浅谈高中数学教学中数形结合方法的应用

汪文举

摘 要：作为组成数学思想方法重要部分，数形结合是数与形相通性的反映，相互间能在一定条件下进行转化。高中数学实践教学中的数形结合形式主要体现在：针对形的相关属性利用精确的数来阐明；针对数与数之间的关系利用直观的几何来阐明。通俗来说数形结合就是以形助数和以数解形。为此，本文就高中数学教学中数形结合的实际应用进行了探析。

关键词：高中数学；数形结合；数学方法

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）02-085-02

数学作为高中教育体系的基础课程，以数量关系和空间形式为主要研究对象。近年来我国不断推广实施素质教育和新课改，高中教育不仅限于单纯的知识传授，更重视对其数学学习能力的培养，高中数学教师应将教学质量提高视为首要的关注焦点。数学教学并非单一固定的，它呈多样化发展趋势，而数形结合仅是其重要的教学方法之一。

一、函数教学中数变形的应用

数形之间的关系相互对应，针对抽象的数量问题，学生无法有效把握，而形的特点形象直观，能够清晰地将思维具体表达出来，对解决问题可起到定性的作用，实践教学时教师不妨将目的和手段分别明确为形和数，找出对应数的形，通过图形解决相应的数字问题。

例1：函数f（x）已知满足f（x+1）=f（x-1），而f（x）=x?时x [-1，1]的条件，那么方程式f（x）=1gx的解为（D）。

A、7；B、5；C、10；D、9

探讨：函数f（x）的周期和值域分别为2和[0，1]，而f（x）=1gx，故x [0，10]，将两个函数图形画出来，其相互交叉的点则为解，详细可见下方函数图形。

如果解题过程中遇到三角、指数、根式等复杂函数方程解个数的讨论，以两个熟悉的函数表达式来替代方程式两边的代数式，并将两个函数图形在同一坐标系上画出来，其相互交叉的点便是方程式解的个数，这种解题方法是最基本也是最简易的。

例2：方程x?-4|x|+5-m=0的实数解恰有不同的4个，能否求出实数m取值的范围？本题最终求得为5>m>1。

探讨：假设函数y1=x?-4|x|+5且函数y2=m，那么函数y1和函数y2相互交叉的横坐标点即方程x?-4|x|+5=m的实数解，而与这两个函数图形相互对应的交点共有4个，也就是说方程x?-4|x|+5=m的实数解共计不同的4个，如下图两个函数图形在同一直角坐标系中，可见5>m>1为实数m最终求出的取值范围。

函数图形的升降与函数单调性呈正相关；函数图形的对称性又与奇偶性相互联系；函数图形最高和最低点的纵坐标则可解决最值即值域的问题。

二、几何教学中的数形结合应用

高中数学教学中几何教学一直是重难点，特别是其中解析几何教学，但从数形结合角度来看，坐标图形与解析几何之间有着极为密切的联系，实际上坐标法在解析几何研究中，就是将代数语言视作基础，通过几何元素的运用来进行分析，达到解决其问题的目的。

例3：针对判定同一平面内两条直线位置间的关系，应用数形结合方法进行教学。已知在同一平面内两条直线AB和PQ，其中Q（0，-1），A（2，3），P（1，0），B（-1，0），尝试对两条直线PQ和AB位置关系进行判定。

而本题中，数形结合画图解答法相比直线方程解答法更加便捷快速，其基本不会出现较大误差。教师要在已知两条直线坐标的条件下，引导学生将坐标图画出来，对两条直线进行直观的观察，然后再对其中属于平行的位置关系作出判断。但要注意必须确保答案的准确性，为此教师还应该教会学生如何验证答案。一般可采取斜率关系计算式： ， ，由于KAB与KPQ相等，故两条直线AB和PQ相互平行。

但其中需要注意一点，判断两条直线位置关系教学中，教师必须坚持严谨无误的教学原则，嘱咐学生解答同类题目时多加验证，充分体现出数与形相互补充的作用。虽然此题可采取方程解答法，却相对较为复杂，若有多种解法，则以简便小误差的数形结合解答法为首选，特别是数学考试过程中更应如此。

三、数学教学中数形互变的应用

数学中“数形互变”主要是指数与形的相互变换，而非单一的“形变数”或“数变形”，其不但要由严密的“数”联系直观的“形”，更要由直观的“形”变为严密的“数”。也就是说解决这类问题必须同时立足于已知和结论，找出其内在数形互变的关系并进行认真分析，通常看数思形、见形想数是最基本的方法，即结合形化数和数变形。

例4：直线 ：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m R），圆C：（x-1）?+（y-1）?=25，为已知条件。①针对m不同的取值，可得直线互不相同，那么圆截得的这些直线中弦长有无大小值之分？若有该如何求出最值与其相应直线方程？②判断两者之间的位置关系？

探讨：关于两者间位置关系判断的方法共计三种。1）方程组解答法，对判别式0与△大小的判断；2）比较半径r与圆心到直线 距离的大小关系；3）

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