基于导学案建设的三角形“四心”问题

宋伟

摘 要：三角形的外心、内心、重心、垂心以及三角形的外心与几何图形的有机结合，可拓宽应用范围，使很多几何问题得以解决，向量法解决“四心”问题可以简化计算.要注重概念的内含与外延.

关键词：外心；内心；垂心；重心

在高中数学的学习过程中，“四心”问题经常出现在立体几何与向量问题中.三角形的“四心”问题是学生在学习过程中比较棘手的问题.如果我们对这一问题进行专项训练和研究会收到良好的效果.我们应该对“四心”的概念及性质做到心中有数，三角形“四心”即外心、内心、重心、垂心.

一、在立体几何中，经常涉及三角形的“四心”问题

1.常见题型

过△ABC所在平面外一点P，作PO⊥a，垂足为O，连接PA，PB，PC

（1）若PA=PB=PC，△ABC是直角三角形，则点O是AB边的 中点.

（2）若PA=PB=PC，则点O是△ABC的外心.

（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA则点O是△ABC的垂心.

2.三角形的外心在立体几何中有广泛的应用

在高考中，有时会涉及空间几何体的内切及外接球问题，事实证明，学生对这个问题的处理能力非常薄弱，不得要领.很多学生按照思维定式试图画出图形来观察，结果陷入误区.要画出比较直观的立体图形是难上加难，但如果抓住要领，不画球就能解决所有问题，其中特别有一类关于三棱锥和三棱柱的外接球问题.

对于三棱锥或三棱柱的外接球问题，我们首先可以借助于正弦定理求出底面三角形的外接圆半径，然后利用勾股定理求几何体外接球半径.

已知，球的直径SC=4，A，B是该球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S-ABC的体积为（ ）

A. B. C. D.1

我们可以通过余弦定理先求出△ABC的∠C的余弦值，再求出∠C的正弦值，然后利用正弦定理求出三角形△ABC的外接圆半径，△ABC外心和SC中点的连线就是棱锥高的一半，这样利用勾股定理即可求出棱锥的高，问题得以解决.答案是C.这类题在高考选择题中都属于压轴题目，如果我们选择了比较合理的方法可以迅速准确地得出问题的答案.

二、向量与三角形“四心”的结合

向量在處理和解决三角形“四心”问题上具有独到的作用.向量本身具有双重身份：一是几何形式——向量既有大小，又有方向，向量可以用有向线段来表示，其运算都具有明确的几何意义；二是代数形式——平面内任意向量都可以用有序数对来表示，这就使得向量成为了沟通代数与几何的有力工具.

1.三角形重心的（中线交点）性质

命题1 点O是△ABC的重心的充要条件是

命题2 若点O是△ABC的重心，则S△AOB=S△BOC=S△AOC=S△ABC

2.三角形内心的（内角平分线交点）性质

命题3 已知I为△ABC所在平面上的一点，且AB=c，AC=b，BC=a.若a+b+c=0，则I为△ABC的内心.

3.三角形垂心的（高线的交点）性质

命题4 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的垂心.

4.三角形外心的（中垂线的交点）性质

命题5 O是△ABC的外心

基于三角形“四心”问题在立体几何与向量问题上的重要性，导学案在设计时首先要明确学生必须要掌握的知识与技能，三角形“四心”的概念和性质.在导学案的设计上可以以一些立体几何中常见问题为依据，教师引导学生去发现解决这类问题的常用方法.引导学生利用三角形的外心找到解决空间几何体的外接球问题的方法，给出向量与三角形“四心”的五个常见命题，并展开交流讨论.导学案的最后要给学生设计当堂的反馈环节，使得导学案做到有时效性，而不是流于形式.

不论是向量法在解决“四心”问题上的独到优势，还是“四心”问题在立体几何中的有效使用，都给我们提供了解决数学问题的有效途径.基于导学案解决三角形的“四心”问题更是给我们学生提供了一个强有力地教学平台，做到有的放矢.

参考文献：

[1]刘超.三角形四心性质的讨论[J].中学数学，2012（12）.

[2]李显权.简述三角形四心的优美向量性质[J].中学教研：数学，2011（03）.

注：本文系河北省教育科学研究所《高中基于导学案建设高效课堂的研究》（课题编号：1405455）的研究成果。

编辑 鲁翠红