L-模糊赋范空间中的三角形不等式

毛铭桦，顾秀秀

(江苏农牧科技职业学院, 江苏 泰州 225300)



L-模糊赋范空间中的三角形不等式

毛铭桦，顾秀秀

(江苏农牧科技职业学院, 江苏 泰州 225300)

摘要：通过讨论L-模糊赋范空间中L-模糊点的L-模糊范数, 得到了在L-模糊赋范空间中对于任意的L-模糊点三角形不等式也成立。

关键词：L-模糊赋范空间; 三角形不等式;L-模糊点

L-模糊赋范线性空间由Yan等[1]引进,文中仅对分子给出了三角形不等式。通过研究L-模糊点的L-模糊范数定义,我们得到了对于任意L-模糊点的三角形不等式也成立, 该不等式的建立对于进一步研究L-模糊赋范空间有重要意义。

1预备知识和引理

本文中L表示一个模糊格。L中的非零元λ称作不可约元, 如果满足λ=α∨β,则有λ=α或者λ=β,其中α,β∈L[2]。M(L)表示L中的所有不可约元的集合。M(L)中的元素也称作分子。β*(α)=β(α)∩M(L)称为α的标准极小族[2]。L称为是正则的, 如果L中任意一对非零元的交仍然是非零元。显然,如果L是正则的, 则1∈M(L)。本文假设L是正则的模糊格。M*(LX)表示LX中的所有不可约元。易知M*(LX)={xλ:x∈X,λ∈M(L)}。

定义1[1]设X是K上的向量空间。 一个从M*(LX)到R+的映射‖·‖称为一个L-模糊范数, 如果它满足以下条件：

(1)‖x1‖=0可推出x=θ；

(2)‖kxλ‖=|k|‖xλ‖,∀k∈K；

(3)‖xλ+yλ‖≤‖xλ‖+‖yλ‖,∀xλ,yλ∈M*(LX)；

如果‖·‖是X上的L-模糊范数, 则(X,‖·‖)称为L-模糊赋范空间。

推论1[3]：设λ,μ∈M(L)且λ≤μ, 则‖xμ‖≤‖xλ‖。

定义3[4]设a,b∈L,我们称a定向小于b, 记作a≪b, 若对每个上定向集S∈L,∨S≥b⟹∃x∈S使得x≥a。

推论2：由定义3,容易验证下面的结论成立：

(1)a≪b⟹a≤b；(2)a≪b,b≪c⟹a≪c；(3)a≪b≤c⟹a≪c；(4)a≪a。

引理[4]设a,b∈L,a≠b且a≪b,则存在c∈L,c≠a使得a≪c≪b。

3主要结论

定理1设L是完全分配格, λ,μ∈L, 如果μ∈β*(λ), 则μ≪λ。

证明：由定义3, 结论显然成立。

定理2如果α≪μ,μ∈β*(λ),则α≪λ。

证明：由μ∈β*(λ)可知μ≪λ。 根据推论2(2)可知结论成立。

定理3如果μ1≪λ,μ2 ≪λ,则μ1∨μ2≪λ。

证明：因为μ1≪λ,μ2≪λ，对每个上定向集A⊂L且满足∨A≥λ, 则存在α1,α2∈A使得α1≥μ1且α2≥μ2。于是存在α∈A使得α≥α1且α≥α2, 从而α≥μ1∨μ2,于是根据定义3可知结论成立。

定理4设a,b∈L,a≠b且a≪b, 则存在c∈β*(b)使得a≪c。

证明: 因为a≪b且a≠b, 由引理可知存在x∈L,x≠a使得a≪x≪b=∨β*(b), 因此存在c∈β*(b)使得x≤c, 那么由a≪x≤c以及推论2(3)可以推出a≪c成立。

定理5设λ∈M(L),μ≪λ,则‖xμ‖≥‖xλ‖。

注由定理5的证明不难发现,如果μ≤λ且λ∈M(L), 就有‖xμ‖≥‖xλ‖成立。

定理6如果μ∈L,x,y∈X,则‖xμ+yμ‖≤‖xμ‖+‖yμ‖。

‖xμ+yμ‖=‖(x+y)μ‖≤‖(x+y)d‖=‖xd+yd‖

≤‖xd‖+‖yd‖≤‖xa‖+‖yb‖<‖xμ‖+‖yμ‖+ε,

由ε的任意性, 可知‖xμ+yμ‖≤‖xμ‖+‖yμ‖成立。

参考文献：

[1]YAN C H, FANG J X.Generalization of Kolmogoroff’s theorem toL-topological vector spaces[J].Fuzzy Sets and Systems, 2002,125 (2):177-183.

[2]王国俊.L-fuzzy拓扑空间论[M].西安：陕西师范大学出版社, 1988:29.

[3]MAO M H, FANG J X.Some topological properities ofL-fuzzy normed spaces[J].Fuzzy Sets and Systems,2012,195:100-108.

[4]LIU Y M,LUO M K.Fuzzy Topology[M].Singapore:World Scientific Publishing, 1997.

TriangleinequalitiesinL-fuzzynormedspaces

MAOMing-hua，GUXiu-xiu

(JiangsuAgri-animalHusbandryVocationalCollege,Taizhou225300,China)

Abstract∶We address L-fuzzy norm of L-fuzzy points in L-fuzzy normed space.We further acquire triangle inequalities for arbitrary two L-fuzzy points.

Key words∶L-fuzzy normed space; triangle inequality;L-fuzzy points

中图分类号：O189.13

文献标识码：A

文章编号：1002-4026(2015)04-0071-02

作者简介：毛铭桦(1983-)，女，讲师，硕士研究生，研究方向为模糊数学与泛函分析理论。Email：mhmao307@163.com

基金项目：国家自然科学基金(11301281)；江苏农牧科技职业学院大学生实践创新训练计划(201412806025X)

收稿日期：2014-10-16

DOI:10.3976/j.issn.1002-4026.2015.04.013