动静结合 凸显本质

章莉

[摘 要]面积的概念是抽象的，是学生建立空间观念的重要内容，具有承上启下的建构意义。因此，教师应合理利用学生已有的知识和经验，注重教学内容的选择和教学过程的安排，将面积概念的教学最优化。

[关键词]面积 学情 教材 有效建构

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）35-022

[课前思考]

追问一：什么是角？

基于学生的认知水平，苏教版小学数学教材二年级下册采用举例描述的方法指出什么是角，并介绍了角的各部分名称。从对教材内容静态呈现的理解来看，很多教师把角看成是自一点朝两个不同方向延伸的两条射线的框架结构，把“一个顶点，两条直直的边”看作角的概念的本质特征，认为学生只要认识了角的构成要素（顶点、边），就等同于正确感知角的概念了。于是，在找角、指角的活动中，学生只需指出角的顶点及边即可。

如此教学，如何理解《几何原本》中对角的定义“平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度”？如何解释角是有度数可测量的？究竟什么是角的概念的内涵？

作为一个数学概念，角的定义主要有以下两个方面：（1）角的静态定义，即有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边;（2）角的动态定义，即由一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。从上述定义中可以清楚地知道角的各部分名称，但有以下几点模糊不清：第一，角是“……组成的图形”“……旋转形成的图形”，那角是指图形中的什么？角在哪儿？第二，角的两条边既然是射线，那么仅凭所画角的边的长短是不能决定角的外在形态的，因为角的边长并非角的本质属性，那么角的本质属性是什么？我们知道角是有大小的，角的概念的本质内涵应体现在角的大小上，即角的大小是由具有公共端点的两条射线所夹的部分决定的。

追问二：小弧线仅是角的标记吗？

苏教版小学数学教材二年级下册（2001版）由具体实物的面上抽象出的角没有标上小弧线，而修订后的教材抽象出的角标上了小弧线。同时，修订后的《教师教学用书》中指出“抽象出角的图形后，可以在角的图形里画‘弧线表示出角，以后我们可以用这样的方法表示角”，这细节的变化意味着什么？

课堂教学中，教师对角中的小弧线是如何处理的呢？有的教师只是在表示角的时候随手标上，并没有向学生说明;有的教师则是这样向学生介绍的“在数学中，为了更清晰地表示一个角，还会给角加上一条弯弯的线来表示这是一个角”。于是，小弧线成为角的一个形式化标志，但它仅仅只是角的标志吗？

上文中提到，角的概念的本质内涵体现在角的大小上，而决定角的大小是角的张口的大小。如图1，∠2包含∠1，也就是∠2的张口大于∠1，所以∠2大于∠1。《基本概念与运算法则》（史宁中著）一书中指出：“可以利用图2来定义角的大小，即角的大小是由角所对应的单位圆的弦长决定的，或者说是由这个角所对应的单位圆的弧长决定的，而单位圆半径的大小是人为确定的。”据此，我们画角时所标记的小弧线，可以理解为具有单位圆的弧长的特质，它旨在揭示角是由具有公共端点的两条射线所夹的部分决定的。也就是说，角的本质内涵体现在角的张口的大小上，而“一个顶点，两条直直的边”仅是构成角的基本要素。

图1                             图2

追问三：如何利用活动角体会角的大小？

翻阅大量有关“角的初步认识”的教学设计，绝大部分都有做活动角这个教学环节，基本流程如下：（1）用观察法感受角的大小。教师演示将活动角的两边张开再张开或慢慢合拢，让学生体会角变大变小。（2）用重叠法比较角的大小，即将两个活动角的顶点重合，一边重合，看另一边，如果另一边也完全重合，两个角就一样大;如果另一边落在外侧，那么这个角就大。（3）体会角的大小与边的长短无关。师出示两个大小一样的活动角，将其中一个角的两边拉长一些，让学生比较角的大小。这时往往会出现不同的声音，有的学生认为这两个角不一样大，理由是边被拉长的这个角的两边并没有与另一个角的两边完全重合，而是多出一截，这个角应该就大。为什么看似流畅的设计，最后却出现不尽如人意的结果？

不妨分析这三个活动：第（1）个活动，教师将活动角的张口变大变小，以为学生就能体会到角的大小与两边的张口有关。实际上，有的学生受已有经验中比较面的大小的影响，认为角变大变小是依据两边之间平面区域的变化，而不是角的张口的大小。因此，在进行第（3）个活动时，二年级学生会觉得边被拉长的角的两边间的平面区域比较大，这个角就比较大。第（2）个活动，用重叠法比较角的大小，方法本身没有问题，但教师没有及时引导学生将关注点由角的边是否重合转移到看两个角的张口大小上。这样就不难理解，进行第（3）个活动时，有的学生产生疑问：“角的边被拉长了，没有和另一个角的边完全重合，它们怎么会相等呢？”这是因为学生还没有认识射线。再看第（3）个活动，一方面学生受已有的知识经验及之前操作活动的负迁移影响，难以理解角的边变长而角的大小仍然不变;另一方面，学生在以往的学习中都是在有限的范围内进行大小比较的，以现有的思维水平还不能用观察到的“有限”去体会看不到的“无限”，这样学生不理解角的大小与边的长短无关也就不奇怪了。

那么，如何较好地利用活动角帮助学生初步体会角的大小呢？笔者认为，既要紧扣角的概念的本质内涵，又要避免让学生以“有限”的思维去理解“无限”的思想。

【教学策略】

教学中，如何把握教学的度，既让学生认识角的基本特征，又潜移默化地向学生渗透角的本质内涵，帮助学生形成对角的整体感知呢？虽然小学阶段只需要学生理解角的静态定义，但要让学生直观感知角的大小以及后续学习角的度量，这些都与角的动态定义有密切的关系，而且角的概念的核心就是研究两边之间张口的程度。因此，基于上述思考，教学中宜采用动静结合的方式，让学生初步感知角的概念的本质属性，帮助学生建立正确的角的概念。

一、由静到动，感知角的整体结构

1.静态抽象，感受特征

（1）先由主题图抽象出数学上的角，再让学生在三角尺上摸角和说感受，直观感知角。

（2）在学生初步感知角的基础上，师生一起把三角尺上的一个角画下来，抽象出角的数学模型（如图3）。这里教师要特别指出“为了清楚地表示角，在角的开口内画一条小弧线”，最后介绍角的各部分名称。

（3）师引导学生指角，帮助学生获得鲜明的角的表象。

这里，首次引入小弧线，既为了指明静态呈现的角的方向，也为了将学生的注意力引导到角的张口上，有利于学生对角的认识。

2.动态生成，体会张口

静态呈现的角可以帮助学生建立角的表象，而要让学生初步体会角的概念的内涵，则需借助动态演示。

（1）师引导学生在活动的扇面上找角、指角（如图4），强调指角时要画小弧线，再次将学生的注意力引导到角的张口上。

（2）师先借助纸扇张合的动态演示，形成不同的角（角中的小弧线也随之变化），再引导学生观察：“角的两边一张一合像什么？”这里，教师通过形象的比喻，揭示角的张口，并指出用一条小弧线来表示角的张口，从而将小弧线的外在形态与其内在意义巧妙地联系起来。

这个环节，教师遵循学生的认知特点，从直观形象——静态抽象——动态生成，由表及里地帮助学生在感性经验的支撑下，建立起对角的整体感知。

二、动静结合，凸显角的本质内涵

1.感知张口大小决定角的大小

（1）师生一起操作活动角，让学生直观感受到旋转的方向以及在旋转过程中两条边所形成的角，渗透角的动态定义。同时，教师在动态形成角的过程中选取几个角，让学生直接用画小弧线的方法指角，以淡化角的非本质属性，为下一步感知角的大小看张口做准备。

（2）初步感知角的大小。教师先利用活动角，让学生在“张开两条边使角变大，合拢两条边使角变小”的过程中，体会角是有大有小的，再要求学生将手中的角变大一些或小一些，使学生体验到：把角的两边张开些，角就变大;把角的两边收拢些，角就变小。

（3）动态演示，强化认知。师边演示（如图5）边问学生：“角的张口有什么变化？角有什么变化？”学生在观察比较中进一步体验到：角的张口大，角就大;角的张口小，角就小。

图5

（4）学生自由操作活动角，同桌比较大小，教师相机介绍用重叠的方法比较角的大小。

2.初步感知角的大小与边的长短无关

（1）比较图6中两个角的大小，引导学生在强烈对比中强化对角的大小的本质认识。

（2）师出示教学用的三角板，先让学生观察哪个角最大，再让学生在自己的三角尺上找一个和这个角一样大的角，并引导学生利用重叠法进行比较。

（3）师生比较形状相同、大小不同的两块三角板上其他两个对应角的大小，使学生在观察、比较中初步体验到：张口决定角的大小，张口相同的两个角一样大，角的大小与边的长短以及面的大小没有关系。

“角的初步认识”这节课，尽管教学定位为初步认识角，但是教师要有教学自觉，因为初步认识不是意味着肤浅的认识，更不能让学生因浅层次的认识而产生错误的认知。很多数学概念，教师教学时如果注重形式、弱化知识本质，学生就容易出现形式上的理解，甚至会造成学习上的困难。因此，为了避免形式上的教，教师要关注数学概念、知识发展的过程，把握概念的核心意义，回到数学知识的本质上来，让学生真正理解所学知识，从而促进学生数学素养的提升。（责编 杜 华）