卖出736册，还剩184册。这个书店原有故事书多少册？

分析：这道题有清晰的时间线索，利用还原思想，从后向前解答。

还剩的本数？隰卖出736册 ？隰运进680册 ？隰原有故事书

184册   卖出的书再让它买回来  运进的680册将它运走   240册

184+736=920（册）    920-680=240（册）

答：这个书店原有240册故事书。

【例4】冬天来了，白雪给大地做了一件厚厚的棉被。小松鼠为了度过这寒冷的冬天，早就贮藏了很多松果。九月份吃了总数的1/4 多50个，十月份吃了剩下总数的1/2少50个，十一月份吃了剩下的4/5少50个，腊月吃了100个，吃完了，春天也来了。请你算一算，小松鼠一共贮藏了多少个松果呢？

分析：从九月到腊月，这道题的时间线索是很清晰的，我们就利用这一清晰的时间线索，从后向前还原总数。

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有些人说还原是从问题出发说乘就除，说除就乘，说加就减，说减就加的数学思想。还有一些人说是倒推，是逆向思维，是从后向前。这些说法都有道理，但是不是这样理解更好一点，即它是以问题的解决为目的，逆用关系来解决问题的数学思想。当然这样做的条件是题目中的关系必须明确，便于还原。

对消与还原在解方程中得到统一

【例5】5x+4=3x+6

5x-3x+4=3x-3x+10（等式两边同时对消掉3x）

2x+4=10

2x+4-4=10-4（等式两边同时对消掉4，等式的基本性质就是消的性质）

2x=6

x=6÷2         （乘法还原为除法）

x=3

对消是对等并消去的简称，还原是退回原来（逆用关系）的简称。它们巧妙地统一在解方程中。（延伸）对消与数形结合都有使题目优化的作用，但方式不同，对消是用对等消去实现优化，数形结合是用数形的转换，实现优化。

（三）方程思想

方程是通过有意识地让问题与等式搞共存，在恒等变形中解决问题的数学思想。建模、化归、对消、还原这四个数学思想智慧地统一在方程思想中。

建立一个含有未知数的等式，体现的是建模思想;解方程的过程，是将方程转化并归结为x=a，是化归思想;分离x，应用的是还原与对消思想。

【例1】 5x+4=3x+6 （让未知数与等式搞共存建立相等模型）

5x-3x+4=3x-3x +10  （等式两边同时对消掉3x）

2x+4=10

2x+4-4=10-4（等式两边同时对消掉4，等式的基本性质属消的性质）

2x=6

x=6÷2         （乘法还原为除法）

x=3     （解方程就是将方程转化并归结为x=a的过程）

方程中的x具有双重身份，作为已知数参与运算，作为未知数被分离。

1.方程解决问题与算式解决问题的比较

“由于从等量关系来看，算术思想是将已知量的四则运算组合式全部写在等号的一边，只不过另一边没有写出x而已，是直接用已知表示未知，所以有人就认为，算术思想是方程思想的极端化，其实不然。方程根本就没有经过任何运算，只是阐述了一个事实本身，一个没有经过任何加工的事实本身。所以说，方程思想与四则算术思想具有本质的不同。”

2.需要注意二个问题

（1）不一定问什么就设什么

并不是在任何情况下都是“问什么就设什么”好，若直接设要求的问题，不容易找到等式，或找到的等式不好解，那就应该考虑一下，暂时放弃问什么就设什么的想法。

【例2】妈妈去买鸭梨，她带的钱如果买3千克鸭梨，还剩2.40 元，如果买5千克鸭梨，则差3.60元。请问妈妈一共带了多少钱？

分析：如果直接设总钱数为x，方程是（x-2.40）÷3=（x+3.6）÷5，不好解。反之，如果先设鸭梨的单价是x元，再求总钱数，就好算多了。

解：设鸭梨的单价是x元。

3x+2.4=5x-3.6

2x=6

x=3

3×3+2.4=11.4（元）答：（略）。

（2）选用不同的等式，会带来不同的解题效率

求优、求简是数学的精神，所以对于列的方程来说，我们的原则应是可加可减，用加不用减，可乘可除，用乘不用除。

【例3】 岗上果园有梨树和枣树共190棵，枣树的棵数是梨树的4倍。梨树和枣树各多少棵？

我们可以列出四个方程

A：设梨树为x，那么枣树是（190-x）棵

x=（190-x）×4

B：设枣树为x棵，那么梨树为（190-x）棵

x=190-x=4x

C：设梨树为x，那么枣树为4x

x+4x=190

D：设枣树为x棵，那么梨树为x÷4棵

x+x÷4=190

C是最能体现“避繁就简”思想的。

方程作为一个思想更为博大，它涵盖了建模、化归、还原与对消四个数学思想，它使我们对问题的求解进入了一个更自由的世界。

五、凑与刨、分解与组合、分类讨论

凑与刨、分解与组合、分类讨论是实现比较思想中类化问题的基本思想方法。他们从不同的思想角度为我们提供如何将问题类化、细化、深化的思路。

一是从问题的内部想办法，二是从问题的外部想办法，凑与刨、分解与组合正是这两种思想的体现。

（一）凑、刨

1.求多边形面积

2.简算

9+99+999+3                  1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64

=（9+1）+（99+1）+（999+1）  =1-1/64

=10+100+1000                 =63/64

=1110

3. 2点43分时，时针与分针的夹角是（  ）度endprint

（二）分解与组合

智慧的分解与组合，可以实现少资源，高效率。

1.竖式是计算的优化

（延伸）23个声母与24个韵母的组合，解决了拼音问题;25个笔画、128个偏旁部首的组合，解决了汉字问题;由0到9这十个数字按位值法组合，解决了计数问题。智慧的分解与组合，可以实现少资源，高效率。

（三）分类讨论

是指将一个大问题类化为多个小问题，它的思想是：如果能将小问题个个击破，则大问题将被解决（不再举例）。

六、假设极限与统计

之所以把这三个思想放在最后，是因为它们与其它思想联系不够紧密，有自己更多的个性化的东西。比如说假设思想是一种有特色的建模思想，特色在用创设情境的方式建立模型，解决问题，它是建模思想的子思想，而建模思想又是化归思想的子思想，而化归是转化的子思想;极限是小学中唯一一个体现动与静辩证的数学思想，例子不多，但意义重大;而统计与概率又是完善学生世界观的必要思想和重要途径。这三个思想十分重要，又个性十足，故而合三为一，归入第六版块。

（一）假设思想

鸡兔同笼是典型的假设思想的应用，但如果假设思想只停留在把鸡看成兔上，那就太浅了，把它看成是一种建模方式，才能上升到推广与应用的高度。

【例1】李大爷家有鸡、兔共16只，共有38个脚。鸡、兔各有多少只？

分析：假设都是鸡，必然会突出兔子的数量关系，每只兔子被少算了2只脚，一共少算了6只脚，所以兔的只数=少算的脚数÷脚差。反之，假设是兔子，就可以算出鸡的只数。

【例2】100个和尚100个馍，大和尚一个人吃三个，小和尚三个人吃一个，一共多少个大和尚，多少个小和尚？

分析：假设都是大和尚，引起馍总数变化的必是小和尚，利用这个变化，建构包含除模型，算出小和尚人数。

（100×3-100）÷（3-1/3）=75（人）

100-75=25（人）   答（略）。

【例3】甲乙两个消防队共有 336 人，抽调甲队人数的 5/7 ，乙队人数的 3/7 ，共是188 人，问甲乙两个消防队原来各有多少人？

分析：假设两队抽调人数相同都是 5/7 ，引起抽掉人数变大的必是乙队，利用这一变化，建立量率对应模型，求出乙队。

（336×5/7-188）÷（5/7-3/7）=182 （人）

336-182=154 （人）   答（略）。

【例4】一项工程，甲乙合干一天的效率是9/40，甲干2天后乙又干了5天一共完成3/4，甲单独干需要多少天完成？

分析：假设甲乙都工作5天，甲就少干三天，利用这三天求出甲效，进一步求出甲单独干需要的天数。

1÷【（9/40×5-3/4）÷（5-2）】=8（天）  答（略）。

用假设创造变化，在变化中寻找战机，是假设思想给我们的启示。从方法层面上看，假设是一种建模方式。

（二）极限思想

无穷逼近是极限思想的内涵。小学有相关素材，但不多，有必要做收集、整理、诠释工作。

极限思想离不开无穷、无限。但如果只是个数上的无穷，没有逼近值，那也不是极限。例如，自然数是无限多的、直线是无限长的，但这些概念不属极限范畴。

【例1】1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64+………=？

分析这个式子，如果无限地写下去，那么1就是这个式子的极值。

【例2】1/9=0.111………同理9/9=0.999………，而1=9/9，这就说明0.999…是极值是1，也就是0.999…=1。

【例3】正三边形、正四边形、正五边形……不断的增加边数，图形就越接近圆，圆就是正多边形的极值。

（延伸）将无数个高“极”到半径，底“极”到周长上一点的全等三角形面积，做求和运算，就是圆的面积。

“极限（Limit）一词从词源上讲，含义是表示一个不可超越的限度，含有限制的意思。数学中的“极限”在一定方面也有这个意思，但不完全是这个意思，更广地，如有“无穷逼近”之意。在数学领域“极限”是有严格定义的，用以描述量在一定的变化过程中的终极状态。它的建立是数学发展史中的一个重要转折点。此后空间中的各类收敛性，也都是极限思想方法的运用和拓广”。

极限是一种动收于静的收敛方式，体现运动与静止的辩证关系。极限是启迪智慧，发展能力的重要知识，无论当下还是以后都有重要意义，必须认真学习。

（三）统计

统计与概率有着密切的联系，都属合情推理。

统计思想就是：以表或图的形式，反映一组数据的变化规律，为判断、选择、决策提供统计依据的思想。

1.从形式上看

所有的统计表与统计图从形式上都必须回答三个问题：“谁”统计对象;“什么”统计项目;“多少”统计数据。统计表是以表格的形式反映，统计图是以图的形式反映。endprint

2.从意义上看

想通过制表或分析表，制图或分析图，得到什么方面的信息;收集的数据是否可靠;选用图表的方式是否合适;最终的结论可信度有多少;这都是统计在意义上的反映。

3.从推理上看

利用统计数据或统计信息进行的推理称为统计推理。大家一般都相信数据，认为用数据说话无可争辩，但事实上并非如此。统计做为合情推理，推理者可能出于某种目的，故意得出谬论，迷惑公众，让学生认识到这一点很必要。

案例1

本市的治安形式急剧恶化，今年的恶性刑事案件较去年增加了100%，听完后我们会感到这个城市真的不安全了，而事实是去年发生了一件，而今年也只有二件而已。

案例2

这个城市环境治理工作搞的很好，96%的企业废物排放量达到了国家标准。而事实是不达标的4%的企业是污染大户，直接决定了环境的好坏。

（四）概率思想

概率也叫几率或机会，是一个随机事件发生可能性的度量。一个不可能事件的概率为0，一个必然事件概率为1，而其他事件概率是介于0与1之间的某个值。

1.概率与频率的关系

概率的统计定义涉及频率与概率两个概念，弄清两者的关系是必要的，频率反应的是事件发生频繁的程度，从而可以用来近似反映事件发生的可能性大小，但频率是随机的，这n次试验中的频率与另外n次试验中的频率一般会不同，所以无法用频率作为一个事件发生的可能性的度量（不确定），而概率是一个客观存在的确定的常数，与每次试验无关，因此，人们用概率来度量事件发生的可能性。不过，在现实中，概率往往是不知道的。但由于频率“一般”稳定在概率附近，我们通常可以做试验获得随机事件的频率，用频率来估计概率，将频率作为它的估计值，从而得到概率的近似值……频率在试验前是无法确定的（所以概率的统计定义又称经验后概率）。概率是随机事件固有的，在试验前就确定的（但可能是未知的，注意随机性与未知性的不同）……概率反映的是多次试验中频率的稳定性，而不是事件发生的确定性。有人往往错误地以为，掷一个均匀硬币，正面出现的概率等于二分之一，就应该两次试验中出现一次正面。掷一个均匀的骰子，每掷六次，各点都应该出现一次，否则就是不均匀。事实上，频率的稳定性反映的是大量试验中出现的性质，其稳定性要在试验次数很多时才体现出来，对个别的几次试验，由于其随机性，是无法预料的。

2.纠正一个错误的认识

有人认为在掷硬币时，如果连续多次正面向上，那下一次反面向上的可能性会增大，这是错误的观点。首先说，在一个长过程中都得到正面几乎不可能，其次，每一次掷硬币都是独立于其他各次的，因此，出现反面的概率每一次都是相同的，不论前一次抛掷的结果是什么。就算是连续出现多次正面朝上，只要不断地抛下去，在更漫长的过程中，必将纠正。

统计与概率主要包含的数学思想有随机思想（或称概率论思想），是通过对这种偶然性的研究去发现必然规律（往往要运用统计法），再反过来利用规律认识随机现象;抽样思想，它要思考的是什么样的样本才能最大限度地代表总体;统计推断思想，是带有概率性质的推理。

总   结

把数学思想教学从渗透提升至正面学习，提升并不是否认渗透的正确性，而是对渗透的整理归纳。如果我们能使数学思想系统化、结构化，实现数学思想的正面教学是大有可为的，并且正面教学意义更大！

参考文献：

[1]钱守旺.钱守旺的小学数学教学主张[M].北京：中国轻工业出版社，2012.

[2]范文贵.小学数学教育论[M].上海：华东师范大学出版社，2011.

[3]邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海：上海教育出版社，2009.endprint