有界函数可积条件的推广

张　辉，余桂东

(安庆师范学院 数学与计算科学学院, 安徽 安庆 246133)



有界函数可积条件的推广

张辉，余桂东

(安庆师范学院 数学与计算科学学院, 安徽 安庆 246133)

摘要：对数学分析教材中关于有界函数可积性的条件进行了推广，并且从测度的角度进一步解释了可以推广的原因。

关键词：有界函数；可积条件；测度

在《数学分析》[1]教材中关于函数的可积性有如下两个结论：

定理1[1]若f在[a,b]上连续，则f在[a,b]上可积。

从教学的角度考虑，定理1与定理2都有推广的必要，因为可以提出下面两个问题：(1)定理1的闭区间[a,b]上连续能否改成开区间(a,b)上连续， (2)定理2中结论能否推广到有限极限的情形。对于问题(1)一般的回答是否定的，例如

对于问题(2)，从《实变函数论》[2]中的测度论角度知道回答是肯定的。本文主要目的是利用定积分的定义证明下面两个定理：

由定理3，很容易得到如下的推论。

利用归结原理以及函数极限的Cauchy收敛准则，得到了下面一个有趣的结论：

1.1.1 秸秆机械还田 秸秆直接还田是当前扬州市乃至江苏省秸秆综合利用最主要的途径。2016年，扬州市实现稻麦秸秆还田206.59万t，还田面积30.1万hm2，还田率达66.57%。秸秆还田区域主要集中在宝应、江都、高邮3县(市、区)，还田量分别达总量的39.96%、21.2%和20.49%。

1定理的证明

引理1[1]若f为[a,b]上的有界函数，则f在[a,b]上可积的充要条件是对于任意的ε>0，存在[a,b]上的某个分割T，使得

wi=Mi-mi表示f在Δi上的振幅。

引理2[1]若f是[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f在[a,b]上可积。

则在闭区间H=[a,b]-{(c-ε,c+ε)∪(d-ε,d+ε)}上至多只有有限个间断点。结合引理(1)，(2)可知，存在H上某个分割T使得

结合引理1得证。

注1《实变函数论》中函数Riemann黎曼可积的充要条件是几乎处处连续，即不连续点的测度为零。 因此定理3的条件可以进一步放宽到可数个间断点，一个重要的例子是黎曼函数

R(x)在[0,1]中的间断点为Q∩[0,1]，它是可数集，因而在[0,1]上黎曼可积，但是却不能用定理3来判断。

m

(1)若ε<δ，则分割T结合闭区间[a,a+ε][a+ε,a+δ]以及[b-ε,b][b-δ,b-ε]构成[a,b]的一个分割T′，则

其中K=2[(M-m)+(b-a)]+1。

(2)若ε≥δ, 则分割T结合闭区间[a,a+δ]以及[b-δ,b]构成[a,b]的一个分割T′，则

其中L=2(M-m)+1。综上，由有界可积函数的充要条件知f(x)在[a,b]上可积。

|f(xn1)-f(xn2)|<ε

参考文献:

[1] 叶淼林等.数学分析(上) [M]. 合肥：中国科学技术大学出版社，2012.

[2] 周民强.实变函数论[M]. 北京： 北京大学出版社，2001.

Extension about Bounded Integrable Function

ZHANG Hui，YU Gui-dong

(School of Mathematics and Computation Science，Anqing Teachers College，Anqing 246133，China)

Abstract:This paper extends the integrability conditions about bounded function in mathematical analysis textbook, and further explains the reason from the perspective of measure theory.

Key words:bounded function, integrability conditions, perspective of measure theory

中图分类号：O231.9

文献标识码：A

文章编号：1007-4260(2015)01-0099-02

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.027

作者简介：张辉，男，安徽桐城人，博士，安庆师范学院数学与计算科学学院讲师， 研究方向为偏微分方程及其应用。

收稿日期：2014-04-15